9. Stereometrie

349

9.2. Základní geometrické útvary a vztahy mezi nimi

‰

Vzájemná poloha dvou přímek

Dvě přímky v prostoru mohou být splývající (totožné), rovnoběžné, různoběžné, mimoběžné.

Vzájemnou polohu dvou přímek můžeme demonstrovat na krychli

ABCDEFGH

, kde navíc

sestrojíme bod

K

jako střed hrany

FG

a bod

L

na přímce

GH

tak, aby bod

G

byl středem úsečky

HL

.

Přímky

KG

FK,

jsou splývající neboli totožné, mají všechny body společné. Píšeme

KG

FK

=

.

Přímky

EF

AB,

jsou rovnoběžné. Nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině,tou je stěna

ABFE

krychle. Píšeme

EF

AB

.

Přímky

FG

EK,

jsou různoběžné. Mají jeden společný bod

K

, který se nazývá průsečík.Píšeme

FG

EK

K

∩

=

.

Přímky

AB

EL,

jsou mimoběžné. Nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině.

Na krychli můžeme najít další dvojice přímek rovnoběžných (

GH

AB

,

BF

AE

,

BC

AD

),

různoběžných (

AD

AB

A

AE

EH

E

FG

BK

K

∩

=

∩

=

∩

=

,

,

) nebo mimoběžných (

DH

AB

−

,

BC

AE

BK

AE

−

−

,

).

Přímka, která protíná dvě mimoběžky, se nazývá příčka dvou mimoběžek. Na je přímka

BK

příčka

mimoběžek

FL

AB,

.

9. Stereometrie

350

‰

Rovina

Je dán kvádr

ABCDEFGH

, ve kterém označíme přímky

BH

c

FH

b

BD

a

=

=

=

,

,

. V kvádru. je

vyznačena rovina

ρ

určená obdélníkem

BFHD

. Rovina je jednoznačně určena třemi body, které

neleží v přímce (

DBF

=

ρ

nebo

HDB

=

ρ

), přímkou a bodem, který na ni neleží (

aF

=

ρ

nebo

bB

=

ρ

), dvěma různoběžkami (

ac

=

ρ

nebo

bc

=

ρ

) nebo dvěma rovnoběžkami (

ab

=

ρ

).

Řešený příklad

• V krychli

ABCDEFGH

vyznačte rovinu

ACS

=

ρ

, kde

S

je střed horní podstavy.

Řešení

Rovina

ACS

=

ρ

, je také určena rovnoběžkami

AC

a

EG

, kde

EG

prochází bodem

S

rovnoběžně s přímkou

AC

. Rovina

ρ

je v krychli vyznačena obdélníkem

ACGE

.

9. Stereometrie

351

‰

Vzájemná poloha přímky a roviny

V kvádru

ABCDEFGH

vyznačíme rovinu

BCH

=

ρ

a přímky

FG

q

=

a

S

S

p

′

=

, kde body

S

S

′

,

jsou středy podstav

EFGH

ABCD,

.

Pro vzájemnou polohu přímky a roviny platí:

• Má-li přímka s rovinou společné dva body, pak leží v rovině. Přímka

BH

leží v rovině

ρ

.

Píšeme:

ρ

⊂

BH

.

• Má-li přímka s rovinou jeden společný bod, pak říkáme, že je s rovinou různoběžná. Přímka

Q

S

p

′

=

protíná přímku

BH

v bodě

R

, bod

R

je průsečík přímky

p

s rovinou

ρ

. Píšeme:

ρ

∩

= p

R

.

• Nemá-li přímka s rovinou žádný společný bod, je s rovinou rovnoběžná. Přímka

FG

q

=

je

rovnoběžná s rovinou

ρ

. Píšeme:

ρ

q

.

Pro rovnoběžnost přímky s rovinou platí následující věty:

• Je-li přímka

q

rovnoběžná s rovinou

ρ

, pak každá rovina obsahující přímku

q

a protínající

rovinu

ρ

protne rovinu

ρ

v přímce rovnoběžné s přímkou

q

.

• Na obrázku rovina stěny

BCGF

obsahuje přímku

FG

q

=

a protíná rovinu

ρ

v přímce

BC

,

která je rovnoběžná s přímkou

q

.

• Je-li přímka rovnoběžná s některou přímkou roviny

ρ

, je s touto rovinou rovnoběžná.

• Na obrázku je přímka

AD

rovnoběžná s přímkou

BC

, je tedy přímka

AD

rovnoběžná s rovinou

ρ

.

9. Stereometrie

352

‰

Vzájemná poloha dvou rovin

V pravidelném čtyřbokém hranolu

ABCDEFGH

sestrojíme středy

N

M

L

K

,

,

,

hran

AE

,

BF

,

CG

,

DH

. A vyznačíme roviny

ELM

KBC

=

=

β

α

,

.

