WYDZIAŁ F

IZYKI

 TECHNICZNEJ I MODELOWANIA 

KOMPUTEROWEGO  
POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ 

LABORATORIUM ELEKTRONIKI

  

Ć

WICZENIE

 9

      

 

 
O

BWODY 

RC: 

9.1. R

EAKTANCJA POJEMNOŚCIOWA

 

9.2. I

MPEDANCJA POŁĄCZENIA SZEREGOWEGO 

RC 

 

POJĘCIA I MODELE

 potrzebne do zrozumienia i 

prawidłowego wykonania ćwiczenia: 

1. Amplituda i faza przebiegu sinusoidalnego. 
2. Przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami 
sinusoidalnymi. 
3.Wektorowa reprezentacja fali sinusoidalnej: fazor (wskaz) 
4. Wartość chwilowa prądu i napięcia. 
5. Wartość pik-pik napięcia i prądu, wartość skuteczna 
napięcia i prądu. 
6. Metoda symboliczna: prawo Ohma dla prądów i napięć 
sinusoidalnych. 
7. Impedancja zastępcza obwodu, składowa rzeczywista i 
urojona. 
8. Reaktancja pojemnościowa. 
9. Jak użyć oscyloskopu do pomiaru napięcia, prądu i 
przesunięcia fazowego. 
 
 
 
 

Literatura: 

1.  Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, WN-T, W-a 

1967 

2.  Lagasse J., Teoria obwodów elektrycznych, WN-T, W-a 

1982 

3. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNpT, W-a 

1982 

4.  Niemcewicz L., Radiotechnika, wzory, definicje, 

obliczenia, WkiŁ, W-a 1971 

5.  Floyd T.L., Electronics Fundamentals: cicuits devices 

and Applications, Mervil Publishing Company 1987   

 

 

 

1. Wprowadzenie   

 

1.1.Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu. 

 Jedną z najważniejszych form sygnałów elektrycznych (prądowych i 

napięciowych ) jest forma sinusoidalna. Określona jest ona jednoznacznie 

przez amplitudę A  , fazę początkową 

ϕ, oraz częstotliwość f w hercach, lub 

częstość kołową 

ω

 = 2

π f , oraz okres T = (2π)/ω w sekundach. 

  W obwodzie złożonym z elementów biernych R, L, C zasilanym z 

generatora (źródła) wytwarzającego napięcie ( lub prąd ) sinusoidalne, 

wszystkie prądy i napięcia są również przebiegami sinusoidalnymi. 

Odpowiedź takiego obwodu, rozumiana jako prąd lub napięcie na dowolnym    

jego elemencie, różnić się będzie od przebiegu wymuszającego jedynie 

amplitudą (różną od amplitudy wymuszenia), i fazą – prądy i napięcia mogą 

nadążać z opóźnieniem za lub wyprzedzać przebieg wymuszający). 

Na rysunku nr.1 przedstawiono schematycznie główne cechy przebiegu 

sinusoidalnego tak jak można je obserwować na ekranie oscyloskopu. 

 

1.2.Przedstawienie fali sinusoidalnej jako wektora. 

Korzystając ze związku funkcji sinus z ruchem punktu  po okręgu z ustaloną                  

prędkością kątową 

ω , można przedstawić sinusoidalny przebieg napięcia i 

prądu jako wektor o długości równej amplitudzie napięcia ( lub prądu) 

wirujący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową 

ω. 

Związek ten przedstawiono na rys.2a. Wektor taki nazywamy wskazem lub 

fazorem. Na rysunku 2b przedstawiono związek wartości chwilowej napięcia 

V(t); ( t = 

α/ω ) przebiegu sinusoidalnego z jego przedstawieniem w postaci 

fazora ( wskazu ). Odległość od czubka wektora (wskazu ) do osi poziomej 

liczona w pionie, jest miarą aktualnej wartości chwilowej napięcia (np. V(45) 

= V(t 

45

) ; t

45

 = 45/

ω = (π/4)/ω ) 

Tak więc przebiegi sinusoidalne napięcia ( i prądu ) możemy przedstawiać w 

postaci wskazów jak na rysunku 2c oraz 2d. 

