Geometria równań liniowych
Piotr Michałek, Michał Kmiecik
2012-12-15
1
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
I Układanie równania macierzowego
Niech jako przykład posłuży nam układ równań:
2x + 3y = 8
−3x − 8y = 0
Zapisujemy go jako:
2
3
−3
8
x
y
=
8
0
Gdzie naszą macierz będziemy oznaczać jako A, wektor rozwiązań to x, a prawa
strona równania to b. Całe równanie jest więc postawi Ax=b.
Weźmy trochę trudniejszy przykład.
3a − c + d = 5
b + 2c = 8
a + b − d = 3
2d = 15
Powyższy układ analogicznie zapiszemy jako:
3
0
−1
1
0
1
2
0
1
1
0
−1
0
0
0
2
a
b
c
d
=
5
8
3
15
II Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci wierszowej
Będziemy rozpatrywać taki układ równań:
x − 3y = 6
2x − y = 2
1 −3
2
−1
x
y
=
6
2
Wykresy tych równań przedstawione są na rysunku poniżej. Jak widać roz-
wiązanie to P=(0,-2)
Strona 1
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
Możemy równień miec układ nieoznaczony
2x − 3y = 5
−4x + 6y = −10
2
−3
−4
6
x
y
=
5
−10
Oba wiersze leżą na jednej prostej, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
III Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci kolumnowej
Reprezentacja kolumnowa polega na przedstawieniu układu równań za pomocą
kombinacji liniowej kolumn macierzy.
Skorzystajmy z poprzedniego przykładu:
2
−3
−4
6
x
y
=
5
−10
... jako kombinacja liniowa jest postaci
x
2
−4
+ y
−3
6
=
5
−10
Pamiętamy, że równanie to było nieoznaczone. Jest tak dlatego, gdyż kolum-
ny macierzy A oraz wektor b leżą na jednej prostej. Innymi słowy są od siebie
zależne:
Strona 2
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
2
−4
= -2/3
−3
6
5
−10
=
2
−4
-
−3
6
Zmiana wektora b w taki sposób, aby stał się niezależny od kolumn macierzy
doprowadza do braku rozwiązań, ponieważ nie istnieje taka kombinacja liniowa
kolumn macierzy aby dawała wektor b. Równanie ma natomiast jedno rozwiąza-
nie, gdy wektory macierzy będą niezależne, tzn jesli np wektor [2,-4] pozostanie
bez zmian ( wtedy za ich pomocą można utworzyć dowolny wektor), to dru-
giego wektora nie będzie można przedstawić w żaden sposób za pomocą tego
pierwszego, czyli c*[2,-4]. Drugą kolumną macierzy może być zatem np. [2,5]
IV Analiza macierzy 4 na 4
1
3
2
2
2
1
2
4
5
10
0
10
6
2
0
12
a
b
c
d
=
b1
b2
b3
b4
Strona 3
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
W układzie tym znajdują się cztery niewiadome, oznacza to że mamy do czy-
nienia z przestrzenią czterowymiarową. Każde równanie tego układu jest bryłą
trójwymiarową. Ze względu na wielowymiarowość przestrzeni nie będziemy się
zajmować reprezentacją wierszową. Zapiszmy równanie w reprezentacji kolum-
nowej :
a
1
2
5
6
+b
3
1
10
2
+c
2
2
0
0
+d
2
4
10
12
=
b1
b2
b3
b4
Zauważmy, że wektory
1
2
5
6
i
2
4
10
12
, leżą na jednej prostej dlatego kolumny
macierzy A nie rozpinają całej przestrzeni czterowymiarowej, a tylko trójwy-
miarową.
Wynika z tego fakt, iż równanie to ma jedynie rozwiązanie gdy wektor b leży w
tej przestrzeni trójwymiarowej ( jest kombinacją liniową niezależnych kolumn
macierzy ). Gdyby lezał poza nią, nie byłoby rozwiązań.
V.Mnożenie macierzy przez wektor
0
1
4
2
3
8
1
−4
6
1
2
−7
I SPOSÓB
1
0
2
1
+ 2
1
3
−4
+ -7
4
8
6
=
1 ∗ 0
1 ∗ 2
1 ∗ 1
+
2 ∗ 1
2 ∗ 3
2 ∗ (−4)
+
−7 ∗ 4
−7 ∗ 8
−7 ∗ 6
=
0 + 2 − 28
2 + 6 − 56
1 − 8 − 42
=
−26
−48
−49
II SPOSÓB
0 1 4
1
2
−7
+
2 3 8
1
2
−7
+
1 −4 6
1
2
−7
=
0 ∗ 1 + 1 ∗ 2 − 7 ∗ 4
2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 − 8 ∗ 7
1 ∗ 1 − 4 ∗ 2 − 6 ∗ 7
Strona 4
P. Michałek i Michał Kmiecik
Geometria równań liniowych
=
−26
−48
−49
Strona 5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Opis1, Semestr 1, Algebra liniowa z elementami geometrii, Dokumenty na temat rozwiązywania równań li
BOiE 01 układy równań liniowych
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
JEDNORODNE RÓWNANIA LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW ROZWIĄZANIA
lab8 1 uklady rownan liniowych
Geometia i Algebra Liniowa
Układy równań liniowych
2011 lab 02, Uklady rownan liniowych
Układy równań liniowych
układy równań liniowych 2
02 Rozdział 01 Wiadomości wstępne o równaniach różniczkowych
01 Z Charakterystyki geometrycz Nieznany (2)
100 ukladow rownan liniowych z pelnymi rozwiazaniami krok po kroku (2)
Układy równań liniowych z parametrem
Rozwiazywanie ukladow rownan liniowych
Matematyka I (Ćw) Lista 05 Układy m równań liniowych z n niewiadomymi
więcej podobnych podstron