9. Stereometrie
349
9.2. Základní geometrické útvary a vztahy mezi nimi
Vzájemná poloha dvou přímek
Dvě přímky v prostoru mohou být splývající (totožné), rovnoběžné, různoběžné, mimoběžné.
Vzájemnou polohu dvou přímek můžeme demonstrovat na krychli
ABCDEFGH
, kde navíc
sestrojíme bod
K
jako střed hrany
FG
a bod
L
na přímce
GH
tak, aby bod
G
byl středem úsečky
HL
.
Přímky
KG
FK,
jsou splývající neboli totožné, mají všechny body společné. Píšeme
KG
FK
=
.
Přímky
EF
AB,
jsou rovnoběžné. Nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině,tou je stěna
ABFE
krychle. Píšeme
EF
AB
.
Přímky
FG
EK,
jsou různoběžné. Mají jeden společný bod
K
, který se nazývá průsečík.Píšeme
FG
EK
K
∩
=
.
Přímky
AB
EL,
jsou mimoběžné. Nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině.
Na krychli můžeme najít další dvojice přímek rovnoběžných (
GH
AB
,
BF
AE
,
BC
AD
),
různoběžných (
AD
AB
A
AE
EH
E
FG
BK
K
∩
=
∩
=
∩
=
,
,
) nebo mimoběžných (
DH
AB
−
,
BC
AE
BK
AE
−
−
,
).
Přímka, která protíná dvě mimoběžky, se nazývá příčka dvou mimoběžek. Na je přímka
BK
příčka
mimoběžek
FL
AB,
.
9. Stereometrie
350
Rovina
Je dán kvádr
ABCDEFGH
, ve kterém označíme přímky
BH
c
FH
b
BD
a
=
=
=
,
,
. V kvádru. je
vyznačena rovina
ρ
určená obdélníkem
BFHD
. Rovina je jednoznačně určena třemi body, které
neleží v přímce (
DBF
=
ρ
nebo
HDB
=
ρ
), přímkou a bodem, který na ni neleží (
aF
=
ρ
nebo
bB
=
ρ
), dvěma různoběžkami (
ac
=
ρ
nebo
bc
=
ρ
) nebo dvěma rovnoběžkami (
ab
=
ρ
).
Řešený příklad
• V krychli
ABCDEFGH
vyznačte rovinu
ACS
=
ρ
, kde
S
je střed horní podstavy.
Řešení
Rovina
ACS
=
ρ
, je také určena rovnoběžkami
AC
a
EG
, kde
EG
prochází bodem
S
rovnoběžně s přímkou
AC
. Rovina
ρ
je v krychli vyznačena obdélníkem
ACGE
.
9. Stereometrie
351
Vzájemná poloha přímky a roviny
V kvádru
ABCDEFGH
vyznačíme rovinu
BCH
=
ρ
a přímky
FG
q
=
a
S
S
p
′
=
, kde body
S
S
′
,
jsou středy podstav
EFGH
ABCD,
.
Pro vzájemnou polohu přímky a roviny platí:
• Má-li přímka s rovinou společné dva body, pak leží v rovině. Přímka
BH
leží v rovině
ρ
.
Píšeme:
ρ
⊂
BH
.
• Má-li přímka s rovinou jeden společný bod, pak říkáme, že je s rovinou různoběžná. Přímka
Q
S
p
′
=
protíná přímku
BH
v bodě
R
, bod
R
je průsečík přímky
p
s rovinou
ρ
. Píšeme:
ρ
∩
= p
R
.
• Nemá-li přímka s rovinou žádný společný bod, je s rovinou rovnoběžná. Přímka
FG
q
=
je
rovnoběžná s rovinou
ρ
. Píšeme:
ρ
q
.
Pro rovnoběžnost přímky s rovinou platí následující věty:
• Je-li přímka
q
rovnoběžná s rovinou
ρ
, pak každá rovina obsahující přímku
q
a protínající
rovinu
ρ
protne rovinu
ρ
v přímce rovnoběžné s přímkou
q
.
• Na obrázku rovina stěny
BCGF
obsahuje přímku
FG
q
=
a protíná rovinu
ρ
v přímce
BC
,
která je rovnoběžná s přímkou
q
.
• Je-li přímka rovnoběžná s některou přímkou roviny
ρ
, je s touto rovinou rovnoběžná.
• Na obrázku je přímka
AD
rovnoběžná s přímkou
BC
, je tedy přímka
AD
rovnoběžná s rovinou
ρ
.
9. Stereometrie
352
Vzájemná poloha dvou rovin
V pravidelném čtyřbokém hranolu
ABCDEFGH
sestrojíme středy
N
M
L
K
,
,
,
hran
AE
,
BF
,
CG
,
DH
. A vyznačíme roviny
ELM
KBC
=
=
β
α
,
.
