KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 9
Repetytorium
Zad. 9.1
Dla dźwigara załamanego w planie wyznaczyć kąt obrotu węzła (1) przyjmując 4
s
GI
EI
=
.
Rys. 9.1.1
Wykresy M i
s
M od obciążenia zewnętrznego
Rys. 9.1.2
Wykresy M i
s
M od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 9.1.3
Obliczenie kąta obrotu:
M
s
ϕ ϕ
ϕ
=
+
2
1
1
2 1
2
2 2
3 2
6
M
l
MM
Pl
ds
l
EI
EI
EI
ϕ
=
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ =
∫
Pl
2
2
1
1
4
s
s
s
s
s
s
l
M M
Pl
Pl
ds
P l l
GI
GI
GI
EI
ϕ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
∫
2
2
1 1
5
4 6
12
Pl
Pl
EI
EI
ϕ
⎛
⎞
=
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
C16-2005-cw09
76
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.2
Obliczyć wartość siły S we wskazanym pręcie kratownicy przy ogrzaniu zaznaczonych prętów
o wielkość . Dane:
o
t
,
,
t
EA l
α
.
Rys. 9.2.1
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
2
3 8 2 5
n
r
p
w
1
= + −
= + − ⋅ =
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.2.2
Siły w prętach układu podstawowego wywołane stanem
1
1
X
=
Rys. 9.2.3
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
8
10
1
0
0
0
1
2
2
2
i
i
t
i
t
t
i
S
t
l
t
l
t l
δ
α
α
α
=
⎛
⎞
=
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
2
- wywołane nadliczbową
1
1
X
=
(
8
1
1
11
1
1
1
2
4
2 1
2
1
2
i
i
i
i
i
S S
l
l
l
l
EA
EA
EA
δ
=
⎛
⎞
=
=
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
)
2
Z równania zgodności przemieszczeń:
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
(
)
10
0
1
0
11
2
2
1
2
2
1
2
t
t
t l
S
X
t EA
l
EA
δ
α
α
δ
⎛
⎞
=
= −
=
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
+
C16-2005-cw09
77
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.3
Stosując metodę sił sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 9.3.1
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
1
n
=
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.3.2
Stan
1
1
X
=
Rys. 9.3.3
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
10
1
δ
ϕ
= − ⋅
- wywołane nadliczbową
:
1
1
X
=
1
1
11
1 1
2
1
1
2
3
3
L
M M
l
ds
l
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
Równanie zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
10
1
11
3EI
X
l
δ
ϕ
δ
= −
=
Rozwiązanie:
Rys. 9.3.4
C16-2005-cw09
78
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.4
Rozwiązać układ metodą sił i metodą przemieszczeń.
Rys. 9.4.1
M
ETODA SIŁ
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
1
n
=
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.4.2
Zakładamy, że obciążenie zewnętrzne (moment skupiony) działa po lewej stronie przegubu.
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 9.4.3
Stan
1
1
X
=
Rys. 9.4.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
0
1
10
1
1
2
14
14 6
1
2
2
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫
=
- wywołane nadliczbową
:
1
1
X
=
1
1
11
1
1
2
1 1
2
7
6 1
1
4 1
1
2
2
3
2
3
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
10
1
11
6 [
]
X
kNm
δ
δ
= −
= −
C16-2005-cw09
79
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rozwiązanie:
Rys. 9.4.5
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciążeń przęsłowych)
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu
1
ϕ
= :
Rys. 9.4.6
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
1
;
0,75
A
B
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
=
=
Równanie równowagi :
Rys. 9.4.7
1
1
1
14 0
A
B
M
M
M
Σ
=
+
+
=
Stąd:
8
1,75
14 0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Wartości momentów przywęzłowych:
1
1
8 [
]
6 [
]
A
B
M
kNm
M
kNm
= −
= −
Rozwiązanie:
Rys. 9.4.8
C16-2005-cw09
80
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.5
Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
2
5
1
40000
;
20
0, 2 ;
10
deg
o
A B
d
g
t
EI
kNm
t
t
t
C
h
m
α
−
−
−
⎡
⎤
⎡
=
∆
= − =
=
=
⎣
⎦
⎣
⎤⎦
Rys. 9.5.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 9.5.2
Moment wyjściowy:
5
0
3
10
20
6000
60 [
]
2
0, 2
t
BA
t
M
EI
kNm
h
α
−
∆
⋅
=
=
⋅
=
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem
1
ϕ
= :
Rys. 9.5.3
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
60 0,6
;
BA
BC
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
=
+
⋅
=
Równanie równowagi :
0
B
BA
BC
M
M
M
Σ
=
+
=
Stąd:
37,5
60 1,6
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Wartości momentów przywęzłowych:
60 22,5 37,5 [
]
37,5 [
]
BA
BC
M
kNm
M
kNm
=
−
=
= −
Rozwiązanie:
Rys. 9.5.4
C16-2005-cw09
81
Document Outline