KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 12

Zad. 12.1
Obliczyć kąt obrotu

ϕ

Rys. 12.1.1

Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego

p

L

M

M

ds

EI

ϕ

⋅

=

∫

(12.1)

Rozwiązanie

p

M - stan obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym metody sił:

Rys. 12.1.2

Rozwiązanie M - jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym – stosujemy
metodę sił

Rys. 12.1.3

10

11

1

2

,

0

3

3

l

l

X

EI

EI

δ

δ

= −

=

⇒

=

−

,5 [ ]

Rys. 12.1.4

2

3

1 2

3

8 4

48

p

L

M

M

ql

l

ql

ds

l

EI

EI

EI

ϕ

⋅

=

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

∫

C16-2005-cw12

94

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Inny układ podstawowy (ze stanem obciążenia zewnętrznego):

Rys. 12.1.5

2

2

3

1

1

1

3 1 1

2

1

1

1

3

2

4 2 2

2

3

2

16 12

48

p

L

M

M

ql

ql

ql

ql

ds

l

l

EI

EI

EI

EI

ϕ

⋅

⎡

⎤

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

=

=

⋅

⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ −

=

−

+

=

⎢

⎥

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎣

⎦

∫

3

Zad. 12.2
Obliczyć kąt obrotu

ϕ

Rys. 12.2.1

Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego

p

L

M M

ds

EI

ϕ

⋅

=

∫

(12.2)

Jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie podstawowym metody sił – wg rysunku:

Rys. 12.2.2

Obciążenie zewnętrzne w układzie niewyznaczalnym – rozwiązanie metodą przemieszczeń

(

1

g

n

)

=

Rys. 12.2.3

C16-2005-cw12

95

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Momenty wyjściowe:

2

0

1

0

1

0

1

0

1

3 4

4 [

]

12

4 [

]

3

16 3

9 [

]

16

1

8

4 [

]

2

A

A

B

C

M

k

M

kNm

Nm

M

kNm

M

kN

⋅

= −

= −

=

= −

⋅ ⋅ = −

= − ⋅ = −

m

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

Rys. 12.2.4

1

1

1

1

4

4 2

9
4 1,5

A

A

B

C

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= − +
= +
= − +
= − +

Równanie równowagi:

1

1

1

1

0

2

9 4,5

0

A

B

C

M

M

M

M

EI

EI

ϕ

ϕ

Σ

=

+

+

=

− +

=

⇒

=

Wartości momentów przywęzłowych

1

1

1

1

4 2

2 [

]

4 4 8 [

]

9 2

7 [

]

4 3

1[

]

A

A

B

C

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

kNm

= − + = −
= + =
= − + = −
= − + = −

Potrzebny jest jedynie fragment wykresu M na odcinku 1 B

−

Rys. 12.2.4

( )

1

1

1 1

1

5,5

3 12

3

7

1

0,0055 [

] 18'55"

2

2 2

3

1000

p

L

M

M

ds

rad

EI

EI

ϕ

⋅

⎡

⎤

=

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

=

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

C16-2005-cw12

96

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 12.3 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć kąt obrotu

A

ϕ

wywołany równomiernym ogrzaniem elementu B-1 o wielkość

5

0

1

24

,

10

o

t

o

t

C

C

α

−

=

=

Rys. 12.3.1

Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:

0

A

L

L

M M

ds

N

t ds

EI

ϕ

⋅

=

+

∫

∫

t

α

(12.3)

Przy zastosowaniu I twierdzenia redukcyjnego dostajemy

0

0

(

p

A

t

t

L

L

L

M

M

ds

N t ds

N

t ds

M

EI

ϕ

α

α

⋅

=

+

=

∫

∫

∫

0)

p

= (12.4)

Należy rozwiązać układ wyjściowy (niewyznaczalny) z obciążeniem wirtualnym – potrzebna jest
jedynie siła normalna

1B

N

Metoda przemieszczeń (

1)

g

n

=

Rys. 12.3.2

Momenty wyjściowe:

0

1

0,5 [ ]

A

M

=

−

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

1

1

0,5

0,5

A

B

C

C

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ
ϕ

ϕ

=

+

=
=
=

Równanie równowagi:

1

1

1

1

0

1

0,5 3

0

6

A

B

C

M

M

M

M

EI

EI

ϕ

ϕ

Σ

=

+

+

=

+

=

⇒

= −

C16-2005-cw12

97

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Wartości momentów przywęzłowych

1

1

1

1

1 1

1

[ ]

2 6

3

1

[ ]

6
1

[ ]

6

1

[ ]

12

A

B

C

C

M

M

M

M

= − =

−

= −

−

= −

−

= −

−

Rozwiązanie:

Rys. 12.3.3

1

4

1

73

1

0,5069

9 16

144

B

N

m

⎛

⎞

⎡

= −

+

= −

= −

⎜

⎟

⎤

⎢ ⎥

⎝

⎠

⎣ ⎦

5

3

0

10

24 ( 0,5069) 6

7,3 10 [

]

