Elektryczność i magnetyzm.

Pole elektryczne w próżni

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Podręczniki (HRW)

David Halliday, Robert
Resnick, Jearl Walker,
Podstawy fizyki. T. 3,
Elektryczność i
magnetyzm, Wydawnictwo
Naukowe PWN Warszawa,
2003, Cena: 49,90 zł.

Podręczniki (IWS)

I.W. Sawieliew, Wykłady
z fizyki, t. 2,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 1998,
cena 47 zł.

Podręcznik uzupełniający (WF)

Feynmana wykłady z fizyki.
T. 2, cz. 1, Elektryczno

ść

i

magnetyzm.
Elektrodynamika,

Wydawnictwo Naukowe
PWN, 2004, Cena:

39,00 zł.

Podręcznik bardziej zaawansowany

(DG)

David J. Griffiths,

Podstawy
elektrodynamiki,

Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 2005
Cena:

49,90

Ładunek elektryczny (HRW R.22)

•

Istnieją dwa rodzaje ładunku, umownie nazwane dodatnim

i ujemnym.
• Ładunki różnego znaku przyciągają się, jednakowego –
odpychają.
• Wszystkie ciała istniejące w przyrodzie mają zdolność
nabywania albo oddawania ładunku – elektryzowania się.
• Ładunek elektryczny jest nieodłączną własnością
niektórych cząstek elementarnych. Wszystkie one mają
ładunek jednakowej wielkości, chociaż może on mieć różny
znak.
• Elementarny ładunek dodatni będziemy oznaczali literą

e

.

• Ładunek elektronu równy jest –e, protonu e, neutronu 0e.

Budowa otaczającej nas materii

(HRW R.22)

Otaczająca nas materia zbudowana jest atomów.
Składnikami atomów są elektrony, neutrony i
protony. Oprócz tego otaczają nas fotony – cząstki
bez ładunku elektrycznego i bez masy. Istnieją
jeszcze inne cząstki elementarne, ale spotykamy je
jedynie w wyjątkowych sytuacjach – w specjalnych
laboratoriach czy w wiązkach promieni kosmicznych.
Stabilna materia jest zrównoważona pod względem
elektrycznym.

Budowa nukleonu

d

d

u

d

u

u

Własno

ś

ci kwarka u (upper):

masa: 1,5 do 4 MeV/c²,
ładunek elektryczny: +2/3e,
spin: ½

Własno

ś

ci kwarka d (down):

masa: 4 do 8 MeV/c²,
ładunek elektryczny: -1/3 e,
spin: ½.

Ziarnistość ładunku

Ładunek Q każdego ciała naładowanego jest
wielokrotnością ładunku elementarnego e

Q=

±

eN.

Jednak jeżeli N>>1, to ziarnistości ładunku nie
odczuwamy.

Zasada zachowania ładunku

(HRW R.22)

Sumaryczny ładunek ciała odizolowanego
elektrycznie nie może ulec zmianie.

Ogólniej: w procesach, w których biorą udział
cząstki elementarne ładunek jest zachowany.

Charles Augustin de Coulomb

Urodził się: 14 czerwca 1736 w Angoulême, Francja,

zmarł: 23 sierpnia 1806 w Paryżu.

Grudniu 1761 Coulomb zakończył studia i został dobrze
wyszkolonym inżynierem w randze porucznika w „Corps du
Génie”. Budował Fort Bourbon na Martynice. Po powrocie
do Francji zajął się statyką budowli. Pracując w Cherbourgu
napisał słynną rozprawę o kompasie magnetycznym, którą
przedstawił do nagrody Akademii Nauk w 1777. Następnie
zajął się drganiami torsyjnymi włókien. Zajmował się teorią
tarcia. Spełniał szereg funkcji państwowych.

Charles Augustin de Coulomb

Coulomb - fizyk

Wyniki badań dotyczące skręcania nici Coulomb
przedstawił w 1784 r. Zbudował instrument, który
pozwolił mierzyć z dużą precyzją siły oddziaływania
ładunków elektrycznych, magnesów i oddziaływania
grawitacyjne.

Charles Coulomb razem z Henry Cavendishem jest
ojcem elektrostatyki i magnetostatyki. W serii
siedmiu prac Coulomb opisał w latach (1785-1791)
prawa elektrostatyki i magnetostatyki.

Aparat Coulomba

Ładunek punktowy

Jeżeli L

–

liniowe rozmiary ciała o ładunku q są

małe w porównaniu z odległościami tego ciała do
innych ciał naładowanych elektrycznie (L<<r), to
to ciało nazywamy ładunkiem punktowym.

L

r

Prawo Coulomba (HRW & 22.4)

1

2

12

12

21

12 12

2

q q

k

, gdzie

1

r

= −

= −

=

F

e

F

e e

Siła oddziaływania dwóch ładunków punktowych
jest proporcjonalna do każdego z ładunków
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości
r pomiędzy nimi. Kierunek tej siły pokrywa się
z prostą łączącą te ładunki. Kierunek tej prostej
określa jednostkowy wektor

.

12

e

e

12

q

1

q

2

F

12

F

21

Prawo Coulomba

1

2

12

12

2

q q

k

.

r

= −

F

e

Jeżeli ładunki mają ten sam znak q

1

q

2

>0, to

12

12

21

.

−

=

F

e

e

∼

Siła jest skierowana przeciwnie skierowana do
wektora .

12

e

Jeżeli ładunki mają różne znaki q

1

q

2

<0, to

12

12

.

