Modele ARIMA w

Modele ARIMA w

prognozowaniu

prognozowaniu

Indeks WIG20 w okresie od 25

marca 1999 do 21 marca 2000.

Indeks WIG20 - różnice

Indeks WIG20 - funkcja ACF dla

różnic

Dopasowanie modelu AR(1) do różnic z

WIG20.

1.

Dokonamy estymacji parametrów w

tym modelu

2.

Narysujemy reszty po dopasowaniu

tego modelu do różnic WIG20.

3.

Jeśli reszty będą białym szumem -

oznaczać to będzie dobre

dopasowanie.

Wykres funkcji ACF dla reszt w

modelu AR(1)

Reszty nie są białym szumem.
Ponieważ rysunek reszt w modelu AR(1) dla

różnic zawiera istotne wartości
(przekraczające linie przedziału ufności),
postanawiamy dopasować do różnic model
ARMA(1,1).

Jest to model mieszany, ponieważ łączy

elementy modelu AR(1) z modelem MA(1)

Jeśli dopasowanie jest poprawne, wtedy reszty

powinny być białym szumem.

Wzór modelu ARMA(1,1)



Szereg czasowy spełnia równanie

ARMA(1,1), jeśli

gdzie Φ

1

i θ

1

to parametry do wyestymowania,

c jest stał¡, natomiast ε

t

to biały szum

Dopasowanie modelu ARMA(1,1) polegać

będzie na estymacji parametrów Φ

1

i θ

1

.

Jeśli dopasowanie jest poprawne, wtedy reszty

ε

t

powinny być białym szumem

1

1

1

1













t

t

t

t

c

Y

Y









Wartości estymatorów w modelu

ARMA(1,1) wynoszą

Φ

1

= -0,1199

θ

1

= 0,925

Wykres funkcji ACF dla reszt w

modelu ARMA (1;1)

Możemy więc stwierdzić, ze do różnic

WIG20 pasuje dobrze model
ARMA(1,1) albo ze do wyjściowych
danych WIG20 pasuje model
ARIMA(1,1,1)

Ogólna definicja modelu

ARIMA (p,d,q)

Litera d.



Wyjściowe dane należy zróżnicować d razy. W

zastosowaniach rozważamy zazwyczaj dwie

możliwości d=1 oraz d=2.



Dwukrotne (d=2 ) różnicowanie oznacza, że

obliczamy najpierw różnice z wyjściowych

danych, a potem jeszcze raz różnice z różnic.

Litery p i q



Po zastosowaniu d - krotnego różnicowania

dopasowujemy do danych model ARMA (p,q)

Kryteria informacyjne jako

Kryteria informacyjne jako

metoda identyfikacji modelu

metoda identyfikacji modelu

ARMA

ARMA



W celu wyznaczenia rzędu opóźnień modelu

W celu wyznaczenia rzędu opóźnień modelu

ARMA przyjmuje się relatywnie wysokie p i q

ARMA przyjmuje się relatywnie wysokie p i q

(np. ARMA (5;5)) i szacuje modele

(np. ARMA (5;5)) i szacuje modele

zawierające wszystkie możliwe kombinacje p

zawierające wszystkie możliwe kombinacje p

≤ 5 i q ≤ 5 , następnie wylicza się kryteria:

≤ 5 i q ≤ 5 , następnie wylicza się kryteria:

gdzie: T – liczba obserwacji

gdzie: T – liczba obserwacji

k – liczba szacowanych parametrów

k – liczba szacowanych parametrów

- estymator największej wiarygodności

- estymator największej wiarygodności

wariancji reszt

wariancji reszt

k

T

AIC

2

ˆ

ln

2









2

ˆ







Wybrany zostaje model, dla którego

Wybrany zostaje model, dla którego

utrata informacji jest najmniejsza

utrata informacji jest najmniejsza



To znaczy taki model, dla którego AIC

To znaczy taki model, dla którego AIC

przyjmuje wartość najmniejszą

przyjmuje wartość najmniejszą

Własność teoretyczna ACF i

Własność teoretyczna ACF i

PACF typu ARMA

PACF typu ARMA

Proces

Proces

ACF

ACF

PACF

PACF

AR (p)

AR (p)

Nieskończona,

Nieskończona,

zanikająca

zanikająca

(zanikające

(zanikające

funkcje wykładnicze lub

funkcje wykładnicze lub

sinusoidy tłumione)

sinusoidy tłumione)

Skończona, urywa się

Skończona, urywa się

po odstępie p

po odstępie p

MA (q)

MA (q)

Skończona, urywa się

Skończona, urywa się

po odstępie q

po odstępie q

Nieskończona,

Nieskończona,

zanikająca

zanikająca

(zanikające

(zanikające

funkcje wykładnicze lub

funkcje wykładnicze lub

sinusoidy tłumione)

sinusoidy tłumione)

