Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 2 na dzie« 21 marca 2014.

2.1-2.3. Wykaza¢, »e zachodzi
∫

V

(ϕ

△U + ∇ϕ∇U)dV =

H

∂V

(ϕ

∇U)d⃗S,

∫

V

(ϕ

△U − U△ϕ)dV =

H

∂V

(ϕ

∇U − U∇ϕ)d⃗S.

H

∂V

∇Ud⃗S =

∫

V

△UdV ,

gdzie ϕ, U  pola skalarne..

2.4. Wykaza¢, »e ci¡g funkcji

δ

n

(x

− x

0

) =

n

√

π

e

−n

2

(x

−x

0

)

2

, dla −∞ < x < ∞, lim n = ∞ jest dobr¡ reprezentacj¡

delty Diraca.

2.5. Oblicz wprost caªk¦ i przejd¹ z α do granicy zero. Czy pojawia si¦ tu reprezen-

tacja delty Diraca?

I(α) = (2πα

2

)

−1/2

∞

∫

−∞

e

−(x−x0)2

2α2

cos xdx

2.6 Wyka», »e ci¡giem delta (reprezentacj¡ delty Diraca) jest te»

δ

n

(x

− x

0

) =

n

π[1+n

2

(x

−x

0

)

2

]

, dla −∞ < x < ∞.

2.7. Udowodni¢, »e funkcja delta Diraca ma nast¦puj¡ce wªasno±¢i (symboliczny zapis

poni»ej, rozumiany w sensie caªki)

δ(ax) =

1

|a|

δ(x)

δ(x

2

− a

2

) =

1

2

|a|

[δ(x

− a) + δ(x + a)]

Ψ(x)δ(x

− a) = Ψ(a)δ(x − a)

x

d

dx

δ(x) =

−δ(x).

1

2.8. Znale¹¢ transformacj¦ odwrotn¡ do transformacji wyra»aj¡cej w sposób jawny

zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi a sferycznymi.

2.9. Wyrazi¢ jawnie wektory bazowe ˆr, ˆθ, ˆφ ukªadu wspóªrz¦dnych sferycznych jako

funkcje tych wspóªrz¦dnych. Znale¹¢ transformacj¦ odwrotn¡.

2