F

e

∼

Siła Culomba jest siłą centralną

Siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy
dwoma ładunkami punktowymi jest

centralna

, bo

zależy ona jedynie od wektora je łączącego.

1

2

12

12

2

12

q q

k

.

r

= −

F

e

r

1

r

2

r

12

q

1

q

2

x

y

z

12

21

12

21

= -

spelniona jest III

zasada dynamiki Newtona :

.

⇒

= −

e

e

F

F

Zbiór ładunków

Doświadczenie pokazuje, że

obecność dodatkowych

ładunków nie zmienia oddziaływania pomiędzy q

1

i

q

2

. Rozważymy N ładunków (N>2). Na i-ty ładunek

działa siła:

N

N

i

ij

ij

j 1

(

)

j 1

j i

,

=

=

=

≡

∑

∑

/

F

F

F

≠≠≠≠

gdzie

jest siłą z jaką, pod nieobecność

pozostałych ładunków, na wybrany i-ty ładunek
działa j-ty ładunek (j=1,2,..,i-1,i+1,...,N).

ij

F

Układ Gaussa jednostek

a) Jeżeli we wzorze Coulomba położymy k=1,

wyrazimy ładunek elektryczny w

jednostkach

bezwzględnego elektrostatycznego układu
ładunku

. Po dołączeniu jednostek

magnetycznych powstaje w ten sposób układ
jednostek Gaussa. Oparty jest on na
pomiarach odległości (L), masy (M) i czasu
(T) (liniał, waga i zegar). Podstawowymi
jednostkami tego układu są gram (g),
centymetr (cm) i sekunda (s).

Układ jednostek SI

Współcześnie używamy układu SI.
Podstawowymi jednostkami w SI są metr (m),
kilogram (kg), sekunda (s), amper (A), kelwin
(K), kandela i mol. Siłę określa się na podstawie
oddziaływania przewodników z prądem.

Prawo Coulomba w SI

W układzie SI stała k jest

różna od jedności

0

1

k

1 .

4

=

πε

≠≠≠≠

Stała

ε

0

nazywa się stałą elektryczną, albo

przenikalnością elektryczną próżni.

W układzie SI jednostką ładunku jest
Coulomb (1C).

Siły oddziaływania pomiędzy

ładunkami 1C w odległości 1 m

Wielkość siły F

1

z jaką oddziałują dwa ładunki

punktowe o wielkości 1 C każdy, znajdujące się
w odległości 1 m:

9

9

1

F

9 10 N

10 kG .

≈ ×

≈

Ładunek elementarny e wyrażony w kulombach

e = 1,60

×

10

-19

C

Wielkość stałej elektrycznej

ε

0



2

2

11

0

9

2

11

F

1

C

C

1

0, 85 10

4

9 10 Nm

Nm m

0, 85 10

F / m.

−

−

ε =

≈

⋅

=

π ⋅ ⋅

=

⋅

W układzie SI: jednostkowe ładunki (każdy równy
1C) znajdują się w odległości jednostkowej (1 m),
wtedy siła oddziaływania F

12

ich wzajemnego

oddziaływania równa jest 9

×

10

9

N.

( )

( )

2

9

12

2

0

1C

1

F

9 10 N

.

4

1m

= ⋅

=

πε

Stała

εεεε

0

ma wymiar fizyczny

C

2

/(Nm

2

)= [C

2

/Nm]/m

≡

1F/m.

Iloraz C

2

/Nm = F nazywa się faradem.

Pole elektryczne (HRW R. 23)

Oddziaływanie dwóch nieruchomych
ładunków odbywa się za pośrednictwem pola
elektrycznego. Każdy ładunek zmienia
własności otaczającej go przestrzeni –
wytwarza pole elektryczne. Pole elektryczne
badamy przy pomocy ładunku próbnego.

Wektor natężenia pola elektrycznego

ładunku punktowego

pr

r

2

0

1

q

q

.

4

r





=





πε





F

e

r

2

0

1

q

=

.

4

r

πε

E

e

pr

q .

≡

E

F/

Oddziaływanie ładunku punktowego q z ładunkiem
próbnym q

pr

określa natężenie pola

elektrycznego przezeń wytwarzanego:

E

Ponieważ:

Natężenie pola elektrycznego ładunku

punktowego w dowolnym punkcie przestrzeni

Punktowy ładunek q wytwarza w każdym punkcie
przestrzeni pole elektryczne. Natężenie pola
elektrycznego w dowolnym punkcie

przestrzeni

równe jest:

( )

E r

r

r

2

0

1

q

=

.

4

r

πε

E

e

e

r

q

q

pr

F=q

pr

E

r

Pole elektryczne ładunku punktowego zależy od
wektora r – jest niejednorodne przestrzennie. Nie
wyróżnia kierunku w przestrzeni – jest izotropowe.

Pole elektryczne

E

E

Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni określony jest
wektor to mówimy o polu elektrycznym. Jest to
pole

wektorowe

. Natężenie

pola elektrycznego w

punkcie r jest równe sile działającej na jednostkowy
ładunek elektryczny umieszczony w tym punkcie.
Kierunek wektora natężenia wektora pola
elektrycznego pokrywa się z kierunkiem siły
działającej na jednostkowy ładunek dodatni.

Gdy q

pr

>0, to E i F mają jednakowe zwroty,

gdy q

pr

<0, to E i F mają przeciwne zwroty.

Jednostki natężenia pola

elektrycznego

pr

pr

q

q

jednostka

to N/C.