 

+

A 

u(t) = A

u

 sin(

ωt + ϕ

u

 ) ;  i(t) = A

i

 sin(

ωt + ϕ

i

 ) 

t – czas , 

ω= 2π f , f – częstotliwość [ Hz ]  

 

ϕ - faza początkowa

Argument:

α= ωt , α= ωt + ϕ 

0 

360

180 

 
 
 
 
 
 
 

- A 

 

A – amplituda prądu lub napięcia

 
 

-przejście przez 0, zmiana polaryzacji na + 

 
 
 

-przejście przez  0,zmiana polaryzacji na- 

 
 

Pik dodatni lub ujemny 

 
 
 
 

A wyprzedza B o 90 stopni

0 

u(t) 

90 

i(t) 

0 

90

A 

B 

y = Asin(

α + ϕ ) 

ϕ

0

0

ϕ

y = Asin(

α - ϕ ) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Prąd wyprzedza napięcie o 90 stopni 

Rys.1. Fala sinusoidalna prądu i napięcia – cechy charakterystyczne. 

 
 
 
 
 
 
 

 

ó 

45

o 

135

o 

Związek fali sinusoidalnej z ruchem obrotowym wskazu 

315

o 

225

o 

180

o 

0

o 

0

o

     45

o

  90

o

 135

o

 180

o

 225

o

 270

o

 315

o

 360

o 

 

a) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

b) 

V

p

V

p

 

V(

α) 

α = 45

o 

α 

 
 
 
 
 
 
 
 

Związek wykresu wskazowego oraz wartości chwilowej napięcia 
sinusoidalnego V(

α=45

o

). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

c) 

ϕ 

60

o

 

2V 

B

30

o

A 

d)

Amplituda napięcia (prądu)

Wartość chwilowa 
napięcia (prądu)  

- 45

o

 

1.67mA

0

o 

A

30

o

90

o

B

i(t)=1.67sin(3t – 45

o

) 

u(t)=2sin(4t + 60

o

) 

Rys.2.c) przykłady wskazów napięcia i prądu, d) wykres wskazowy 
2 przebiegów o różnych amplitudach, przesuniętych w fazie o 30

o

. 

 
 
 
 
 
 
 

 

Wzajemną relację 2 przebiegów sinusoidalnych można przedstawić kreśląc 2 

wektory jak to pokazano na rys.2d. Korzystając z takiego sposobu możemy 

łatwo sumować napięcia i prądy jako wektory oraz wyznaczać  ich moduły i 

fazy. I tak np. znając wskaz prądu przepływającego przez opornik R, i wiedząc, 

że napięcie na oporniku jest w fazie z prądem, możemy wydłużyć wskaz prądu 

R razy i otrzymamy wskaz napięcia na tym oporniku. 

 

1.3.Wartość pik – pik , wartość skuteczna napięcia i prądu przemiennego. 

     Na ekranie oscyloskopu możemy zmierzyć napięcie pik – pik przebiegu 

sinusoidalnego równe podwojonej  jego amplitudzie: 

            v

pp

 = 2A

u

 ; i

pp

 = 2A

i

 ,   A

u

 – amplituda napięcia [ V ], A

i

 – amplituda 

prądu [ A ]. 

Multimetry (woltomierze i amperomierze prądu przemiennego) mierzą i 

pokazują wartości skuteczne napięć i prądów w ograniczonym zakresie 

częstotliwości. Zakres ten podaje producent w instrukcji obsługi.  

Wartość skuteczna napięcia przemiennego V

s

 , to taka wartość napięcia stałego, 

które przyłożone do opornika wydzieli w nim taką samą ilość ciepła jak 

przebieg sinusoidalny. Podobnie określamy natężenie skuteczne prądu. Relacje 

pomiędzy wartością skuteczną a amplitudą są następujące: 

   U

s

 = (0.5)

1/2

 A

u

 

≅ 0.707A

u

  ;   I

s

 = (0.5)

1/2

 A

i

 

≅ 0.707 A

i

 

 

1.4. Pomiar przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma przebiegami napięcia lub 

prądu przy użyciu oscyloskopu. 

     Porównywane przebiegi podłączyć odpowiednio do wejścia kanału 1 i 2 

oscyloskopu. Regulując wzmocnieniem obu kanałów oraz częstotliwością 

podstawy czasu doprowadzić do zatrzymania i widoczności obu przebiegów w 

obszarze ekranu. 

 

1.4.1. Dobieramy wzmocnienie kanału 1 oraz podstawę czasu tak aby na ekranie 

zmieściła się dokładnie połowa okresu przebiegu A (rys.3.) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

18

o

/1działka

0.5 okresu = 180

o

Kąt przesunięcia fazowego 

ϕ = 3dz. * 18

o

 = 54

o

 

ϕ 

Rys.3. Pomiar 
przesunięcia 
fazowego za 
pomocą 
oscyloskopu. 

