Modele wielorównaniowe -

-

część 1

[

Podstawy ekonometrii]

Model ekonometryczny:

równanie bądź układ równań, przedstawiający stochastyczną zależność

pomiędzy zasadniczymi zmiennymi charakteryzującymi badane zjawisko
ekonomiczne.

Wielorównaniowy model ekonometryczny:

model złożony z co najmniej dwóch równań, z których przynamniej jedno ma
charakter stochastyczny,

przy czym każde równanie opisuje jedną zmienną

.

[

Podstawy ekonometrii]

Przykład 1: liniowy „naiwny” makromodel gospodarki USA

gdzie:
C

t

– konsumpcja (wydatki na cele konsumpcyjne), X

t

– dochód do dyspozycji, Y

t

–

dochód (wielkość PKB), I

t

– inwestycje, R

t

– stopa procentowa, M

t

– podaż pieniądza,

G

t

– wydatki rządowe, E

t

– saldo bilansu handlu zagranicznego, T

t

– podatki.

Równania

„ konsumpcji”, „inwestycji” i „stopy procentowej” są równaniami

stochastycznymi. Równania

„dochodów” to tożsamości (równania deterministyczne,

równania bilansowe).

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

T

Y

X

E

G

I

C

Y

M

Y

R

Y

R

I

C

X

C









































3

2

1

0

2

2

1

1

0

1

1

2

1

0

























[

Podstawy ekonometrii]

Przykład 2: model Kleina I (1950)

zne

stochastyc

rów nania





















































t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

s

t

t

t

t

t

t

X

X

W

K

P

P

I

W

W

P

P

C

3

3

1

2

1

0

2

1

3

1

2

1

0

1

3

1

2

1

0

)

(































e

bilansując

rów nania





























t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

I

K

K

T

W

X

P

G

I

C

X

1

gdzie:
C

t

– konsumpcja, I

t

– inwestycje, W

t

– płace, W

S

– płace w sektorze państwowym,

X

t

– produkcja, P

t

– zysk, T

t

– podatki, G

t

– wydatki rządowe (poza płacami), K

t

–

zasoby kapitału, t – zmienna czasowa.

[

Podstawy ekonometrii]

Klasyfikacja zmiennych w modelach wielorównaniowych:

A.

Podział na:

 zmienne endogeniczne
 zmienne egzogeniczne

B.

Podział na:



zmienne łącznie współzależne

 zmienne z góry ustalone

Zmienne endogeniczne

– zmienne opisywane poszczególnymi

równaniami modelu (inaczej zm. wewnętrzne).

Zmienne egzogeniczne

– zmienne, których wartości określane są poza

modelem, mają wpływ na badane zjawisko, ale ich zmienność nie jest

wyjaśniana w modelu (inaczej zm. zewnętrzne).

[

Podstawy ekonometrii]

Zmienne łącznie współzależne – nieopóźnione zmienne endogeniczne.

Zmienne z góry ustalone

– wszystkie zmienne egzogeniczne i opóźnione

zmienne endogeniczne.

zmienne

endogeniczne

egzogeniczne

nieopóźnione łącznie współzależne

opóźnione

z góry ustalone

[

Podstawy ekonometrii]

Postaci modelu

:



końcowa

(nie

stanowi przedmiotu bieżących zajęć).

Postać strukturalna – postać odzwierciedlająca pełną strukturę współzależności

pomiędzy zmiennymi łącznie współzależnymi modelu oraz bezpośrednie

oddziaływanie zmiennych z góry ustalonych na każdą ze zmiennych łącznie

współzależnych.

 strukturalna,
 zredukowana,





 AX

BY

gdzie:
Y

– wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,

B

– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych łącznie współzależnych,

X

– wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,

A

– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,

ε – wektor składnika losowego

[

Podstawy ekonometrii]

Postać zredukowana – powstaje poprzez eliminację jednoczesnych w czasie powiązań

między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi. Zmienne łącznie współzależne

wyrażone są jedynie przez wszystkie zmienne z góry ustalone.