Jednak używana jednostka natężenia pola

elektrycznego to wolt/m.

V/m = N/C

V = mN/C = J/C.

⇒

⇒

⇒

⇒

F =

E

E = F/

E

Jednostki natężenia pola elektrycznego

Za jednostkę natężenia pola elektrycznego przyjmuje-
my natężenie w punkcie, w którym na ładunek
jednostkowy 1C działa jednostkowa siła 1N. W SI
jednostka natężenia pola elektrycznego nosi nazwę
wolt na metr (V/m): q = 1C, r = 1 m.

2

9

2

0

9

9

1

1

C / m

C

E

9 10

1

4

1

mF

4

F / m

4

9 10

V

9 10

.

m

=

=

= ×

≡

πε

π

π× ×

≡ ×

1V

C / F.

≡

Natężenie pola elektrycznego

wytwarzane przez układ ładunków

Niech na ładunek q

pr

działa siła ze strony N innych

ładunków, wtedy

W każdym punkcie przestrzeni o wektorze
natężenia pola elektrycznego na ładunek q

pr

(doznający działanie pola elektrycznego) działa siła

E

pr

q

.

=

F

E

N

N

j

pr

j

j 1

j 1

q

.

=

=

=

=

∑

∑

F

F

E

Zasada superpozycji pól elektrycznych

N

N

j

pr

j

j 1

j 1

pr

N

pr

j

j 1

q

.

Po podzieleniu obydwu stron przez q

otrzymamy :

/q

zasada sup erpozycji pól elektrycznych.

=

=

=

=

=

≡

−

∑

∑

∑

F

F

E

F

E =

E

Zasada superpozycji pól elektrycznych

N

pr

j

j 1

( )/q

( )

( ).

=

≡

∑

F r

E r =

E r

Natężenie pola elektrycznego

E

w dowolnym punkcie

r

przestrzeni jest sumą

wektorów

natężenia w

punkcie

r

wytwarzanych przez każdy z N ładunków

układu.

Zastosowanie zasady superpozycji

pól elektrycznych

Zasada superpozycji pozwala znaleźć natężenie
pola elektrycznego dowolnego rozkładu
ładunków, także rozkładów ciągłych. Gdyż
ciągły rozkład ładunku można podzielić na małe
fragmenty dq

i

(i=1,2,…,N).

Michael Faraday

(ur. 22 września 1791, zm. 25 sierpnia 1867) – fizyk i
chemik angielski, jeden z najwybitniejszych uczonych
XIX w., eksperymentator, samouk.
Profesor Instytutu Królewskiego i Uniwersytetu w
Oksfordzie, członek Royal Society, w młodości
asystent H.B. Davy'ego.

Największe znaczenie miały prace Faradaya

dotyczące elektryczności. W 1831 r. odkrył zjawisko
indukcji elektromagnetycznej, co przyczyniło się do
powstania elektrodynamiki. W latach 1833-34
sformułował prawa elektrolizy i wprowadził
nomenklaturę dla opisu tego zjawiska.

Stworzył podstawy elektrochemii. Faraday odkrył
również zjawisko samoindukcji, zbudował pierwszy
model silnika elektrycznego . W 1845 r. stwierdził,
ż

e diamagnetyzm jest powszechną właściwością

materii, odkryty zaś przez niego paramagnetyzm –
właściwością szczególną niektórych jej rodzajów.
Faraday wprowadził pojęcie linii sił pola i wysunął
twierdzenie, że ładunki elektryczne działają na siebie
za pomocą takiego pola. W 1848 r. odkrył zjawisko
Faradaya.

Michael Faraday

Linie sił pola elektrycznego

Są to linie w przestrzeni takie, że w każdym
punkcie przestrzeni wektory natężenia pola
elektrycznego są do nich styczne.

Linie sił pola elektrycznego

x

y

z

( )

1

1

=

E

E r

( )

2

2

=

E

E r

1

r

2

r

Linie sił pola różnoimiennych

ładunków punktowych

Umowa: linie sił pola wychodzą z ładunków
dodatnich i kończą się na ładunkach ujemnych.

Linie sił pola dwóch jednoimiennych

ładunków punktowych

Oś symetrii pola
elektrycznego

Linie sił pola elektrycznego układu dwóch
ładunków jednakowego znaku widzianego

z dużej odległości

Obserwator znajdujący się
daleko od tego układu widzi
ładunek punktowy o ładunku
będący sumą ładunków.
Dlatego linie sił pola
elektrycznego powinny mieć
symetrię sferyczną.

q

1

+q

2

Linie sił pola elektrycznego dwóch

różnoimiennych ładunków punktowych

Oś symetrii pola
elektrycznego

20.12.10

Umowa:

Gęstość powierzchniową linii sił pola
elektrycznego dobiera się tak, aby liczba linii
przenikających przez element powierzchni
prostopadłej do linii sił pola w punkcie o
wektorze wodzącym , o jednostkowym polu,
była równa wielkości wektora natężenia .

( )

E r

r

Przykład

Rozważymy powierzchnię sferyczną otaczającą
ładunek punktowy q. Wielkość wektora
natężenia pola elektrycznego: E=(q/r

2

)/(4

πε

0

).

Obliczymy N

sf

– liczbę linii sił pola przechodzą-

cych przez powierzchnię kuli o promieniu r.
Pole tej powierzchni: S = 4

π

r

2

.

N

sf

= [(q/r

2

)/(4

πε

0

)]

×

4

π

r

2

= q/

ε

0

.

