Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
12 grudnia 2012
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
1 / 60
Ćwiczenie 1
Znajdź kombinację x
1
w
1
+ x
2
w
2
+ x
3
w
3
, która daje wektor zerowy.
w
1
=
2
2
2
w
2
=
8
6
10
w
3
=
9
4
14
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
2 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Aby znaleźć odpowiednią kombinację tych wektorów,
posłużymy się metodą eliminacji Gaussa. Należy przedtem z podanych wektorów
utworzyć macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
3 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Aby znaleźć odpowiednią kombinację tych wektorów,
posłużymy się metodą eliminacji Gaussa. Należy przedtem z podanych wektorów
utworzyć macierz.
Otrzymujemy:
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
4 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
Następnie:
Pierwszy wiersz macierzy W pozostaje bez zmian:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
5 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
Następnie:
Pierwszy wiersz macierzy W pozostaje bez zmian:
2
8
9
.
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
6 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
− >
2
8
9
.
.
.
.
.
.
Następnie drugi wiersz macierzy W odejmiemy od pierwszego,
wynik zapiszemy w drugim wierszu:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
7 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
− >
2
8
9
.
.
.
.
.
.
Następnie drugi wiersz macierzy W odejmiemy od pierwszego,
wynik zapiszemy w drugim wierszu:
2
8
9
0
2
5
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
8 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
− >
2
8
9
.
.
.
.
.
.
− >
2
8
9
0
2
5
.
.
.
Trzeci wiersz macierzy W również odejmiemy od pierwszego,
a wynik zapiszemy w trzecim wierszu:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
9 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
W =
2
8
9
2
6
4
2
10
14
− >
2
8
9
.
.
.
.
.
.
− >
2
8
9
0
2
5
.
.
.
Trzeci wiersz macierzy W również odejmiemy od pierwszego,
a wynik zapiszemy w trzecim wierszu:
W =
2
8
9
0
2
5
0
−2
−5
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
10 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Co się stanie jeżeli drugi wiersz naszej
zredukowanej macierzy dodamy do trzeciego? Zobaczmy:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
11 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Co się stanie jeżeli drugi wiersz naszej
zredukowanej macierzy dodamy do trzeciego? Zobaczmy:
W =
2
8
9
0
2
5
0
0
0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
12 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Trzeci wiersz się wyzerował! Co to może oznaczać?
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
13 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Trzeci wiersz się wyzerował! Co to może oznaczać?
Oznacza to, że nasza macierz została zbudowana z 3 wektorów,
z których 2 są zależne od 3-ego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
14 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego zadania... Weźmy zatem 2 ostatnie wiersze zredukowanej
macierzy W zanim ostatni wiersz został wyzerowany i przyrównajmy je do zera.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
15 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego zadania... Weźmy zatem 2 ostatnie wiersze zredukowanej
macierzy W zanim ostatni wiersz został wyzerowany i przyrównajmy je do zera.
(
2x
2
+ 5x
3
= 0
−2x
2
− 5x
3
= 0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
16 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x
1
= −11, x
2
= 5 oraz x
3
= −2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
17 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x
1
= −11, x
2
= 5 oraz x
3
= −2
Zatem
−11w
1
+ 5w
2
− 2w
3
= 0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
18 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x
1
= −11, x
2
= 5 oraz x
3
= −2
Zatem
−11w
1
+ 5w
2
− 2w
3
= 0
-11
2
2
2
+5
8
6
10
-2
9
4
14
= 0
Ostatecznie uzyskujemy wektor v =
−11 5 −2
Powstały wektor można dowolnie rozciągać, dlatego to tylko jedna z nieskończonej
ilości możliwości określenia jego składowych.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
19 / 60
Podsumowanie ćwiczenia 1:
Wniosek
Wektory składające się na macierz W są zależne, gdyż istnieje ich kombinacja
liniowa, która wyzeruje jej ostatni wiersz.
Mimo, że poszczególne wektory opisują przestrzeń, to tak naprawdę razem
wyznaczają płaszczyznę (w przestrzeni). Macierz zbudowana z wektorów
zależnych jest nieodwracalna.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
20 / 60
Ćwiczenie 2
Wykonaj mnożenie:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
21 / 60
Ćwiczenie 2
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy nie jest skomplikowanym działaniem, lecz należy
pamiętać, że w ich przypadku nie zachodzi przemienność mnożenia
(AB 6= BA). W związku z tym muszą one spełnić pewien warunek. Ilość
kolumn macierzy pierwszej musi być równa ilości wierszy macierzy drugiej.