1.4.2. Szerokość ekranu (w działkach ) odpowiada wtedy 180

o

 miary kątowej. 

Obliczamy z proporcji ile stopni przypada na jedną działkę w poziomie. 

1.4.3. wyznaczamy ilość działek odpowiadającą 

ϕ ( liczba działek 

odpowiadająca odstępowi pomiędzy punktami czerwonym i niebieskim) 

1.4.4. obliczamy kąt przesunięcia fazowego (jak na rysunku).  

 

1.5. Pomiar napięcia i natężenia prądu za pomocą oscyloskopu. 

Pokrętła wzmocnienia – regulacja ciągła, przekręcić przeciwnie do ruchu 

wskazówek zegara do oporu (położenie kalibrowane). Napięcie w woltach na 

działkę podane jest na przełącznikach skokowych. Liczbę działek 

odpowiadającą napięciu pik – pik (lub amplitudzie) pomnożyć przez liczbę 

woltów przypadającą na jedną działkę.  

     Natężenie prądu przemiennego mierzymy jako napięcie na oporniku 

pomiarowym 10 

Ω (lub 100Ω) połączonym szeregowo z elementem, przez który 

przepływa mierzony prąd. Impedancja tego elementu powinna być przynajmniej 

100 razy większa od oporu 10 

Ω. Ponieważ wiązka elektronów w kineskopie 

oscyloskopu nie posiada praktycznie bezwładności, prądy i napięcia można 

mierzyć w całym paśmie częstotliwości pracy oscyloskopu. 

 

2.  Prawo Ohma i prawa Kirchoffa dla przebiegów sinusoidalnych. 

 

2.1 Prąd i napięcie na oporniku przy wymuszeniu sinusoidalnym. 

        Gdy przyłożymy zmienne w czasie napięcia do obwodu złożonego z 

oporników, to prawa te są spełnione podobnie jak dla napięć i prądów stałych. 

Wzajemną relację pomiędzy napięciem sinusoidalnym o znanej amplitudzie i 

częstotliwości a prądem przezeń wywołanym w oporniku o wartości oporu R 

można łatwo zaobserwować np. w układzie przedstawionym na rys.4. 

  

 

 

        

   

Generator

mA 

i(t) 

u

g

(t) 

f

g 

u

R

 

u

g

mA

≈

i

R

 

u

g

 = u

R

 , R = ( u

g

/i

R

 ) 

R 

≠ f ( ω ), ω = 2πf

g

 

R

 

 
 
 
 
 

 

Rys.4. Pomiar prądu i napięcia na oporniku R; R nie zależy od 
częstotliwości (dla opornika idealnego).

Jeszcze prościej, przyjmując, że sygnał z generatora ma postać u

g

= A

u

sin(

ωt) , a 

prąd ( co wiadomo z doświadczenia) i

R

= A

i

sin(

ωt), możemy obliczyć, że: 

 

R

)

t

sin(

)

t

sin(

)

t

(

)

t

(

)

t

(

)

t

(

A

A

A

A

i

u

i

u

i

u

i

u

R

R

R

g

=

=

=

=

ω

ω

 

Oznacza to, że jeżeli opornik nadąża z rozpraszaniem ciepła, czyli nie zmienia 

swojej temperatury, to można przyjąć, że dla nie bardzo dużych częstotliwości  

R = const. 

Opór stawiany przez opornik prądowi przemiennemu nazywamy ogólniej  

 Impedancją Z . Impedancja opornika Z

R

 jest równa jego oporowi omowemu R. 

Z

R

 = R . Prąd i

R

 (t) zmienia się dokładnie synchronicznie z napięciem u

g

(t). 

Mówimy, że oba przebiegi pozostają w tej samej fazie, lub, że przesunięcie 

fazowe pomiędzy nimi wynosi zero. Ilustrację graficzną tego faktu w 

terminologii wykresu wskazowego przedstawiono na rysunku 5.  

   

 

ϕ = 0 

i

R

 

u

R 

 

u

R 

i

R

 
 
 
 
 

90

o

Z

R

 = R

U

R

 = R i

R

 
 
 
 
 

0

o

 
 

Impedancja opornika jest rzeczywista, nie posiada 
składowej pionowej czyli urojonej w terminologii liczb 
zespolonych. 

 
 
 
 
 
 
 

 

Rys.5. Prądy i napięcia przemienne na oporniku , impedancja 
rzeczywista. 