Pro vzájemnou polohu dvou rovin platí:
• Dvě roviny, které mají všechny body společné, jsou splývající. Rovina určená body

ELM

je

splývající (totožná, shodná) s rovinou určenou body

LMH

.

• Dvě roviny, které mají společný bod, mají společnou přímku, která tímto bodem prochází a

nazývají se různoběžné. Společná přímka se nazývá průsečnice. Rovina

ELM

=

β

a rovina

stěny

BCGH

mají společnou průsečnici

LM

.

• Dvě roviny, které nemají žádný společný bod, jsou rovnoběžné. Roviny

ELM

KBC

=

=

β

α

,

jsou rovnoběžné.

Pro rovnoběžnost rovin platí: dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě
různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou.

Na obrázku jsou rovnoběžné dvojice přímek

LM

BC,

a

EL

KB,

, jsou tedy roviny

KBC

=

α

a

ELM

=

β

rovnoběžné.

9. Stereometrie

353

‰

Vzájemná poloha tří rovin

Vzájemnou polohu tří navzájem různých rovin si předvedeme na pravidelném čtyřbokém hranolu

ABCDEFGH

, ve kterém sestrojíme body

N

M

L

K

,

,

,

jako středy hran

AE

,

BF

,

CG

,

DH

.

Vyznačíme roviny

ABC

=

α

,

KLM

=

β

,

EFG

=

γ

,

EBC

=

δ

,

BCG

=

ρ

,

ABF

=

σ

.

Pro tři různé roviny může nastat jedna z pěti možností:

• Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. Roviny

ABC

=

α

,

KLM

=

β

,

EFG

=

γ

, jsou

navzájem rovnoběžné (

γ

β

α

), nemají žádný společný bod.

• Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných průsečnicích.

Roviny

ABC

=

α

,

KLM

=

β

jsou rovnoběžné, rovina

EBC

=

δ

je protíná v přímkách

BC

a

UV

, které jsou rovnoběžné.

• Všechny tři roviny jsou vzájemně různoběžné, každé dvě mají společnou průsečnici. Tyto tři

přímky jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin. Na obrázku pro roviny

KLM

=

β

,

EBC

=

δ

,

ABF

=

σ

platí:

UV

=

∩

δ

β

,

KL

=

∩

σ

β

,

BE

=

∩

σ

δ

,

U

BE

KL

UV

=

∩

∩

,

U

=

∩

∩

σ

δ

β

.

• Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice splývají v jedinou přímku.

Roviny

ABC

=

α

,

EBC

=

δ

,

BCG

=

ρ

jsou navzájem různoběžné a mají společnou přímku

BC

.

• Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice jsou různé a rovnoběžné. Pro

roviny

KLM

=

β

,

EBC

=

δ

,

BCG

=

ρ

:

UV

=

∩

δ

β

,

ML

=

∩

ρ

β

,

BC

=

∩

ρ

δ

,

průsečnice

BC

ML

UV

,

,

jsou rovnoběžné.

9. Stereometrie

354

Řešený příklad

• Je dán pravidelný šestiboký hranol

F

E

D

C

B

A

ABCDEF

′

′

′

′

′

′

. Dokažte, že přímka

BK

, kde

K

je

střed hrany

C

C ′

je rovnoběžná se stěnou

E

F

EF

′

′

.

Řešení

Přímka

BK

leží ve stěně

B

C

BC

′

′

. Tato rovina obsahuje přímku

BC

rovnoběžnou s přímkou

EF

(protější strany šestiúhelníka) a přímku

B

B ′

rovnoběžnou s přímkou

F

F ′

. Rovina stěny

B

C

BC

′

′

je

rovnoběžná s rovinou stěny

E

F

EF

′

′

, je tedy i přímka

BK

rovnoběžná s touto rovinou.

• Dokažte, že přímky

AH

p

=

a

SF

q

=

jsou navzájem mimoběžné, jestliže

ABCDEFGH

je

kvádr se středem dolní podstavy

S

.

Řešení

Přímka

SF

q

=

leží v rovině

ACF

. Přímka

AH

p

=

má s touto rovinou společný bod

A

, bod

H

v této rovině neleží. Přímky

AH

p

=

a

SF

q

=

neleží v jedné rovině, jsou tedy mimoběžné.

9. Stereometrie

355

• V krychli

ABCDEFGH

sestrojte průsečnici rovin

ACH

=

α

,

BDH

=

β

.

Řešení

Bod

H

je společný bod obou rovin přímky

AC

a

BD

leží v jedné stěně krychle, jsou různoběžné a

protínají se v bodě

S

. Průsečnice rovin

ACH

=

α

a

BDH

=

β

je přímka

HS

.

