KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 5
Zad. 5.1
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. EI=const.
Rys. 5.1.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny (n=1).
Poprzez usunięcie jednej z więzi podporowych tworzymy układ statycznie wyznaczalny – tzw.
układ podstawowy metody sił. Siła będąca odpowiednikiem reakcji z usuniętej podpory jest tzw.
nadliczbową
1
X
.
Rys. 5.1.2
W układzie podstawowym rozpatrujemy dwa niezależne stany:
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.1.3
C16-2005-cw05
36
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan
1
1
X
=
Rys. 5.1.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie poziome w p. B wywołane obciążeniem zewnętrznym
( )
( )
2
2
1
10
1 2
5
1
2
3
3 2
8
2 2
3
8
o
L
M M
ql
ql
ql
ds
l
l
l
l
EI
EI
EI
δ
⎡
⎤
=
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −
= −
⎢
⎣
⎦
∫
4
⎥
- przemieszczenie poziome w p. B wywołane nadliczbową
1
1
X
=
( )
( )
3
1
1
10
1
1
2
2
2
2
3
3
L
M M
l
ds
l
l
l
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − =
∫
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
1
9
16
X
ql
=
Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej:
Rys. 5.1.5
Zad. 5.2
Powyższe zadanie można rozwiązać przyjmując w inny sposób układ podstawowy – wprowadzając
w p.1 przegub wewnętrzny. Nadliczbową
1
X
stają się w tym przypadku moment zginający w p. 1,
w układzie podstawowym przedstawiony w postaci dwóch momentów skupionych.
Układ podstawowy
Rys. 5.2.1
C16-2005-cw05
37
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.2.2
Stan
1
1
X
=
Rys. 5.2.3
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana obciążeniem zewnętrznym
3
1
10
24
o
L
M M
ql
ds
EI
EI
δ
=
=
∫
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana nadliczbową
1
1
X
=
:
1
1
10
2
3
L
M M
l
ds
EI
EI
δ
=
=
∫
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
2
1
16
ql
X
= −
Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej
Rys. 5.2.4
Jest to identyczny układ sił, jak w poprzednim wariancie rozwiązania.
C16-2005-cw05
38
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 5.3
Obliczyć siły w prętach kratownicy (pręty ukośne – mijające się)
Rys. 5.3.1
Numeracja prętów:
Rys. 5.3.2
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
2
3 6 8
n
r
p
w
1
= + −
= + − =
Układ podstawowy metody sił tworzymy poprzez „rozcięcie” pręta nr 1, nadliczbową jest siła
1
S
Rys. 5.3.3
C16-2005-cw05
39
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 5.3.4
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem
1
1
X
=
:
Rys. 5.3.5
Obliczenie przemieszczeń przy pomocy tabelki:
Rys. 5.3.6
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
6
1
10
1
3
oi
i
i
i
i
S S
Pl
l
EA
EA
δ
=
=
=
∑
- wywołane nadliczbową
1
1
X
=
6
1
1
11
1
8
i
i
i
i
i
S S
l
l
EA
EA
δ
=
=
=
∑
C16-2005-cw05
40
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
1
3
8
X
P
= −
Rozwiązanie:
Rys. 5.3.7
Inny sposób:
0
1
i
i
i
S
S
S
X
=
+
⋅
1
Rys. 5.3.8
C16-2005-cw05
41
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 5.4
Wyznaczyć funkcję i narysować wykres momentów zginających w łuku kołowym poddanym
nierównomiernemu ogrzaniu.
Rys. 5.4.1
Dane :
5
1
2
40
10 [deg ]
0, 2 [ ]
2 [ ]
(2000 ) [
]
o
d
g
t
t
t
t
C
h
m
r
m
EI
kNm
α
π
−
−
∆ = − =
=
=
=
=
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił (na rysunku podana numeracja prętów):
Rys. 5.4.2
Momenty zginające wywołane działaniem nadliczbowej
1
1
X
=
1
( ) 1
sin
M
x
r
ϕ
ϕ
= ⋅ = ⋅
Rys. 5.4.3
C16-2005-cw05
42
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane przyrostem temperatury
2
2
2
2
10
1
1
0
0
( )
sin
t
t
t
t
L
t
t
t
t
M
ds
M
rd
r
d
r
h
h
h
h
π
π
α
α
α
α
δ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅ ∆
⋅ ∆
⋅ ∆
⋅ ∆
=
⋅
=
⋅
=
=
∫
∫
∫
ϕ
=
5
2
10
40
2
0,008 [
0, 2
m
−
⋅
=
⋅
=
]
- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane działaniem nadliczbowej
1
1
X
=
[
]
2
0
3
3
2
2
2
2
1
1
11
1
0
0
3
3
1
1
( )
sin
sin 2
|
2
4
2
0,001
4
4 2000
L
M M
r
r
ds
M
rd
d
EI
EI
EI
EI
r
m
EI
kN
π
π
π
δ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
π
π
π
⎡
⎤
=
=
⋅
=
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
⋅
⎡
⎤
=
=
=
⎢
⎥
⋅
⋅
⎣
⎦
∫
∫
∫
1
ϕ
=
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
1
8 [
]
X
kN
= −
Rozwiązanie:
Rys. 5.4.4
( )
8
16 sin [
]
M
x
kNm
ϕ
ϕ
= − ⋅ = − ⋅
C16-2005-cw05
43
Document Outline