Pro vzájemnou polohu dvou rovin platí:
• Dvě roviny, které mají všechny body společné, jsou splývající. Rovina určená body
ELM
je
splývající (totožná, shodná) s rovinou určenou body
LMH
.
• Dvě roviny, které mají společný bod, mají společnou přímku, která tímto bodem prochází a
nazývají se různoběžné. Společná přímka se nazývá průsečnice. Rovina
ELM
=
β
a rovina
stěny
BCGH
mají společnou průsečnici
LM
.
• Dvě roviny, které nemají žádný společný bod, jsou rovnoběžné. Roviny
ELM
KBC
=
=
β
α
,
jsou rovnoběžné.
Pro rovnoběžnost rovin platí: dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě
různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou.
Na obrázku jsou rovnoběžné dvojice přímek
LM
BC,
a
EL
KB,
, jsou tedy roviny
KBC
=
α
a
ELM
=
β
rovnoběžné.
9. Stereometrie
353
Vzájemná poloha tří rovin
Vzájemnou polohu tří navzájem různých rovin si předvedeme na pravidelném čtyřbokém hranolu
ABCDEFGH
, ve kterém sestrojíme body
N
M
L
K
,
,
,
jako středy hran
AE
,
BF
,
CG
,
DH
.
Vyznačíme roviny
ABC
=
α
,
KLM
=
β
,
EFG
=
γ
,
EBC
=
δ
,
BCG
=
ρ
,
ABF
=
σ
.
Pro tři různé roviny může nastat jedna z pěti možností:
• Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. Roviny
ABC
=
α
,
KLM
=
β
,
EFG
=
γ
, jsou
navzájem rovnoběžné (
γ
β
α
), nemají žádný společný bod.
• Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných průsečnicích.
Roviny
ABC
=
α
,
KLM
=
β
jsou rovnoběžné, rovina
EBC
=
δ
je protíná v přímkách
BC
a
UV
, které jsou rovnoběžné.
• Všechny tři roviny jsou vzájemně různoběžné, každé dvě mají společnou průsečnici. Tyto tři
přímky jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin. Na obrázku pro roviny
KLM
=
β
,
EBC
=
δ
,
ABF
=
σ
platí:
UV
=
∩
δ
β
,
KL
=
∩
σ
β
,
BE
=
∩
σ
δ
,
U
BE
KL
UV
=
∩
∩
,
U
=
∩
∩
σ
δ
β
.
• Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice splývají v jedinou přímku.
Roviny
ABC
=
α
,
EBC
=
δ
,
BCG
=
ρ
jsou navzájem různoběžné a mají společnou přímku
BC
.
• Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice jsou různé a rovnoběžné. Pro
roviny
KLM
=
β
,
EBC
=
δ
,
BCG
=
ρ
:
UV
=
∩
δ
β
,
ML
=
∩
ρ
β
,
BC
=
∩
ρ
δ
,
průsečnice
BC
ML
UV
,
,
jsou rovnoběžné.
9. Stereometrie
354
Řešený příklad
• Je dán pravidelný šestiboký hranol
F
E
D
C
B
A
ABCDEF
′
′
′
′
′
′
. Dokažte, že přímka
BK
, kde
K
je
střed hrany
C
C ′
je rovnoběžná se stěnou
E
F
EF
′
′
.
Řešení
Přímka
BK
leží ve stěně
B
C
BC
′
′
. Tato rovina obsahuje přímku
BC
rovnoběžnou s přímkou
EF
(protější strany šestiúhelníka) a přímku
B
B ′
rovnoběžnou s přímkou
F
F ′
. Rovina stěny
B
C
BC
′
′
je
rovnoběžná s rovinou stěny
E
F
EF
′
′
, je tedy i přímka
BK
rovnoběžná s touto rovinou.
• Dokažte, že přímky
AH
p
=
a
SF
q
=
jsou navzájem mimoběžné, jestliže
ABCDEFGH
je
kvádr se středem dolní podstavy
S
.
Řešení
Přímka
SF
q
=
leží v rovině
ACF
. Přímka
AH
p
=
má s touto rovinou společný bod
A
, bod
H
v této rovině neleží. Přímky
AH
p
=
a
SF
q
=
neleží v jedné rovině, jsou tedy mimoběžné.
9. Stereometrie
355
• V krychli
ABCDEFGH
sestrojte průsečnici rovin
ACH
=
α
,
BDH
=
β
.
Řešení
Bod
H
je společný bod obou rovin přímky
AC
a
BD
leží v jedné stěně krychle, jsou různoběžné a
protínají se v bodě
S
. Průsečnice rovin
ACH
=
α
a
BDH
=
β
je přímka
HS
.