Liczba N

sf

nie zależy od promienia kuli.

Potencjał pola elektrycznego

(HRW R. 25)

( )

r

r

2

0

F r

1

qq

( )

F(r)

.

4

r

= −

=

πε

/

F r

e

e



Rozpatrzymy pole ładunku punktowego q. W
dowolnym punkcie o wektorze wodzącym r
przestrzeni na ładunek punktowy q

/

działa siła

Praca związana

z przesunięciem ładunku

Obliczymy pracę wykonaną na drodze ,
wykonaną w wyniku przesunięcia ładunku q

/

z

punktu o wektorze wodzącym r do punktu o
wektorze wodzącym r’.

/

d

r r

l = -

Praca dA wykonana w wyniku przesunięcia

ładunku q

/

na drodze S

12

1

W wyniku przesunięcia

⇒

r

r

/

/

r

r

,

e

, e

/

d

.

r r

l = -

F

dA

q ' E( )dr.

=

r

r

= dr

e

dl

S

12

d

l

r

1

r

2

r

/

r

/

r

e

r

e

.

Obliczymy pracę dA wykonaną
przy przesunięciu ładunku o
odcinek

:

d

l

r

dA

q ' ( )

q'E( )

,

=

E r

r e

dl =

dl

Praca związana z przesunięciem ładunku

wzdłuż odcinka łamanej

przybliżającej S

12

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

dA

q '

q ' ( )

q ' E( )

q ' E( )dr

(i

1, 2,

, Z), bo

dr .

=

=

=

=

=

=

E

E r

r e

r

e

…

dl

dl

dl

dl

Dzielimy krzywą S

12

na Z małych odcinków

.

Każdy z nich możemy uważać za prostoliniowy.
W ten sposób zamieniamy krzywą S

12

na łamaną.

Im odcinki dl

i

są mniejsze (liczba Z rośnie ), tym lepiej

łamana przybliża krzywą. Na drodze dl

i

praca dA

i

wykonana przy przemieszczeniu ładunku wynosi:

i

d

l

Praca A

12

związana z przesunięciem ładunku q

/

wzdłuż łamanej przybliżającej S

12

Praca A

12

jest sumą prac wykonanych przy

przemieszczaniu ładunku q

/

na odcinkach dl

1

,

dl

2

,..., dl

Z

:

Z

Z

Z

12

i

i

i

i

i

i 1

i 1

i 1

A

dA

q

(r )d

q E(r )dr .

=

=

=

≈

=

=

∑

∑

∑

E

/

/

l

Gdy liczba odcinków łamanej dąży do

∞

(wtedy długość każdego z nich dąży do 0),
to łamana przechodzi w krzywą S

12

. Zatem

( )

2

1

Z

Z

12

i

i

i

Z

Z

i 1

i 1

Z

r

i

i

r

Z

i 1

F r

A

lim

A

lim

q

(r )

lim

q E(r )dr

q E(r) dr .

→∞

→∞

=

=

→∞

=

=

=

=

=

≡

∑

∑

∑

∫

E

/

/

/



dl

Praca A

12

Dwa ładunki punktowe

Obliczymy całkę

2

1

F(r)dr

∫

2

2

2

12

2

1

1

1

0

0

p1

p 2

0

1

2

qq

dr

qq

1

A

F(r)dr

r

r

qq

1

1

W

W .

r

r

=

= −

= −

=

4πε

4πε





=

−

≡

−





4πε





∫

∫

/

/

/

Energia potencjalna ładunku q’ w polu ładunku
punktowego q:

p

0

1

qq

W

const.

4

r

≡

+

πε

/

20.12.14

Umowa

:

w punkcie nieskończenie odległym (r =

∞

)

energia potencjalna jest równa 0.

p

0

1

qq

W

.

4

r

≡

πε

/

p

0

1

qq

W

const.

4

r

≡

+

πε

/

Obserwacja:

Praca A

S

wykonana w wyniku przesunięcia ładunku

q

/

wzdłuż zamkniętego konturu S jest równa zero:

1

S

2

S

S

1

0

0

0

1

1

qq

dr

qq

1

qq

1

1

A

F(r)dr

0.

r

r

r

r





=

= −

= −

=

−

=





4πε

4πε

4πε





∫

∫

/

/

/

1

S

y

r

x

z

Własności pracy sił zachowawczych

Zamiast punktu 1 można by wybrać dowolny inny
punkt krzywej.

1

S

S

1

S

2

y

r

z

x

Przy pomocy punktu 1 i
czarnego punktu
podzieliliśmy kontur S na
dwa kontury S

1

i S

2

.

Położenie czarnego
punktu jest dowolne.

1

2

S

S

S

S

A

F(r)dr

F(r)dr

F(r)dr

0.

=

=

+

=

∫

∫

∫

1

S

S

1

S

2

y

r

z

x

1

2

S

S

F(r)dr

F(r)dr .

= −

∫

∫

Praca A

12

związana z przesunięciem

ładunku q w polu elektrycznym

(

)

2

12

1

2

12

1

A

q

oraz A

q

d .

= ϕ − ϕ

=

∫

E

l

Praca sił pola elektrostatycznego zależy jedynie
od punktów początkowego 1 i końcowego 2, nie
zależy od drogi jej łączącej. Takie pole
nazywamy zachowawczym.

(

)

2

1

2

1

d .

ϕ − ϕ =

∫

E

l

Gdy przesunięcie ładunku odbywa się po S –
konturze zamkniętym to A

S

= 0:

S

S

A

d = 0 .