ARMA

ARMA

(p;q)

(p;q)

Nieskończona,

Nieskończona,

zanikająca

zanikająca

(po

(po

pierwszych q-p

pierwszych q-p

odstępach zanikające

odstępach zanikające

funkcje wykładnicze lub

funkcje wykładnicze lub

sinusoidy tłumione)

sinusoidy tłumione)

Nieskończona,

Nieskończona,

zanikająca

zanikająca

(po

(po

pierwszych q-p

pierwszych q-p

odstępach zanikające

odstępach zanikające

funkcje wykładnicze lub

funkcje wykładnicze lub

sinusoidy tłumione)

sinusoidy tłumione)

B Y

B Y

t

t

= Y

= Y

t-1

t-1

B (B Y

B (B Y

t

t

) = B

) = B

2

2

Y

Y

t

t

= Y

= Y

t-2

t-2

B

B

12

12

Y

Y

t

t

= Y

= Y

t-12

t-12

różnicowanie Y’

różnicowanie Y’

t

t

= Y

= Y

t

t

–Y

–Y

t-1

t-1

=Y

=Y

t

t

–B Y

–B Y

t

t

=(1-

=(1-

B)Y

B)Y

t

t

Y’’

Y’’

t

t

= Y’

= Y’

t

t

–Y’

–Y’

t-1

t-1

=(Y

=(Y

t

t

-Y

-Y

t-1

t-1

)-(Y

)-(Y

t-1

t-1

-Y

-Y

t-2

t-2

)=

)=

= Y

= Y

t

t

-2Y

-2Y

t-1

t-1

+Y

+Y

t-2

t-2

=(1-2B+B

=(1-2B+B

2

2

) Y

) Y

t

t

=(1-B)

=(1-B)

2

2

Y

Y

t

t

ARIMA (1;0;1)

ARIMA (1;0;1)

Y

Y

t

t

= c +

= c +

φ

φ

1

1

Y

Y

t-1

t-1

+ e

+ e

t

t

–

–

θ

θ

1

1

e

e

t-1

t-1

φ

φ

1

1

= 0,3

= 0,3

θ

θ

1

1

= -0,7 c = 7

= -0,7 c = 7

(1-

(1-

φ

φ

1

1

B) Y

B) Y

t

t

= c + (1-

= c + (1-

θ

θ

1

1

B) e

B) e

t

t

AR(1) MA(1)

AR(1) MA(1)

Y

Y

t

t

-

-

φ

φ

1

1

Y

Y

t-1

t-1

= c + e

= c + e

t

t

-

-

θ

θ

1

1

e

e

t-1

t-1

Y

Y

t

t

= 7 + 0,3 Y

= 7 + 0,3 Y

t-1

t-1

– 0,7 e

– 0,7 e

t-1

t-1

Sezonowość w modelach

ARIMA (p,d,q)



Po pierwsze: przedstawimy sposoby
identyfikacji sezonowości w modelach
ARIMA (p,d,q).



Po drugie: przedstawimy metody
estymacji parametrów modeli
sezonowych ARIMA.



Po trzecie: przedstawimy sposób
obliczania prognoz w takich modelach.

Wartości indeksu Moody’ego w

Wartości indeksu Moody’ego w

okresie od stycznia 1947 do lutego

okresie od stycznia 1947 do lutego

1992

1992

Wartości indeksu Moody'ego po

różnicowaniu

Funkcji ACF i PACF dla różnic

(R

t

=Y

t

-Y

t-1

) indeksu Moody'ego

Funkcji ACF i PACF dla różnic

(Z

t

=R

t

-R

t-5

) indeksu Moody'ego

- 1 .0 0

- .8 0

- .6 0

- .4 0

- .2 0

.0 0

.2 0

.4 0

.6 0

.8 0

1 .0 0

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

S a m p l e A C F

- 1 .0 0

- .8 0

- .6 0

- .4 0

- .2 0

.0 0

.2 0

.4 0

.6 0

.8 0

1 .0 0

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

S a m p l e P A C F

Do w/w indeksu Moody'ego

dopasujemy model (sezonowy)

ARIMA (2;1;0) (3;0;0)

5

1.

1.

Różnicowanie zmiennych R

Różnicowanie zmiennych R

t

t

= Y

= Y

t

t

– Y

– Y

t-1

t-1

2.

2.