9. Stereometrie
356
• Je dán jehlan s hlavním vrcholem
V
, jehož podstava je lichoběžník
MNPQ
(
PQ
MN
). Sestrojte
průsečnici rovin
MQV
a
NPV
.
Řešení
Průsečnice obou rovin je přímka
VR
, kde
R
je průsečík přímek
MQ
a
NP
.
• V čtyřstěnu
ABCD
jsou na každé z hran
CD
BD
AD
,
,
vyznačeny postupně body
P
N
M
,
,
.
Bodem
V
veďte rovnoběžku s průsečnicí rovin
ABC
a
MNP
.
Řešení
Přímky
MN
a
AB
leží v jedné rovině stěny
ABD
, jsou různoběžné a protínají se v bodě
K
.
Podobně přímky
PN
a
BC
se protínají v bodě
L
. Bodem
D
vedeme přímku
p
rovnoběžně
s přímkou
KL
s
=
.
9. Stereometrie
357
• Dokažte, že středy
M
L
K
,
,
hran
VC
VB
VA
,
,
čtyřstěnu
ABCV
leží v rovině, která je
rovnoběžná s rovinou
ABC
.
Řešení
Úsečka
KL
spojuje středy dvou stran v trojúhelníku
ABV
, je to tedy střední příčka trojúhelníka, pro
niž platí, že je rovnoběžná s třetí stranou trojúhelníka, takže
AB
KL
. Podobně úsečka
LM
jako
střední příčka trojúhelníka
BCV
je rovnoběžná s hranou
BC
. Rovina
KLM
obsahuje dvě
různoběžky
KL
,
LM
rovnoběžné s rovinou
ABC
, je tedy s touto rovinou rovnoběžná.
9. Stereometrie
358
• Je dán kvádr
ABCDEFGH
a bod
M
jako střed úsečky
GH
. Bodem
M
proložte rovinu
ρ
rovnoběžnou s mimoběžkami
FG
b
AE
a
=
=
,
.
Řešení
Bodem
M
vedeme dvě různoběžky
MQ
MN,
, které jsou rovnoběžné s přímkami
AE
a
=
,
FG
b
=
. Rovina
ρ
je v kvádru určena obdélníkem
MNPQ
.
• V pravidelném čtyřbokém hranolu
ABCDEFGH
sestrojte průsečík přímky
AG
m
=
s rovinou
BDH
=
σ
.
Řešení
Přímka
AG
m
=
leží v rovině
ACG
, která je v hranolu určena obdélníkem
ACGE
. Průsečnice této
roviny s rovinou
BDH
=
σ
je přímka
SQ
, kde
Q
S,
jsou středy podstav. Průsečík přímky
AG
m
=
s rovinou
BDH
=
σ
je průsečík přímek
m
a
SQ
bod
R
.
9. Stereometrie
359
• Je dán pravidelný čtyřboký jehlan
ABCDV
a body
L
K,
kde
L
je střed hrany
AV
a bod
K
leží na přímce
CD
tak, že bod
C
je střed úsečky
KD
.Sestrojte průsečík přímky
KL
k
=
s rovinou
BCV
=
ρ
.
Řešení
Přímkou
k
proložíme rovinu
KLV
=
α
, která protíná rovinu podstavy v přímce
AK
. Rovina
α
protíná rovinu
ρ
v přímce
PV
, kde bod
P
je průsečík přímek
AK
a
BC
. Přímka
k
protíná rovinu
ρ
v bodě
PV
KL
R
∩
=
.
• Je dán kvádr
ABCDEFGH
a body
P
N
M
,
,
, které po řadě půlí hrany
GH
EH
AE
,
,
. Sestrojte
příčku mimoběžek
PN
BM,b
a
=
=
, která prochází bodem
A
.
Řešení
Přímka
a
a bod
A
leží v jedné rovině stěny
ABFE
krychle. Přímka
b
protíná tuto stěnu v bodě
R
,
který leží na přímce
EF
. Příčka obou mimoběžek
b
a
,
je přímka
AR
, která mimoběžku
a
protíná
v bodě
T
.
9. Stereometrie
360
• Zobrazte krychli
ABCDEFGH
a bod
S
jako střed horní podstavy krychle. Sestrojte příčku
mimoběžek
AD
a
=
,
BS
b
=
tak, aby byla rovnoběžná s přímkou
CG
s
=
.
Řešení
Přímkou
a
proložíme rovinu rovnoběžnou s přímkou
s
, což je rovina stěny krychle
ADHE
. Přímka
b
leží v rovině
BDH
a rovinu stěny
ADHE
protíná v bodě
R
na přímce
DH
. Přímka
DR
je
příčka obou mimoběžek rovnoběžná s přímkou
CG
s
=
.
9. Stereometrie
361
Úlohy k řešení
Úloha 9.1.