Jeśli ten warunek nie jest spełniony, ich pomnożenie nie będzie możliwe.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia dla wymiarów danych macierzy, otrzymamy:
m x n
n x p
W wyniku wymnożenia macierzy o podanych wymiarach uzyskamy nową
macierz o wymiarach m x p
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
22 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W naszym przypadku mamy do czynienia z macierzą 3 x 3 i 3 x 1 (wektor)
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
23 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W naszym przypadku mamy do czynienia z macierzą 3 x 3 i 3 x 1 (wektor)
W wyniku ich mnożenia otrzymamy macierz (wektor) także 3 x 1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
24 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
25 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
.
.
.
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
26 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
.
.
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
27 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
.
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
28 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
+4 · 1
.
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
29 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
+4 · 1
+0 · 2
.
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
30 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
+(−8) · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
.
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
31 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
+(−8) · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
32 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
+(−8) · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
−3 · 2
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
33 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
3
7
−8
4
0
2
5
−3
0
1
2
3
=
3 · 1
+7 · 2
+(−8) · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
−3 · 2
+0 · 3
=
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
34 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
35 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
−3 · 2
+0 · 3
=
−7
.
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
36 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
−3 · 2
+0 · 3
=
−7
10
.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
37 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
3 · 1
+7 · 2
−8 · 3
+4 · 1
+0 · 2
+2 · 3
+5 · 1
−3 · 2
+0 · 3
=
−7
10
−1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
38 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Jak widać mnożenie macierzy przez wektor nie wymaga wielu obliczeń.
Niestety w przypadku mnożenia macierzy przez macierz sytuacja się nieco
komplikuje. Co prawda nie wzrasta poziom trudności obliczeń, lecz wzrasta
ich ilość. Im większe macierze tym większa liczba operacji arytmetycznych
potrzebnych do wykonania działania.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
39 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Jak widać mnożenie macierzy przez wektor nie wymaga wielu obliczeń.
Niestety w przypadku mnożenia macierzy przez macierz sytuacja się nieco
komplikuje. Co prawda nie wzrasta poziom trudności obliczeń, lecz wzrasta
ich ilość. Im większe macierze tym większa liczba operacji arytmetycznych
potrzebnych do wykonania działania.
Rozwiążmy zatem bardziej skomplikowany przykład, który pokaże nam jak
dokonywać poszczególnych obliczeń, gdy zamiast wektora pojawi się inna macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
40 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
41 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
Jaki będzie wymiar nowej macierzy?
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
42 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
Jaki będzie wymiar nowej macierzy?
Jeżeli przypomnimy sobie warunek jaki muszą spełnić macierze, aby dało się je
pomnożyć, szybko można stwierdzić, że będzie to macierz 3 x 3.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
43 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znaleźć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
44 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znaleźć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Rozbijemy zatem nasze działanie na
sumę dwóch iloczynów dwóch innych macierzy (wektorów).
2
0
2
·
2 8 −1 +
6
5
−8
·
3 3 4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
45 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znaleźć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Rozbijemy zatem nasze działanie na
sumę dwóch iloczynów dwóch innych macierzy (wektorów).
2
0
2
·
2 8 −1 +
6
5
−8
·
3 3 4
Jak się okazuje ”nowe” macierze (wektory) są tworzone przez odpowiednie wiersze
i kolumny poszczególnych macierzy danych w zadaniu.