Model AR(3) sezonowy

Model AR(3) sezonowy

Z

Z

t

t

= R

= R

t

t

–

–

Ф

Ф

1

1

R

R

t-5

t-5

–

–

Ф

Ф

2

2

R

R

t-10

t-10

–

–

Ф

Ф

3

3

R

R

t-15

t-15

3. Model AR(2)

3. Model AR(2)

Z

Z

t

t

–

–

φ

φ

1

1

Z

Z

t-1

t-1

–

–

φ

φ

2

2

Z

Z

t-2

t-2

= e

= e

t

t

Z

Z

t

t

=

=

φ

φ

1

1

Z

Z

t-1

t-1

+

+

φ

φ

2

2

Z

Z

t-2

t-2

+ e

+ e

t

t

Funkcji ACF i PACF dla reszt z

modelu ARIMA (3;1;0) (3;0;0)

5

W modelu ARIMA (2;1;0) (3;0;0)

W modelu ARIMA (2;1;0) (3;0;0)

5

5

wartości estymatorów parametrów

wartości estymatorów parametrów

wynosiły:

wynosiły:

φ

φ

1

1

= 0,49

= 0,49

φ

φ

2

2

= -0,31

= -0,31

Ф

Ф

1

1

=

=

0,17

0,17

Ф

Ф

2

2

=

=

0,13

0,13

Ф

Ф

3

3

=

=

-0,13

-0,13

ARIMA (p;d,q) (P;D;Q)

ARIMA (p;d,q) (P;D;Q)

s

s

ARIMA (1,1,1) (1,1,1)

ARIMA (1,1,1) (1,1,1)

4

4

(1-

(1-

φ

φ

1

1

В

В

)(1-

)(1-

Ф

Ф

1

1

B

B

4

4

)

)

(1-B)(1-B

(1-B)(1-B

4

4

)Y

)Y

t

t

=(1-

=(1-

θ

θ

1

1

B)(1-

B)(1-

ΘB

ΘB

4

4

)e

)e

t

t

nie

sezonowa

AR(1)

sezonow

a AR(1)

różnicowani

e nie

sezonowe Y

t

– Y

t-1

różnicowani

e sezonowe

nie

sezonowe

MA(1)

sezonow

e MA(1)

Y

Y

t

t

= (1+

= (1+

φ

φ

1

1

)

)

Y

Y

t-1

t-1

-

-

φ

φ

1

1

Y

Y

t-2

t-2

+(1+

+(1+

Ф

Ф

1

1

)

)

Y

Y

t-4

t-4

–

–

-

-

(1+

(1+

φ

φ

1

1

+Ф

+Ф

1

1

+

+

φ

φ

1

1

Ф

Ф

1

1

)

)

Y

Y

t-5

t-5

+(

+(

φ

φ

1

1

+

+

φ

φ

1

1

Ф

Ф

1

1

)Y

)Y

t-6

t-6

–

–

-

-

Ф

Ф

1

1

Y

Y

t-8

t-8

+(

+(

Ф

Ф

1

1

+

+

φ

φ

1

1

Ф

Ф

1

1

)

)

Y

Y

t-9

t-9

-

-

φ

φ

1

1

Ф

Ф

1

1

Y

Y

t-10

t-10

+

+

+ e

+ e

t

t

-

-

θ

θ

1

1

e

e

t-1

t-1

-

-

Θ

Θ

1

1

e

e

t-4

t-4

+

+

θ

θ

1

1

Θ

Θ

1

1

e

e

t-5

t-5

ARIMA (p;d,q) (P;D;Q)

ARIMA (p;d,q) (P;D;Q)

s

s

ARIMA (2,1,0) (3,0,0)

ARIMA (2,1,0) (3,0,0)

5

5

(1-

(1-

φ

φ

1

1

В

В

-

-

φ

φ

2

2

В

В

2

2

)(1-

)(1-

Ф

Ф

1

1

B

B

5

5

-

-

Ф

Ф

2

2

B

B

10

10

-

-

Ф

Ф

3

3

B

B

15

15

)

)

(1-

(1-

B)Y

B)Y

t

t

=

=

e

e

t

t

nie

sezonowa

AR(2)

sezonowa AR(3)

różnicowani

e nie

sezonowe Y

t

– Y

t-1

Ilość użytkowników Internetu

Ilość użytkowników Internetu

(minuty)

(minuty)

ARIMA (p;d,q)

ARIMA (p;d,q)

ARIMA (3,1,0)

ARIMA (3,1,0)

(1-

(1-

φ

φ

1

1

В

В

-

-

φ

φ

2

2

В

В

2

2

–

–

φ

φ

3

3

В

В

3

3

)(1-B)Y

)(1-B)Y

t

t

=

=

e

e

t

t

nie

sezonowa

AR(2)

różnicowani

e nie

sezonowe Y

t

– Y

t-1

Wielkość sprzedaży

Wielkość sprzedaży