9. Stereometrie

356

• Je dán jehlan s hlavním vrcholem

V

, jehož podstava je lichoběžník

MNPQ

(

PQ

MN

). Sestrojte

průsečnici rovin

MQV

a

NPV

.

Řešení

Průsečnice obou rovin je přímka

VR

, kde

R

je průsečík přímek

MQ

a

NP

.

• V čtyřstěnu

ABCD

jsou na každé z hran

CD

BD

AD

,

,

vyznačeny postupně body

P

N

M

,

,

.

Bodem

V

veďte rovnoběžku s průsečnicí rovin

ABC

a

MNP

.

Řešení

Přímky

MN

a

AB

leží v jedné rovině stěny

ABD

, jsou různoběžné a protínají se v bodě

K

.

Podobně přímky

PN

a

BC

se protínají v bodě

L

. Bodem

D

vedeme přímku

p

rovnoběžně

s přímkou

KL

s

=

.

9. Stereometrie

357

• Dokažte, že středy

M

L

K

,

,

hran

VC

VB

VA

,

,

čtyřstěnu

ABCV

leží v rovině, která je

rovnoběžná s rovinou

ABC

.

Řešení

Úsečka

KL

spojuje středy dvou stran v trojúhelníku

ABV

, je to tedy střední příčka trojúhelníka, pro

niž platí, že je rovnoběžná s třetí stranou trojúhelníka, takže

AB

KL

. Podobně úsečka

LM

jako

střední příčka trojúhelníka

BCV

je rovnoběžná s hranou

BC

. Rovina

KLM

obsahuje dvě

různoběžky

KL

,

LM

rovnoběžné s rovinou

ABC

, je tedy s touto rovinou rovnoběžná.

9. Stereometrie

358

• Je dán kvádr

ABCDEFGH

a bod

M

jako střed úsečky

GH

. Bodem

M

proložte rovinu

ρ

rovnoběžnou s mimoběžkami

FG

b

AE

a

=

=

,

.

Řešení

Bodem

M

vedeme dvě různoběžky

MQ

MN,

, které jsou rovnoběžné s přímkami

AE

a

=

,

FG

b

=

. Rovina

ρ

je v kvádru určena obdélníkem

MNPQ

.

• V pravidelném čtyřbokém hranolu

ABCDEFGH

sestrojte průsečík přímky

AG

m

=

s rovinou

BDH

=

σ

.

Řešení

Přímka

AG

m

=

leží v rovině

ACG

, která je v hranolu určena obdélníkem

ACGE

. Průsečnice této

roviny s rovinou

BDH

=

σ

je přímka

SQ

, kde

Q

S,

jsou středy podstav. Průsečík přímky

AG

m

=

s rovinou

BDH

=

σ

je průsečík přímek

m

a

SQ

bod

R

.

9. Stereometrie

359

• Je dán pravidelný čtyřboký jehlan

ABCDV

a body

L

K,

kde

L

je střed hrany

AV

a bod

K

leží na přímce

CD

tak, že bod

C

je střed úsečky

KD

.Sestrojte průsečík přímky

KL

k

=

s rovinou

BCV

=

ρ

.

Řešení

Přímkou

k

proložíme rovinu

KLV

=

α

, která protíná rovinu podstavy v přímce

AK

. Rovina

α

protíná rovinu

ρ

v přímce

PV

, kde bod

P

je průsečík přímek

AK

a

BC

. Přímka

k

protíná rovinu

ρ

v bodě

PV

KL

R

∩

=

.

• Je dán kvádr

ABCDEFGH

a body

P

N

M

,

,

, které po řadě půlí hrany

GH

EH

AE

,

,

. Sestrojte

příčku mimoběžek

PN

BM,b

a

=

=

, která prochází bodem

A

.

Řešení

Přímka

a

a bod

A

leží v jedné rovině stěny

ABFE

krychle. Přímka

b

protíná tuto stěnu v bodě

R

,

který leží na přímce

EF

. Příčka obou mimoběžek

b

a

,

je přímka

AR

, která mimoběžku

a

protíná

v bodě

T

.

9. Stereometrie

360

• Zobrazte krychli

ABCDEFGH

a bod

S

jako střed horní podstavy krychle. Sestrojte příčku

mimoběžek

AD

a

=

,

BS

b

=

tak, aby byla rovnoběžná s přímkou

CG

s

=

.

Řešení

Přímkou

a

proložíme rovinu rovnoběžnou s přímkou

s

, což je rovina stěny krychle

ADHE

. Přímka

b

leží v rovině

BDH

a rovinu stěny

ADHE

protíná v bodě

R

na přímce

DH

. Přímka

DR

je

příčka obou mimoběžek rovnoběžná s přímkou

CG

s

=

.

9. Stereometrie

361

Úlohy k řešení

Úloha 9.1.