=

∫

E

l

calka po konturze zamkniętym

−

∫

Potencjał pola elektrycznego

Różne ładunki będą posiadały w tym samym
punkcie różne energie potencjalne. Wielkość
W

p

/q

/

jest dla wszystkich ładunków próbnych

taka sama, więc charakteryzuje pole, a nie
doświadczenie.

p

pr

0

W

1

q

.

q

4

r

ϕ ≡

=

πε

Potencjał

N ładunków punktowych

N

N

12

i

i 1

i 1

0

i1

i2

q q

q q

1

A

A

.

4

r

r

=

=









=

=

−





πε





∑

∑

/

/

i

i

Stąd energia potencjalna ładunku q/ w polu N
ładunków

N

i

p

i 1

0

i

q

1

W

.

4

r

=

=

πε

∑

Ładunki punktowe q

1

, q

2

, ...,q

N

w punktach o

wektorach wodzących odpowiednio r

1

, r

2

, ..., r

N

wytwarzają pole elektrostatyczne.
Praca A

12

związana z przesunięciem ładunku q

/

na

drodze łączącej punkty 1 i 2:

Potencjał układu

ładunków punktowych

N

N

N

i

i

i

i 1

i 1

i 1

0

i

W

q

W

1

.

4

r

q

q

=

=

=

ϕ =

=

=

ϕ =

πε

∑

∑

∑

/

/

Potencjał układu ładunków punktowych jest
równy algebraicznej sumie potencjałów
wytwarzanych przez każdy ładunek oddzielnie.

Cząstka w elektrostatycznym

polu wielu cząstek

Rozpatrzymy układ N naładowanych cząstek
(N>2):

1

1

2

2

N

N

q , , q , ,

, q ,

.

r

r

r

…

Na i-tą cząstkę wpływa potencjał

ϕ

i

wytwarzany

przez wszystkie pozostałe cząstki

N

N

k

k

k 1

k 1

ik

ik

k i

q

q

.

r

r

=

=

ϕ =

≡

∑

∑

/

≠≠≠≠

i

Iloczyn

ϕ

i

q

i

=W

i

jest energią potencjalną i-tego

ładunku w polu elektrycznym pozostałych ładunków.

Inne spojrzenie na energię

potencjalną ładunków

0

12

0

12

1

q

1

q

W

q

q

q

q

.

4

r

4

r

= ϕ =

=

= ϕ

πε

πε

/

/

/

/

Rozpatrzymy energię potencjalną W ładunku
q

/

w polu ładunku q. Można W uznać za

energię potencjalną ładunku q w polu
potencjalnym wytwarzanym przez ładunek q

/

:

Gdy ładunki q i q

/

są porównywalne możemy

mówić o energii oddziaływania dwóch
ładunków. Gdy q>>q

/

to lepiej mówić o

energii potencjalnej ładunku q

/

w polu

ładunku q.

Energia oddziaływania

układu N>2 cząstek

W

ik

- energia oddziaływania dwóch cząstek: i-tej i

k-tej

(

)

i

k

ik

ki

ik

i

k

ik

ik

0

ik

q q

1

W

W

, r

.

4

r

=

=

= −

=

πε

r

r

r

r

W energia oddziaływania N ładunków jest równa
sumie wyrazów W

ik

pomnożonej przez ½, co pozwala

uniknąć dwukrotnego uwzględniania wkładu i-tej i
k-tej cząstki (i,k=1,2,...,N):

N

N

i

k

i

i

i 1

i,k 1

0

0

ik

q q

1

1

1

1

W

q

.

2

4

2

4

r

=

=

=

ϕ =

πε

πε

∑

∑

/

Wektor wodzący r i jego składowe x,y,z

Dla określenia położenia punktu
o wektorze wodzącym

można

używać składowych x,y,z, albo

i dwóch kątów –

θ

i

φ

;

r,

θ

i

φ

nazywają się

współrzędnymi sferycznymi.

r

r

=

r

- rzut wektora

na płaszczyznę x,y

⊥

r

r

x

y

z

r

r

θ

φ

e

z

x

y

z

= x

y

z

(x, y, z)

( )

x, ( )

y, ( )

z

+

+

≡

⇒

=

=

=

x

y

z

r

e

e

e

r

r

r

Pochodna kierunkowa

M(r)

M

/

(r+s

ε

)

s

Rozważymy prostą, którą określa
wektor s i przesunięcie o

ε

wzdłuż

niej.

Wektor s ma
składowe s

x

, s

y

, s

z

s=s

x

e

x

+ s

y

e

y

+ s

z

e

z

x

y

z

s

z

s

x

s

y

s

Pochodna kierunkowa

(

) ( )

/

(M )

(M)

.

∆ϕ = ϕ

− ϕ

= ϕ + ε − ϕ

r

s

r

Granica ilorazu:

(

) ( )

( )

0

0

lim

lim

,

s

ε→

ε→

ϕ + ε − ϕ





∂ϕ

∆ϕ





=

≡

ε

ε

∂

r

s

r

r

nazywa się pochodną kierunkową.

Wektor s wyznacza prostą.

ε

- długość odcinka MM

/

.