25'05"

t

L

N t ds

rad

ϕ

α

−

−

=

=

⋅

⋅ −

⋅ = −

⋅

= −

∫

Zad. 12.4
Obliczyć przemieszczenie

δ układu ramowego wywołane wymuszeniem kinematycznym -

przemieszczeniem podpory

5 [

]

B

cm

∆ =

Rys. 12.4.1

i

L

M M

ds

R

EI

δ

⋅

=

− ∑

∫

i

⋅ ∆

(12.5)

C16-2005-cw12

98

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Stosując II twierdzenie redukcyjne – obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił,
obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Wzór zapisujemy w postaci:

(

i

i

p

R

M

M

δ

∆

= − ∑ ⋅ ∆

=

= 0)

(12.6)

Rozwiązanie dla obciążenia wirtualnego w układzie niewyznaczalnym (należy obliczyć jedynie
reakcję

B

H ).

Rys. 12.4.2

10

11

1

1 1

2

1

1

6

3 3

1

3 4 1

2

3

2

2

1

1

2

1

4

2

3 1

1

1 4 1

2

3

2

1,5 [ ]

EI

EI

EI

EI

EI

EI

X

m

δ

δ

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ =

= −

Reakcja

B

H (z superpozycji)

1

0

( 1,5)

0,5 [ ]

3

B

H

= + ⋅ −

= −

−

Przemieszczenie:

5 ( 0,5) 2,5 [

]

cm

δ

= − ⋅ −

=

Zad. 12.5
Dla kratownicy jak na rys. obliczyć przemieszczenie .

.

EA

const

δ

=

Rys. 12.5.1

C16-2005-cw12

99

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Wykorzystując II twierdzenie redukcyjne można zapisać

( )

i

i

p

i

i

S

S

l

EA

δ

= ∑

(12.7)

( )

i

p

S

− siły w prętach w układzie podstawowym metody sił, obciążenie zewnętrzne

i

S

− siły w prętach w układzie niewyznaczalny, obciążenie wirtualne

Obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił:

Rys. 12.5.2

Niezerowe są jedynie pręty 1, 3, 4 i 5

Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym:

Rys. 12.5.3

0

1

10

1

1

11

1

1

2

2

1

1

2 2 1

2

2 2

2

2

2

2

2

1

2

2

1 1

6 2

2

2

2 2

2 3 1 1

2

2

2

2 2

2

2 2 1

0,1181

6 2 7

i

i

i

i

i

i

i

i

S S

a

l

a

a

EA

EA

EA

S S

a

l

a

a

a

a

EA

EA

EA

X

δ

δ

⎡

⎤

−

⎛

⎞

= ∑

=

⋅

⋅

⋅

+ ⋅ ⋅ −

⋅

=

⎢

⎥

⎜

⎟

⎝

⎠

⎣

⎦

⎡

⎤

7

+

= ∑

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

−

= −

≈ −

+

Rozwiązanie uzyskujemy z superpozycji:

0

1

1

1

2

3

4

5

0,6236

0

0,6236

0,5591

i

i

i

S

S

S

X

S

S

S

S

S

=

+

⋅

= −

=

=

=

= −

C16-2005-cw12

100

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Szukane przemieszczenie:

( )

(

)

1

2

0,5591

0,5591

2

i

i

p

i

i

S

S

P

P

l

a

EA

EA

EA

δ

= ∑

=

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ = −

a

Zad. 12.6
Obliczyć przemieszczenie

δ

powstałe pod wpływem nierównomiernego ogrzania całego układu

5

1

32

0, 4 [ ]

10

deg

o

d

g

t

t

t

t

C

h

m

const

EI

const

α

−

−

∆ = − =

=

=

⎡

⎤

=

⎣

⎦

=

Rys. 12.6.1

Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:

t

L

L

t

MM

M

ds

ds

h

EI

α

δ

∆

=

+

∫

∫

(12.8)

Stosując I twierdzenie redukcyjne mamy:

p

t

L

L

L

M M

t

t

t

M

ds

ds

M

ds

h

EI

h

α

δ

∆

=

+

=

∫

∫

∫

α

∆

)

(12.9)

gdyż

0 (wpływ temperatury w układzie podstawowym metody sił)

p

M

=

Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Metoda sił (

1

s

n

=

Rys. 12.6.2

C16-2005-cw12

101

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rys. 12.6.3

10

11

10

1

11

1 1

2

2 2 1

2

1

1

2

8

1 1

1 2 1 1

2

3

3

3
4

EI

EI

EI

EI

X

δ

δ

δ

δ

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⎡

⎤

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⎢

⎥

⎣

⎦

= −

= −

1

3

1

3

1

5

2

2

2

2

4

2

4

2

4

L

Mds

⎛

⎞

⎛

⎞

= ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ = −

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

1
4

Szukane przemieszczenie:

5

4

10

32

1

2 10 [ ]

0,02 [

]

0, 4

4

t

L

t

M

ds

m

cm

h

α

δ

−

−

∆

⋅

⎛

⎞

=

=

⋅ −

= − ⋅

= −

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

C16-2005-cw12

102