=>
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
46 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
2 · 2
2 · 8
2 · −1
0 · 2
0 · 8
0 · −1
2 · 2
2 · 8
2 · −1
+
6 · 3
6 · 3
6 · 4
5 · 3
5 · 3
5 · 4
−8 · 3
−8 · 3
−8 · 4
=
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
47 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
2 · 2
2 · 8
2 · −1
0 · 2
0 · 8
0 · −1
2 · 2
2 · 8
2 · −1
+
6 · 3
6 · 3
6 · 4
5 · 3
5 · 3
5 · 4
−8 · 3
−8 · 3
−8 · 4
=
Po zsumowaniu wartości w wierszach otrzymamy końcowy wynik:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
48 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
2 · 2
2 · 8
2 · −1
0 · 2
0 · 8
0 · −1
2 · 2
2 · 8
2 · −1
+
6 · 3
6 · 3
6 · 4
5 · 3
5 · 3
5 · 4
−8 · 3
−8 · 3
−8 · 4
=
Po zsumowaniu wartości w wierszach otrzymamy końcowy wynik:
=
22
34
22
15
15
20
−20
−8
−34
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
49 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Takie rozbijanie działania oczywiście nie jest potrzebne. Dokonując go jednak
łatwo zauważyć, że pierwsza kolumna macierzy pierwszej mnoży się tylko i
wyłącznie z pierwszym wierszem macierzy drugiej. Natomiast druga kolumna
macierzy pierwszej mnoży się tylko z drugim wierszem macierzy drugiej.
Wyniki się dodaje, tworząc w ten sposób nową macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
50 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
51 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
=
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
52 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
=
(2 · 2 + 6 · 3)
(2 · 8 + 6 · 3)
(2 · (−1) + 6 · 4)
(0 · 2 + 5 · 3)
(0 · 8 + 5 · 3)
(0 · (−1) + 5 · 4)
(2 · 2 − 8 · 3)
(2 · 8 − 8 · 3)
(2 · (−1) − 8 · 4)
=
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
53 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
2
6
0
5
2
−8
2 8 −1
3
3
4
=
(2 · 2 + 6 · 3)
(2 · 8 + 6 · 3)
(2 · (−1) + 6 · 4)
(0 · 2 + 5 · 3)
(0 · 8 + 5 · 3)
(0 · (−1) + 5 · 4)
(2 · 2 − 8 · 3)
(2 · 8 − 8 · 3)
(2 · (−1) − 8 · 4)
=
=
22
34
22
15
15
20
−20
−8
−34
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
54 / 60
Podsumowanie ćwiczenia 2
Własności mnożenia macierzy
Mnożenie macierzy nie jest przemienne AB 6= BA (za wyjątkiem macierzy
diagonalnych, równego stopnia).
Aby macierze można było mnożyć,
ich wymiary muszą spełnić warunek: m x n
n x p .
Jeżeli ten jest spełniony, w wyniku otrzymamy macierz m x p.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
55 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
56 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
57 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
58 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
1
Macierz 3 x 4 razy macierz 4 x 2 daje w wyniku macierz o wymiarach 3 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
59 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
1
Macierz 3 x 4 razy macierz 4 x 2 daje w wyniku macierz o wymiarach 3 x 2.
Jest to prawda. Macierze mogą być pomnożone, bo zgadza się ilość kolumn
pierwszej i ilość wierszy drugiej. W wyniku otrzymamy macierz 3 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
12 grudnia 2012
60 / 60
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Równania różniczkowe-ćwiczenia, budownictwo, III semestr, Analiza matematyczna 3, Matematyka, Matma2
Powitanie wiosny – zabawy matematyczne z figurami geometrycznymi, dla dzieci, ćwiczenia matematyczne
01 oprac geometria równań liniowych
84 Interpretacja geometryczna równania?rnoulliego dla strugi rzeczywistej
C Users Radzio Desktop Studia ARCHITEKTURA i URBANISTYKA Sem 2 Geometria wykreslna Zadania Cwiczenie
Ludwika Kaczmarek Rownania rozniczkowe cwiczenia
Geometria wykreślna Ćwiczenie 8
Geometria wykreślna Ćwiczenie 7
Geometria wykreślna Ćwiczenie 12 13
geometria wykreslna cwiczenia 09 10
Geometria wykreślna Ćwiczenie 5 i 6
Ćwiczenie nr 6 [geometria]
Geometria wykreślna Ćwiczenie 5
Cwiczenia rownanie charakterystyczne
ćwiczenia wytrzymałość, Metoda Mohra 000, Sposób Clebscha jednolitego zapisu równań momentów zginają
ćwiczenia wytrzymałość, Metoda Mohra 000, Sposób Clebscha jednolitego zapisu równań momentów zginają
Geometria CWICZENIA 7a
Geometria wykreślna, Ćwiczenie 15
więcej podobnych podstron