Niech

ε

<<1. Rozważmy przyrost

∆ϕ

=

ϕ

(M

/

) -

ϕ

(M):

Wektor gradientu

Wektor

x

y

z

x, y, z

x, y, z

x

x, y, z

x, y, z

.

y

z

∂ϕ

ϕ

≡ ϕ

−

−

∂

∂ϕ

∂ϕ

−

−

∂

∂

r

e

e

e

(

)

(

)

(

)

(

)

∇ ( ) ∇ (

) =

∇ ( ) ∇ (

) =

∇ ( ) ∇ (

) =

∇ ( ) ∇ (

) =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

nazywa się

gradientem

pola skalarnego

ϕ

(r).

Związek pochodnej kierunkowej

z gradientem

( )

( )

( )

x

y

z

x

y

z

x

y

y

(

)

(x

s , y s , z s )

(

)

( )

(x

s , y s , z s )

(x, y, z)

(x, y, z)

(x, y, z)

(x, y, z)

cos( , x)

cos( , y)

cos( , z)

x

y

z

(x, y, z)

(x, y, z)

(x, y, z)

x

y

z

ϕ + ε = ϕ + ε + ε + ε

⇒

ϕ + ε − ϕ

= ϕ + ε + ε + ε − ϕ

≈





∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

≈ ε

+

+

=





∂

∂

∂







∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

ε

+

+

∂

∂

∂

r

s

r

s

r

s

s

s

se

se

se

( )

( )

x

y

y

(x, y, z)

(x, y, z)

(x, y, z)

x

y

z

( )

.

s



=













∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

= ε

+

+

= ε ∇ ϕ

⇒





∂

∂

∂





∂ϕ

= ∇ ϕ = ∇ϕ

∂

s

e

s

e

s

e

s

r

s

s

Nabla

Wektorowa operacja różniczkowania

x

y

z

,

x

y

z

∂

∂

∂

+

+

∂

∂

∂

∇ =

∇ =

∇ =

∇ =

e

e

e

nazywana jest nablą, gdzie na przykład

y,z const

y,z

f (x, y, z)

df (x, y, z)

df (x, y, z)

.

x

dx

dx

=

∂

≡

≡

∂

Działanie nabli na pole skalarne zamienia je
na pole wektorowe

Związek między natężeniem pola

elektrycznego i potencjałem

p

= - W .

F

∇

∇

∇

∇

q

(q ).

=

= −

ϕ

F

E

∇

∇

∇

∇

=

.

− ϕ

E

∇

∇

∇

∇

Siła F związana jest z energią potencjalną W

p

zależnością

Dla cząstki naładowanej znajdującej się w polu
elektrostatycznym mamy

F

=q

E

i W

p

= q

ϕ

, zatem:

Jeżeli znamy zależność

ϕ

od

r

możemy określić wektor

E

w każdym punkcie przestrzeni

( ) =

( ) .

− ϕ

E r

r

∇

∇

∇

∇

Relacja pomiędzy

E i

ϕ

x

y

z

x

y

z

E

E

+ E

,

x

y

z

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

+

= −

−

−

∂

∂

∂

x

y

z

E =

e

e

e

e

e

e

gdzie:

y,z

f (x, y, z)

df (x, y, z)

.

x

dx

∂

≡

∂

Jak widać:

y

E

; E

; E

.

x

y

z

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

= −

= −

= −

∂

∂

∂

x

z

Rzut

E na dowolny kierunek l

( ) ( ) ( )

x

y

z

E

x

y

z

=





∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

ϕ = −

+

+

≡





∂

∂

∂





∂ϕ

≡ −

∂

≡

− ⋅

e

e

e

E

∇

∇

∇

∇

l

l

l

l

l

l

l

- pochodna kierunkowa potencjału.

x

x

i

- cosinus kąta pomiędzy

, itd.

e

e

l

l

Związek pomiędzy E i

ϕ

wytwarzanymi

przez ładunek punktowy, mierzonymi

w punkcie o wektorze wodzącym r

2

2

2

0

0

1

q

1

q

(r)

.

4

r

4

x

y

z

ϕ =

=

πε

πε

+

+

(

)

3/ 2

2

2

2

2

2

2

0

0

y,z const

3

0

(r)

q

d

1

q

2x

x

4

dx

4

x

y

z

2 x

y

z

q

x

.

4

r

=

∂ϕ

=

= −

=

∂

πε

πε

+

+

+

+

= −

πε

(

)

(

)

( )

(

)

1/ 2

1/ 2 1

3/ 2

2

2

2

2

d

1

d

1

x

C

x

C

2x

x x

C

.

dx

dx

2

x

C

−

−

−

−





=

+

= −

+

= −

+





+





Wykorzystany wzór:

Związek pomiędzy E i

ϕ

dla ładunku

punktowego znajdującego się

w punkcie o wektorze wodzącym r

Pozostałe składowe:

3

3

0

0

(r)

q

y

(r)

q

z

,

.

y

4

r

z

4

r

∂ϕ

∂ϕ

= −

= −

∂

πε

∂

πε

Wektor pola elektrycznego ładunku punktowego

x

y

z

r

3

3

2

0

0

0

r

x

y

z

q

q

q

=

,

4

r

4

r

4

r

gdzie

r .

+

+

− ϕ=

=

≡

πε

πε

πε

≡

e

e

e

e

r

E

e

r/

∇

∇

∇

∇

Powierzchnie jednakowego potencjału

– powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnia w przestrzeni R

3

, której punkty mają

jednakowy potencjał nazywa się powierzchnią
ekwipotencjalną. Jej równanie ma postać

(x, y, z)

const.

ϕ

=

Powierzchnię ekwipotencjalną można przeprowadzić przez
każdy punkt przestrzeni.