Ve čtyřbokém jehlanu

ABCDV

veďte bodem

V

rovnoběžku s průsečnicí rovin

ABC

=

α

,

ACV

=

β

.

♦

Úloha 9.2.

Je dána krychle

ABCDEFGH

. Sestrojte průsečnici rovin

EGB

=

α

,

BDH

=

β

.

♦

Úloha 9.3.

Přímky

AC

a

=

a

ED

b

=

v kvádru

ABCDEFGH

jsou mimoběžné. Proložte jimi dvě

navzájem rovnoběžné roviny.

♦

Úloha 9.4.

V krychli

ABCDEFGH

zobrazte bod

M

, který půlí hranu. Přímkami

BD

a

=

a

ED

b

=

proložte roviny

BDM

=

ρ

a

EGM

=

σ

a sestrojte jejich průsečnici

s

. Určete průsečíky

přímky

s

s přímkami

b

a,

.

♦

Úloha 9.5.

Zobrazte krychli

ABCDEFGH

a bod

M

, který leží uvnitř hrany

BF

tak, že platí

2

:

1

:

=

FM

BM

. Sestrojte průsečnici rovin

BCH

=

ρ

a

ADM

=

σ

.

♦

Úloha 9.6.

V krychli

ABCDEFGH

jsou přímky

AC

a

=

a

EF

b

=

navzájem mimoběžné. Sestrojte

příčku těchto mimoběžek tak, aby ležela v rovině

DBF

=

ρ

.

♦

Úloha 9.7.

V pravidelném čtyřbokém jehlanu

ABCDV

zobrazte body

M

L

K

,

,

jako středy hran

AB

,

BC

,

CV

. Sestrojte průsečnici rovin

KLV

=

ρ

a

BDM

=

σ

.

♦

Úloha 9.8.

Je dán čtyřstěn

ABCD

a střed jeho hrany

AD

bod

M

. Bodem

M

veďte rovinu

ρ

rovnoběžnou s rovinou

BCD

=

σ

.

♦

9. Stereometrie

362

Výsledky

9.1.

Bodem

V

vedeme přímku

s

rovnoběžně s přímkou

AC

r

=

, která je průsečnicí rovin

ABC

=

α

a

ACV

=

β

.

9.2.

Jeden bod průsečnice je bod

B

. Rovina

β

je v krychli vyznačena obdélníkem

BDHF

. Přímky

EG

roviny

α

a

FH

roviny

β

leží v jedné stěně krychle a protínají se v bodě

S

. Průsečnice obou rovin

je přímka

BS

.

9. Stereometrie

363

9.3.

Přímka

FC

je rovnoběžná s přímkou

ED

b

=

, různoběžky

AC

a

=

,

FC

určují rovinu

rovnoběžnou s přímkou

ED

b

=

. Podobně přímka

EG

je rovnoběžná s přímkou

AC

a

=

a

různoběžky

ED

,

EG

určují rovinu rovnoběžnou s přímkou

AC

a

=

.

9.4.

Rovina

BDM

=

ρ

je v krychli vyznačena obdélníkem

BDHF

. Roviny

ρ

a

σ

mají společný bod

M

a střed horní podstavy krychle bod

S

. Průsečnice obou rovin přímka

MS

s

=

protíná přímku

EG

b

=

v bodě

S

a přímku

BD

a

=

v bodě

P

.

9. Stereometrie

364

9.5.

Rovina

BCH

=

ρ

je v krychli vyznačena obdélníkem

BCHE

, rovina

ADM

=

σ

je vyznačena

obdélníkem

AMND

, kde úsečka

MN

je rovnoběžná s úsečkou

AD

.Průsečnice obou rovin je

přímka

PQ

, kde

CH

DN

Q

BE

AM

P

∩

=

∩

=

,

.

9.6.

Rovina

DBF

=

ρ

je v krychli vyznačena obdélníkem

BDHF

. Přímka

AC

a

=

protíná tuto rovinu

v bodě

S

. přímka

EF

b

=

protíná rovinu

DBF

=

ρ

v bodě

F

. Příčka obou mimoběžek je přímka

SF

p

=

.

9. Stereometrie

365

9.7.

Přímky

KL

roviny

ρ

a

BD

roviny

σ

leží v jedné rovině podstavy jehlanu a protínají se v bodě

Q

.

Druhý bod průsečnice

P

je průsečík přímek

LV

roviny

ρ

a

BM

roviny

σ

, které leží v téže rovině

boční stěny jehlanu

BCV

.

9.8.

Přímka vedená bodem

M

rovnoběžně s přímkou

BD

protne hranu

AB

v bodě

K

, rovnoběžka

s přímkou

CD

jdoucí bodem

M

protne hranu

AC

v bodě

L

. Rovina rovnoběžná s rovinou stěny

BCD

je v čtyřstěnu určena trojúhelníkem

KLM

.