 CX

Y

gdzie:
Y

– wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,

X

– wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,

C

– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,

η – wektor składnika losowego

[

Podstawy ekonometrii]

Zależność między parametrami postaci strukturalnej a parametrami postaci
zredukowanej modelu (tzw. równanie identyfikacyjne modelu):

BC

A





Zależność między składnikami losowymi obu postaci modelu:







1

B

[

Podstawy ekonometrii]

Klasy (rodzaje) modeli wielorównaniowych (

ustalane na podstawie postaci strukturalnej

):

 proste

– brak powiązań między zm. łącznie współzależnymi modelu, macierz B

jest macierzą diagonalną (najczęściej jednostkową),

 rekurencyjne

– powiązania łańcuchowe, tylko w jednym kierunku, macierz B jest

macierzą trójkątną lub daje się do takiej sprowadzić (poprzez zmianę kolejności

równań i/lub zmianę numeracji zmiennych),



o równaniach współzależnych – powiązania dwukierunkowe, występują

bezpośrednie sprzężenia zwrotne lub pośrednie, tzw. zamknięte cykle powiązań,

macierz B nie jest ani macierzą diagonalną, a i jednostkową i nie daje się do

takich sprowadzić.

[

Podstawy ekonometrii]

Przykład 3: model prosty

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

y

X

y

X

X

y

y

X

y

3

1

1

33

2

32

30

3

2

2

22

1

21

20

2

1

1

1

13

1

11

10

1





















































Postać strukturalna:







































































































































t

t

t

t

t

t

t

t

t

y

X

X

X

y

y

y

3

2

1

1

1

2

1

0

33

32

30

22

21

20

13

11

10

3

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

























B

Y

A

X

ε

Graf powiązań między zmiennymi łącznie współzależnymi:

y

1t

y

2t

y

3t

[

Podstawy ekonometrii]

Przykład 4: model rekurencyjny

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

y

y

y

X

y

y

y

X

y

3

1

2

32

1

31

3

2

1

21

3

23

1

21

2

1

1

11

1







































P

ostać strukturalna:



















































































































t

t

t

t

t

t

t

t

y

X

y

y

y

3

2

1

1

2

1

32

21

11

3

2

1

31

23

21

0

0

0

1

0

1

0

0

1













































1

0

1

0

0

1

31

23

21

































23

21

31

1

1

0

0

0

1

































1

0

1

0

0

1

23

21

31







y

1t

y

2t

y

3t

y

1t

y

3t

y

2t

[

Podstawy ekonometrii]

Przykład 5: model o równaniach współzależnych

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

X

y

X

y

y

y

X

y

y

y

X

y

y

y

4

45

3

43

40

4

3

2

32

2

32

30

3

2

1

1

24

2

22

1

21

20

2

1

1

1

14

1

11

3

13

2

12

10

1

















































































































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

32

21

13

12

































t

t

t

t

y

y

y

y

4

3

2

1















































45

43

40

32

30

24

22

20

14

11

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

































































t

y

X

X

X

X

t

t

t

t

1

1

3

2

1

0





















t

t

t

3

2

1







Budujemy postać strukturalną:

·

+

·

=

y

1t

y

2t

y

3t

y

4t

Graf powiązań:

bezpośrednie sprzężenie zwrotne

równanie oderwane

y

3t

y

1t

y

2t

zamknięty cykl

powiązań

[

Podstawy ekonometrii]

Budujemy

postać zredukowaną modelu (z przykładu 5):

p. strukturalna:













































































































































































t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

y

X

X

X

X

y

y

y

y

3

2

1

1

1

3

2

1

0

45

43

40

32

30

24

22

20

14

11

10

4

3

2

1

32

21

13

12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1





































p. zredukowana:

























t

t

t

t

y

y

y

y

4

3

2

1

=











































t

y

X

X

X

X

t

t

t

t

1

1

3

2

1

0

























45

44

43

42

41

40

35

34

33

32

31

30

25

24

23

22

21

20

15

14

13

12

11

10

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

.

+





















t

t

t

3

2

1











 CX

Y

[

Podstawy ekonometrii]

Materiał opracowano na podstawie:
1. Witkowska D. [2006]

– Podstawy ekonometrii i teorii prognozowania, Oficyna

Ekonomiczna, Kraków,

2.

Osińska M (red.) [2007] – Ekonometria współczesna, TNOiK, Toruń,

3.

Wiśniewski J.W. [2009] – Mikroekonometria, UMK, Toruń.

Przykłady modeli gospodarek narodowych zaczerpnięto z:
1. Greene, W.H. [2003]

– Econometric Analysis, Person Education, Inc., Upper

Saddle River, New Jersey,

2. Studenmund A.H. [1997]

– Using econometrics. A practical guide, Addison-

Wesley Educational Publishers.