Powierzchnie ekwipotencjalne

Warunek

ϕ

(r)=const. określa w przestrzeni powierzchnię

stałego potencjału (w skrócie psp) – powierzchnię
ekwipotencjalną.

2

2

2

0

0

1

q

1

q

(r)

const.

4

r

4

x

y

z

ϕ =

=

=

πε

πε

+

+

To równanie określa powierzchnię kuli o promieniu r.

Przykład: powierzchnie ekwipotencjalne potencjału
wytwarzanego przez ładunek punktowy.

Powierzchnie ekwipotencjalne

ładunku punktowego

ϕ

1

ϕ

2

Umowa: Powierzchnie
ekwipotencjalne
rysujemy tak, aby różnica
potencjału pomiędzy sąsiednimi
powierzchniami była stała.
Wtedy gęstość linii obrazuje
szybkość zmiany potencjału.

Praca związana z przesunięciem ładunku

wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej

Rozważymy przesunięcie ładunku próbnego o odcinek dl
wzdłuż linii leżącej na powierzchni stałego potencjału.

Praca dA

pr

pr

pr

pr

t

t

dA

q

q E d

q

d

q E = 0

E

0 .

∂ϕ

=

⇒

=

∂

Ed

l

l = -

l = -

l

l =

To oznacza, że składowa E

t

wektora pola elektrycznego

styczna do powierzchni stałego potencjału znika: E

t

=0.

Wektor pola elektrycznego jest

⊥

do powierzchni ekwipotencjalnej

W każdym punkcie r dowolnej
krzywej leżącej na psc można
wprowadzić układ współrzędnych
związany z n - wektorem

t

B

B

n

B

t

n

prostopadłym do powierzchni i wektorem t - stycznym do
krzywej. Każdy wektor, np. E(r), można zapisać w postaci
sumy E(r) = nE

n

+ tE

t

. Ponieważ E

t

= 0, więc E = nE

n

.

WNIOSKI

a) Wektor pola elektrycznego jest prostopadły do psp.

b) E

= -

∇

∇

∇

∇

ϕ

∇

∇

∇

∇

ϕ

jest

⊥

do psc.

Wektor gradientu dowolnego

pola

skalarnego

A(

r)

Rozpatrzymy

Σ

A

- powierzchnię stałej wartości A(r)=const.

Wektor

∇

∇

∇

∇

A jest

⊥

do

Σ

A

, a skierowany jest w kierunku

rosnących wartości A.

Przykład:

psp dla ładunku punktowego

Niech

ϕ

= f(r),

2

2

2

r

x

y

z

=

+

+

e

r

ϕ

1

=

ϕ

(r

1

)

ϕ

2

=

ϕ

(r

2

)

r

2

r

1

Psp są powierzchniami
kul.

x

y

z

x

y

z

r

x

y

z

d (r)

r

r

r

(r)

dr

x

y

z

r

r d (r)

d (r)

.

r

dr

dr

+

+





ϕ

∂

∂

∂

∇ϕ =

+

+

=

=





∂

∂

∂





ϕ

ϕ

e

e

e

e

e

e

=

e

Własności dipola

Dipol elektryczny – układ dwóch równych co do wartości,

lecz przeciwnego znaku, ładunków punktowych +q i –q

znajdujących się w odległości l.

Długość l jest znacznie

mniejsza od odległości r punktu, w którym mierzone

jest pole elektryczne.

Prosta, na której leżą ładunki nazywa się osią dipola.

Pole wytwarzane przez dipol ma symetrię osiową.

Geometria dipola

Położenie punktu P
względem dipola określa
wektor

r

, albo jego długość

i kąt (współrzędne

biegunowe). Wektor

l

określa oś dipola i łączy
ładunek –q z ładunkiem +q.

P

ϑ

-a

+a

E

E

E

r

ϑ

P

Położenie ładunku +q względem

ś

rodka dipola określa wektor

a

,

ładunku –q –wektor –

a

.

l = 2a, r

+

jest

odległością punktu P od +q, r

-

-

odległość P od +q.

Potencjał dipola elektrycznego

r

r

a cos

r

;

r

r

a cos

r

.

≈ −

ϑ = −

≈ +

ϑ = +

++++

−−−−

r

r

ae

ae

(

)

(

)

( )

2

0

0

0

2

2

2

0

0

0

q r

r

q r

r

1

q

q

1

1

(r)

4

r

r

4

r r

4

r

q 2

q

1

1

1

4

r

4

r

4

r

gdzie

q jest momentem dipola

−

+

−

+

+

+

−

−





ϕ ≈

−

=

≈

=





πε

πε

πε





⋅

⋅

=

=

≡

πε

πε

πε

r

r

r

a e

e

p e

p =

l

l

.

−

−

−

−

−

−

−

−

Potencjał dipola

-q

+q

l

p

Potencjał dipola elektrycznego

Pole potencjalne dipola zależy od jego momentu dipolowego
jest odwrotnie proporcjonalne do

kwadratu

odległości

punktu, w którym przeprowadzamy pomiar do dipola.

Ponieważ , więc

r

r

q

q cos

p cos

l

= ⋅ =

ϑ =

ϑ

pe

e

l

2

0

1

p cos

(r, )

.

4

r

ϑ

ϕ ϑ ≈

πε

(

)

2

0

p cos

/ 2

1

(r,

/ 2)

0.