 

 

 

3. Związek napięcia i prądu przepływającego przez kondensator przy 

wymuszeniu sinusoidalnym 

 

        Celem naszym jest doświadczalne zbadanie i ustalenie,  jaki jest związek 

pomiędzy napięciem i prądem kondensatora o pojemności C , C = (Q/V) oraz ile 

wynosi impedancja takiego kondensatora dla prądów przemiennych ( Z

C

 ). 

Szukaną impedancję oznaczymy jako X

C

.  

 

U

g

(t) = A

U

 sin(

ωt); ω = 2πf 

i

C

(t) = A

i

 sin(

ωt + ϕ ) 

 
 
 

 

?

)

t

(

)

t

(

)

t

(

)

t

(

i

u

i

u

X

Z

C

C

C

g

C

C

=

=

=

=

 

Z

C

C

X

C

u

C

(t)

i

C

(t) 

u

g

(t) 

 

u

g

(t) = u

C

(t) 

 
 

Rys.6. Wielkości szukane: definicje i schemat zastępczy.

 
 
 
Aby wyznaczyć X

C

 musimy zmierzyć A

U

, A

i

 ,

ϕ oraz ω. Ponieważ duże 

pojemności potrzebują więcej czasu aby się naładować i rozładować niż małe, 

musimy zbadać jak X

C

 zależy od częstotliwości.    

 

  

Zadania do wykonania: 

1.Zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku 

nr.7. Użyć kondensatora wskazanego przez prowadzącego. 

2. Zmieniając częstotliwość wymuszenia ( napięcia u

g

 ) równomiernie ale w 

skali logarytmicznej, mierzoną częstościomierzem , w przedziale  od 40Hz do 

ok. 1 MHz , zmierzyć u

C

(f) oraz i

C

(f) dla zbliżonych wartości A

U

. 

Zaobserwować i zmierzyć przesunięcie fazowe 

ϕ pomiędzy przebiegami 

napięcia i prądu kondensatora dla różnych częstotliwości. 

3. Sporządzić wykres zależności 

ϕ = ϕ (logω). 

 

f [Hz] 

Generator

U

gS

 [V] 

f [Hz] 

Częstościomierz 

u

C

i

C

(t) 

u

g

(t) 

C

10

Ω

 

Kanał1 oscyloskopu 

Kanał2 oscyloskopu 

Amplituda u

10

 [V] 

Amplituda u

C

 [V] 

u

10

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

i

C

 = (u

10

 / 10)[A] ; X

C

 = (A

U

(

ω) / A

i

(

ω)) [ Ω ]

 
 
 
 
 

Rys.7. Schemat układu do pomiaru impedancji kondensatora X

C

. 

4. Sporządzić wykres zależności logX

C 

 od log

ω. 

 
Przyjąć, że zmienna zależna y = logX

C

 , a zmienna niezależna x =log

ω (rys.8). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Obliczyć nachylenie prostej na wykresie. Można użyć formuły: 

logX

C 

log

ω

10

2

      10

3

    10

4

    10

5  

           Hz 

ω

1                               

ω

2 

logX

C

(

ω

2

) 

logX

C

(

ω

1

) 

Rys.8. Zależność impedancji
kondensatora od 
częstotliwości. 

           a =(

ω

1

 - 

ω

2

)

-1

[ logX

C

(

ω

1

) – logX

C

(

ω

2

) ] 

6. Wyznaczamy zależność X

C

 od częstotliwości: 

równanie prostej ma postać ( y = ax + b): logX

C

(

ω) = -1logω + logb , 

oznaczamy: b = D

- 1

 i otrzymujemy : logX

C

(

ω) = log(ω)

- 1

+ log(D)

- 1

, czyli: 

X

C

 = ( 

ω D)

- 1

 

7. Szukamy wymiaru wielkości D:  D = (

ω X

C

)

- 1

,  [D] = As/V = C/V = Farad  

Czyli: wielkość D , będąca niezmiennikiem procedury pomiaru X

C

 w funkcji 

ω 

ma wymiar pojemności . Jest to pojemność użytego kondensatora . 

D = C = ......F. 

8. Zmierzyć wartość pojemności użytego kondensatora multimetrem i porównać 

oba wyniki. 

9. Impedancję kondensatora Z

C

 = X

C 

= (

ω C)

- 1

 nazywamy reaktancją 

pojemnościową.   

10. Ponieważ napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie za prądem o 90

o

 to 

wykres wskazowy reaktancji pojemnościowej jest  następujący: 

     

 
     

i

C

 

270

o 

- 90

o

 

u

C

 

90

o

 

0

o 

+i

- i

X

C

 

Z

C

 = X

C

 = (i 

ωC)

- 1 

 
 
 
W reprezentacji liczb zespolonych reaktancja pojemnościowa jest wielkością 

urojoną skierowaną w kierunku – i . 

