Modele wielorównaniowe -
-
część 1
Modele wielorównaniowe -
-
część 1
[
Podstawy ekonometrii]
Model ekonometryczny:
równanie bądź układ równań, przedstawiający stochastyczną zależność
pomiędzy zasadniczymi zmiennymi charakteryzującymi badane zjawisko
ekonomiczne.
Wielorównaniowy model ekonometryczny:
model złożony z co najmniej dwóch równań, z których przynamniej jedno ma
charakter stochastyczny,
przy czym każde równanie opisuje jedną zmienną
.
[
Podstawy ekonometrii]
Przykład 1: liniowy „naiwny” makromodel gospodarki USA
gdzie:
C
t
– konsumpcja (wydatki na cele konsumpcyjne), X
t
– dochód do dyspozycji, Y
t
–
dochód (wielkość PKB), I
t
– inwestycje, R
t
– stopa procentowa, M
t
– podaż pieniądza,
G
t
– wydatki rządowe, E
t
– saldo bilansu handlu zagranicznego, T
t
– podatki.
Równania
„ konsumpcji”, „inwestycji” i „stopy procentowej” są równaniami
stochastycznymi. Równania
„dochodów” to tożsamości (równania deterministyczne,
równania bilansowe).
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
T
Y
X
E
G
I
C
Y
M
Y
R
Y
R
I
C
X
C
3
2
1
0
2
2
1
1
0
1
1
2
1
0
[
Podstawy ekonometrii]
Przykład 2: model Kleina I (1950)
zne
stochastyc
rów nania
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
s
t
t
t
t
t
t
X
X
W
K
P
P
I
W
W
P
P
C
3
3
1
2
1
0
2
1
3
1
2
1
0
1
3
1
2
1
0
)
(
e
bilansując
rów nania
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
I
K
K
T
W
X
P
G
I
C
X
1
gdzie:
C
t
– konsumpcja, I
t
– inwestycje, W
t
– płace, W
S
– płace w sektorze państwowym,
X
t
– produkcja, P
t
– zysk, T
t
– podatki, G
t
– wydatki rządowe (poza płacami), K
t
–
zasoby kapitału, t – zmienna czasowa.
[
Podstawy ekonometrii]
Klasyfikacja zmiennych w modelach wielorównaniowych:
A.
Podział na:
zmienne endogeniczne
zmienne egzogeniczne
B.
Podział na:
zmienne łącznie współzależne
zmienne z góry ustalone
Zmienne endogeniczne
– zmienne opisywane poszczególnymi
równaniami modelu (inaczej zm. wewnętrzne).
Zmienne egzogeniczne
– zmienne, których wartości określane są poza
modelem, mają wpływ na badane zjawisko, ale ich zmienność nie jest
wyjaśniana w modelu (inaczej zm. zewnętrzne).
[
Podstawy ekonometrii]
Zmienne łącznie współzależne – nieopóźnione zmienne endogeniczne.
Zmienne z góry ustalone
– wszystkie zmienne egzogeniczne i opóźnione
zmienne endogeniczne.
zmienne
endogeniczne
egzogeniczne
nieopóźnione łącznie współzależne
opóźnione
z góry ustalone
[
Podstawy ekonometrii]
Postaci modelu
:
końcowa
(nie
stanowi przedmiotu bieżących zajęć).
Postać strukturalna – postać odzwierciedlająca pełną strukturę współzależności
pomiędzy zmiennymi łącznie współzależnymi modelu oraz bezpośrednie
oddziaływanie zmiennych z góry ustalonych na każdą ze zmiennych łącznie
współzależnych.
strukturalna,
zredukowana,
AX
BY
gdzie:
Y
– wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,
B
– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych łącznie współzależnych,
X
– wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,
A
– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,
ε – wektor składnika losowego
[
Podstawy ekonometrii]
Postać zredukowana – powstaje poprzez eliminację jednoczesnych w czasie powiązań
między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi. Zmienne łącznie współzależne
wyrażone są jedynie przez wszystkie zmienne z góry ustalone.