4

r

π

ϕ ϑ = π

≈

=

πε

Na osi

⊥

do dipola przechodzącej przez jego środek

Natężenie pola elektrycznego dipola

-a

+a

E

E

E

r

ϑ

2

3

0

0

const.

r

(r, )

p cos

p cos

E

dr

/ dr

.

r

4

4

r

−

ϑ=

∂ϕ ϑ

ϑ

ϑ

= −

= −

=

∂

πε

πε

2

2

4

3

dr

d

1

2r

2

dr

dr r

r

r

−





=

= −

= −









Wykorzystany wzór

Składowa radialna wektora E

Składowa styczna wektora

E

Składowa styczna: Zmiana kąta
powoduje przesunięcie końca wektora

r

o

d (d

1)

ϑ → ϑ+ ϑ ϑ <<

Pole elektryczne:

d

rd

r

≈ ϑ <<

l

(

)

(

)

(

)

(

)

2

0

3

0

3

3

0

0

3

0

cos

d

cos

d

d

p

E

d

rd

4

r

rd

cos cos d

sin sin d

cos

p

4

r

d

cos

d sin

cos

cos

d sin

cos

p

p

4

r

d

4

r

d

1

p sin

.

4

r

ϑ

ϑ + ϑ −

ϑ





ϕ

ϕ





≈

=

= −

=

ϑ

πε

ϑ

ϑ

ϑ −

ϑ

ϑ −

ϑ

= −

≈

πε

ϑ

ϑ − ϑ

ϑ −

ϑ

ϑ − ϑ

ϑ −

ϑ

≈ −

= −

=

πε

ϑ

πε

ϑ

ϑ

=

πε

l

Wykorzystane wzory: cosx

≅

1, sinx

≅

x (x<<1).

Długość E

wektora pola elektrycznego dipola

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r

3

3

0

0

1

p

1

p

E

E

E

4 cos

sin

1 3cos

4

r

4

r

ϑ

















=

+

=

ϑ +

ϑ =

+

ϑ

















πε

πε

















Stąd

2

3

0

1

p

E

1 3cos

.

4

r

=

+

ϑ

πε

Na osi dipola

Na osi prostopadłej do dipola, przechodzącej przez jego
ś

rodek:

3

0

1

p

/ 2, stąd E(r,

/ 2)

E

.

4

r

⊥

ϑ = π

ϑ = π

≡

=

πε

2

2

1

cos

sin

=

ϑ +

ϑ

3

0

1

2p

0 mamy E

.

4

r

ϑ =

=

πε

Linie sił pola elektrycznego dipola

- wektor natężenia

pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
dodatniego.

( )

+

E

- wektor natężenia

pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
ujemnego.

( )

−

E

Moment dipolowy jest
skierowany od ładunku
ujemnego do dodatniego.

p

Dipol w jednorodnym

polu elektrycznym

Niech na dipol działa jednorodne pole elektryczne E
tworzące z nim kąt

α

Siły działające na dipol w

jednorodnym polu elektrycznym

Pole jednorodne przestrzennie:

E

nie zależy od r.

Ładunek –q:

F

2

=

F

-

=-

q

E,

ładunek +q:

F

1

=

F

+

=

q

E

|

F

-

|=|

F

+

|=

F

,

gdzie F=qE.

Siły F

-,

,

F

+

tworzą

parę sił

usiłujących ustawić

dipol równolegle do linii sił pola elektrycznego.

Na dipol działa para sił o momencie N

N - moment pary siły jest wektorem o długości

N=Flsin

α

=ql Esin

α

=pEsin

α

.

Wektor momentu siły

p

E

N

α

Długość wektora N

N = pEsin

α

.

Wektor N skierowany jest prostopadle do płaszczyzny, w
której leżą wektory p i E. Zwrot wektora

N

zgodny jest z

kierunkiem śruby wkręcanej zgodnie z obrotem
przeprowadzającym p w E przez mniejszy kąt. Tak
zdefiniowany wektor jest iloczynem wektorowym





× ≡





N = p E

pE

Energia potencjalna W

p

dipola w

zewnętrznym

jednorodnym

polu elektrycznym

(

)

p

W

q

q

q

+

−

+

−

= ϕ − ϕ =

= ϕ − ϕ

Skierujemy E wzdłuż osi x
Potencjał jednorodnego pola
elektrycznego: aby E nie zależało od x

d (x)

(x)

Ex

E .

dx

ϕ

ϕ

= −

⇒

−

=

Zatem

(

)

(

)

p

W

q

qE

x

x

E cos

.

+

−

= ϕ − ϕ = −

+ −

= −

α = −









l

l

pE

Energia potencjalna W

p

dipola w

zewnętrznym

niejednorodnym

polu elektrycznym

F

1

≠

F

2

Niejednorodne pole elektryczne

||

do osi dipola

W niejednorodnym polu elektrostatycznym równoległym
do osi dipola na dipol działa siła powodująca jego
przesunięcie wzdłuż osi x. Powód: siła F

+

działająca na

ładunek +q jest inna niż siła F

-

działająca na ładunek –q.

x

x

F

qE (x, y, z); F

qE (x

, y, z) .

−

+

= −

=

+

l

Siła wypadkowa F:

(

)

(

)

(

)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

F

F (x, y, z)

F (x

, y, z) = q -E

x, y, z

E (x

, y, z)

dE (x, y, z)

E (x, y, z

q -E

x, y, z

E

x, y, z

q

dx

x

E (x, y, z)

E(x, y, z)

p

p

cos .

x

x

=

+

+

+

+

≈









∂





≈

+

+

=

=





∂





∂

∂

=

α

∂

∂

l

l

l

l