Geometria równań liniowych
Piotr Michałek, Michał Kmiecik
2012-12-15
1
Geometria równań liniowych
Piotr Michałek, Michał Kmiecik
2012-12-15
1
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
I Układanie równania macierzowego
Niech jako przykład posłuży nam układ równań:
2x + 3y = 8
−3x − 8y = 0
Zapisujemy go jako:
2
3
−3
8
x
y
=
8
0
Gdzie naszą macierz będziemy oznaczać jako A, wektor rozwiązań to x, a prawa
strona równania to b. Całe równanie jest więc postawi Ax=b.
Weźmy trochę trudniejszy przykład.
3a − c + d = 5
b + 2c = 8
a + b − d = 3
2d = 15
Powyższy układ analogicznie zapiszemy jako:
3
0
−1
1
0
1
2
0
1
1
0
−1
0
0
0
2
a
b
c
d
=
5
8
3
15
II Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci wierszowej
Będziemy rozpatrywać taki układ równań:
x − 3y = 6
2x − y = 2
1 −3
2
−1
x
y
=
6
2
Wykresy tych równań przedstawione są na rysunku poniżej. Jak widać roz-
wiązanie to P=(0,-2)
Strona 1
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
Możemy równień miec układ nieoznaczony
2x − 3y = 5
−4x + 6y = −10
2
−3
−4
6
x
y
=
5
−10
Oba wiersze leżą na jednej prostej, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
III Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci kolumnowej
Reprezentacja kolumnowa polega na przedstawieniu układu równań za pomocą
kombinacji liniowej kolumn macierzy.
Skorzystajmy z poprzedniego przykładu:
2
−3
−4
6
x
y
=
5
−10
... jako kombinacja liniowa jest postaci
x
2
−4
+ y
−3
6
=
5
−10
Pamiętamy, że równanie to było nieoznaczone. Jest tak dlatego, gdyż kolum-
ny macierzy A oraz wektor b leżą na jednej prostej. Innymi słowy są od siebie
zależne:
Strona 2
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
2
−4
= -2/3
−3
6
5
−10
=
2
−4
-
−3
6
Zmiana wektora b w taki sposób, aby stał się niezależny od kolumn macierzy
doprowadza do braku rozwiązań, ponieważ nie istnieje taka kombinacja liniowa
kolumn macierzy aby dawała wektor b. Równanie ma natomiast jedno rozwiąza-
nie, gdy wektory macierzy będą niezależne, tzn jesli np wektor [2,-4] pozostanie
bez zmian ( wtedy za ich pomocą można utworzyć dowolny wektor), to dru-
giego wektora nie będzie można przedstawić w żaden sposób za pomocą tego
pierwszego, czyli c*[2,-4]. Drugą kolumną macierzy może być zatem np. [2,5]
IV Analiza macierzy 4 na 4
1
3
2
2
2
1
2
4
5
10
0
10
6
2
0
12
a
b
c
d
=
b1
b2
b3
b4
Strona 3
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
W układzie tym znajdują się cztery niewiadome, oznacza to że mamy do czy-
nienia z przestrzenią czterowymiarową. Każde równanie tego układu jest bryłą
trójwymiarową. Ze względu na wielowymiarowość przestrzeni nie będziemy się
zajmować reprezentacją wierszową. Zapiszmy równanie w reprezentacji kolum-
nowej :
a
1
2
5
6
+b
3
1
10
2
+c
2
2
0
0
+d
2
4
10
12
=
b1
b2
b3
b4
Zauważmy, że wektory
1
2
5
6
i
2
4
10
12
, leżą na jednej prostej dlatego kolumny
macierzy A nie rozpinają całej przestrzeni czterowymiarowej, a tylko trójwy-
miarową.
Wynika z tego fakt, iż równanie to ma jedynie rozwiązanie gdy wektor b leży w
tej przestrzeni trójwymiarowej ( jest kombinacją liniową niezależnych kolumn
macierzy ). Gdyby lezał poza nią, nie byłoby rozwiązań.
V.Mnożenie macierzy przez wektor
0
1
4
2
3
8
1
−4
6
1
2
−7
I SPOSÓB
1
0
2
1
+ 2
1
3
−4
+ -7
4
8
6
=
1 ∗ 0
1 ∗ 2
1 ∗ 1
+
2 ∗ 1
2 ∗ 3
2 ∗ (−4)
+
−7 ∗ 4
−7 ∗ 8
−7 ∗ 6
=
0 + 2 − 28
2 + 6 − 56
1 − 8 − 42
=
−26
−48
−49
II SPOSÓB
0 1 4
1
2
−7
+
2 3 8
1
2
−7
+
1 −4 6
1
2
−7
=
0 ∗ 1 + 1 ∗ 2 − 7 ∗ 4
2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 − 8 ∗ 7
1 ∗ 1 − 4 ∗ 2 − 6 ∗ 7
Strona 4
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
=
−26
−48
−49
Strona 5