11. Przyjąć skalę reaktancji w 

Ω i narysować wykresy wskazowe zmierzonych 

wartości reaktancji pojemnościowej dla 4 wybranych  wartości częstotliwości: 

 

 
 
 
 

 

 

-iX

C

(

ω

1

) 

-iX

C

(

ω

4

) 

-iX

C

(

ω

3

)

-iX

C

(

ω

2

) 

ω

1

< ω

2

 

< ω

3

 

< ω

4

 

1k

Ω

 
 
 
 
 
 

 
 

3. Związek prądu i napięć w szeregowym połączeniu RC : zależność od 

częstotliwości. 

 

Zadania do wykonania: 

1. Zmierzyć R oraz C wskazanych przez prowadzącego multimetrem i zapisać 

wyniki. 

2.Zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku 

nr.9. Jako R i C użyć elementów z punktu1. 

R

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Kanał1 oscyloskopu

Kanał2 oscyloskopu 

u

C

(

ω)

u

R

(f) 

R

C

mA 
f [Hz] 

f 

u

gS

 

u

g

= A

u

sin(

ωt) 

i

C

=A

i

sin(

ωt+ϕ)

C 

f 

u

C

 

u

R

i

C

f 

u

g

 

 

 
 

Rys.9. Schematy: montażowy i ideowy układu do pomiaru prądu i napięć 
w szeregowym układzie RC.  

3. Po sprawdzeniu poprawności połączeń włączyć generator, oscylograf oraz 
miliamperomierz (z częstościomierzem) do sieci. 
4. Pokrętłem amplitudy sygnału wyjściowego ustawić amplitudę u

g

 na kilka 

woltów (mierzone na woltomierzu generatora). Zmieniając częstotliwość 
zaobserwować napięcia u

R

 

, u

C

 , i

C

 oraz przesunięcie fazowe pomiędzy u

R

=i

C

R 

oraz ocenić wpływ zmiany częstotliwości na te wielkości. 

5. Ustawić częstotliwość sygnału wymuszającego generatora na około 40Hz. 
Zmierzyć u

g

, u

R

, u

C 

oraz i

C

.  

6. Powtórzyć pomiary z punktu 5 dla około 12 częstotliwości, z przedziału 40Hz 
do około 10kHz, rozłożonych równomiernie ale  skali logarytmicznej. 
7. Na podstawie zebranych wyników obliczyć: 

a) zależność 

ϕ = arctg(u

C

 / u

R

) od częstości kołowej 

ω 

b) zależność :

C

R

Z

2

2

2

RC

1

ω

+

=

  od częstości kołowej. 

7.1. Wykonać wykresy modułu impedancji RC od log

ω, oraz ϕ =ϕ(logω). 

8. Sprawdzić czy spełniona jest relacja   u

g

2

 = u

R

2

 + u

C

2

 dla przynajmniej 4 

wybranych częstotliwości. 

9. Przyjąć skale: natężenia prądu, napięcia i narysować wykresy wskazowe i

C

, 

u

R

, u

C 

dla 2 wybranych częstotliwości: 

5mA 

2 V

 

i

C

 

u

C 

u

g 

ω

1

=...Hz 

u

R

= i

C

R 

 
 

ω

2

=...Hz 

 
 
 
 
10. Przyjąć skalę oporu w omach i wykonać wykres wskazowy modułu 
impedancji 

|Z

RC

| połączenia szeregowego RC dla 3 wybranych częstotliwości 

według następującego wzoru:   
 
 
 
 
 

 

C 

R

 

 
 
 
 
 
 

 

+i 

- i 

Z

1 

Z

2 

Z

3 

ϕ

3 

ϕ

1 

ϕ

2 

R 

[

Ω] 

oś rzeczywista 

X

C

(

ω

1

) 

 
 
 
X

C

(

ω

2

) 

 
 
 
X

C

(

ω

3

) 

Impedancja zespolona: 
Z(

ω) = R – iX

C

 = R – i (

ωC)

 – 1

 

R – część rzeczywista impedancji 
zespolonej połączenia szeregowego RC 
-i X

C

 – część urojona (przesunięta w 

fazie o – 90

o

 względem R) impedancji 

zespolonej połączenia szeregowego RC. 
 

 
 
 
 

 

[Ω

] o

ś 

uro

jona 

i = ( - 1)

 ½

 , jednostka urojona