Ve čtyřbokém jehlanu
ABCDV
veďte bodem
V
rovnoběžku s průsečnicí rovin
ABC
=
α
,
ACV
=
β
.
♦
Úloha 9.2.
Je dána krychle
ABCDEFGH
. Sestrojte průsečnici rovin
EGB
=
α
,
BDH
=
β
.
♦
Úloha 9.3.
Přímky
AC
a
=
a
ED
b
=
v kvádru
ABCDEFGH
jsou mimoběžné. Proložte jimi dvě
navzájem rovnoběžné roviny.
♦
Úloha 9.4.
V krychli
ABCDEFGH
zobrazte bod
M
, který půlí hranu. Přímkami
BD
a
=
a
ED
b
=
proložte roviny
BDM
=
ρ
a
EGM
=
σ
a sestrojte jejich průsečnici
s
. Určete průsečíky
přímky
s
s přímkami
b
a,
.
♦
Úloha 9.5.
Zobrazte krychli
ABCDEFGH
a bod
M
, který leží uvnitř hrany
BF
tak, že platí
2
:
1
:
=
FM
BM
. Sestrojte průsečnici rovin
BCH
=
ρ
a
ADM
=
σ
.
♦
Úloha 9.6.
V krychli
ABCDEFGH
jsou přímky
AC
a
=
a
EF
b
=
navzájem mimoběžné. Sestrojte
příčku těchto mimoběžek tak, aby ležela v rovině
DBF
=
ρ
.
♦
Úloha 9.7.
V pravidelném čtyřbokém jehlanu
ABCDV
zobrazte body
M
L
K
,
,
jako středy hran
AB
,
BC
,
CV
. Sestrojte průsečnici rovin
KLV
=
ρ
a
BDM
=
σ
.
♦
Úloha 9.8.
Je dán čtyřstěn
ABCD
a střed jeho hrany
AD
bod
M
. Bodem
M
veďte rovinu
ρ
rovnoběžnou s rovinou
BCD
=
σ
.
♦
9. Stereometrie
362
Výsledky
9.1.
Bodem
V
vedeme přímku
s
rovnoběžně s přímkou
AC
r
=
, která je průsečnicí rovin
ABC
=
α
a
ACV
=
β
.
9.2.
Jeden bod průsečnice je bod
B
. Rovina
β
je v krychli vyznačena obdélníkem
BDHF
. Přímky
EG
roviny
α
a
FH
roviny
β
leží v jedné stěně krychle a protínají se v bodě
S
. Průsečnice obou rovin
je přímka
BS
.
9. Stereometrie
363
9.3.
Přímka
FC
je rovnoběžná s přímkou
ED
b
=
, různoběžky
AC
a
=
,
FC
určují rovinu
rovnoběžnou s přímkou
ED
b
=
. Podobně přímka
EG
je rovnoběžná s přímkou
AC
a
=
a
různoběžky
ED
,
EG
určují rovinu rovnoběžnou s přímkou
AC
a
=
.
9.4.
Rovina
BDM
=
ρ
je v krychli vyznačena obdélníkem
BDHF
. Roviny
ρ
a
σ
mají společný bod
M
a střed horní podstavy krychle bod
S
. Průsečnice obou rovin přímka
MS
s
=
protíná přímku
EG
b
=
v bodě
S
a přímku
BD
a
=
v bodě
P
.
9. Stereometrie
364
9.5.
Rovina
BCH
=
ρ
je v krychli vyznačena obdélníkem
BCHE
, rovina
ADM
=
σ
je vyznačena
obdélníkem
AMND
, kde úsečka
MN
je rovnoběžná s úsečkou
AD
.Průsečnice obou rovin je
přímka
PQ
, kde
CH
DN
Q
BE
AM
P
∩
=
∩
=
,
.
9.6.
Rovina
DBF
=
ρ
je v krychli vyznačena obdélníkem
BDHF
. Přímka
AC
a
=
protíná tuto rovinu
v bodě
S
. přímka
EF
b
=
protíná rovinu
DBF
=
ρ
v bodě
F
. Příčka obou mimoběžek je přímka
SF
p
=
.
9. Stereometrie
365
9.7.
Přímky
KL
roviny
ρ
a
BD
roviny
σ
leží v jedné rovině podstavy jehlanu a protínají se v bodě
Q
.
Druhý bod průsečnice
P
je průsečík přímek
LV
roviny
ρ
a
BM
roviny
σ
, které leží v téže rovině
boční stěny jehlanu
BCV
.
9.8.
Přímka vedená bodem
M
rovnoběžně s přímkou
BD
protne hranu
AB
v bodě
K
, rovnoběžka
s přímkou
CD
jdoucí bodem
M
protne hranu
AC
v bodě
L
. Rovina rovnoběžná s rovinou stěny
BCD
je v čtyřstěnu určena trojúhelníkem
KLM
.