CX
Y
gdzie:
Y
– wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,
X
– wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,
C
– macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,
η – wektor składnika losowego
[
Podstawy ekonometrii]
Zależność między parametrami postaci strukturalnej a parametrami postaci
zredukowanej modelu (tzw. równanie identyfikacyjne modelu):
BC
A
Zależność między składnikami losowymi obu postaci modelu:
1
B
[
Podstawy ekonometrii]
Klasy (rodzaje) modeli wielorównaniowych (
ustalane na podstawie postaci strukturalnej
):
proste
– brak powiązań między zm. łącznie współzależnymi modelu, macierz B
jest macierzą diagonalną (najczęściej jednostkową),
rekurencyjne
– powiązania łańcuchowe, tylko w jednym kierunku, macierz B jest
macierzą trójkątną lub daje się do takiej sprowadzić (poprzez zmianę kolejności
równań i/lub zmianę numeracji zmiennych),
o równaniach współzależnych – powiązania dwukierunkowe, występują
bezpośrednie sprzężenia zwrotne lub pośrednie, tzw. zamknięte cykle powiązań,
macierz B nie jest ani macierzą diagonalną, a i jednostkową i nie daje się do
takich sprowadzić.
[
Podstawy ekonometrii]
Przykład 3: model prosty
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
X
y
X
X
y
y
X
y
3
1
1
33
2
32
30
3
2
2
22
1
21
20
2
1
1
1
13
1
11
10
1
Postać strukturalna:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
X
X
X
y
y
y
3
2
1
1
1
2
1
0
33
32
30
22
21
20
13
11
10
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
B
Y
A
X
ε
Graf powiązań między zmiennymi łącznie współzależnymi:
y
1t
y
2t
y
3t
[
Podstawy ekonometrii]
Przykład 4: model rekurencyjny
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
y
X
y
y
y
X
y
3
1
2
32
1
31
3
2
1
21
3
23
1
21
2
1
1
11
1
P
ostać strukturalna:
t
t
t
t
t
t
t
t
y
X
y
y
y
3
2
1
1
2
1
32
21
11
3
2
1
31
23
21
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
31
23
21
23
21
31
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
23
21
31
y
1t
y
2t
y
3t
y
1t
y
3t
y
2t
[
Podstawy ekonometrii]
Przykład 5: model o równaniach współzależnych
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
X
y
X
y
y
y
X
y
y
y
X
y
y
y
4
45
3
43
40
4
3
2
32
2
32
30
3
2
1
1
24
2
22
1
21
20
2
1
1
1
14
1
11
3
13
2
12
10
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
32
21
13
12
t
t
t
t
y
y
y
y
4
3
2
1
45
43
40
32
30
24
22
20
14
11
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
y
X
X
X
X
t
t
t
t
1
1
3
2
1
0
t
t
t
3
2
1
Budujemy postać strukturalną:
·
+
·
=
y
1t
y
2t
y
3t
y
4t
Graf powiązań:
bezpośrednie sprzężenie zwrotne
równanie oderwane
y
3t
y
1t
y
2t
zamknięty cykl
powiązań
[
Podstawy ekonometrii]
Budujemy
postać zredukowaną modelu (z przykładu 5):
p. strukturalna:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
X
X
X
X
y
y
y
y
3
2
1
1
1
3
2
1
0
45
43
40
32
30
24
22
20
14
11
10
4
3
2
1
32
21
13
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
p. zredukowana:
t
t
t
t
y
y
y
y
4
3
2
1
=
t
y
X
X
X
X
t
t
t
t
1
1
3
2
1
0
45
44
43
42
41
40
35
34
33
32
31
30
25
24
23
22
21
20
15
14
13
12
11
10
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
.
+
t
t
t
3
2
1
CX
Y
[
Podstawy ekonometrii]
Materiał opracowano na podstawie:
1. Witkowska D. [2006]
– Podstawy ekonometrii i teorii prognozowania, Oficyna
Ekonomiczna, Kraków,
2.
Osińska M (red.) [2007] – Ekonometria współczesna, TNOiK, Toruń,
3.
Wiśniewski J.W. [2009] – Mikroekonometria, UMK, Toruń.
Przykłady modeli gospodarek narodowych zaczerpnięto z:
1. Greene, W.H. [2003]
– Econometric Analysis, Person Education, Inc., Upper
Saddle River, New Jersey,
2. Studenmund A.H. [1997]
– Using econometrics. A practical guide, Addison-
Wesley Educational Publishers.