KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 5

Zad. 5.1
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. EI=const.

Rys. 5.1.1

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny (n=1).
Poprzez usunięcie jednej z więzi podporowych tworzymy układ statycznie wyznaczalny – tzw.
układ podstawowy metody sił. Siła będąca odpowiednikiem reakcji z usuniętej podpory jest tzw.
nadliczbową

1

X

.

Rys. 5.1.2

W układzie podstawowym rozpatrujemy dwa niezależne stany:
Stan obciążenia zewnętrznego

Rys. 5.1.3

C16-2005-cw05

36

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Stan

1

1

X

=

Rys. 5.1.4

Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie poziome w p. B wywołane obciążeniem zewnętrznym

( )

( )

2

2

1

10

1 2

5

1

2

3

3 2

8

2 2

3

8

o

L

M M

ql

ql

ql

ds

l

l

l

l

EI

EI

EI

δ

⎡

⎤

=

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

= −

⎢

⎣

⎦

∫

4

⎥

- przemieszczenie poziome w p. B wywołane nadliczbową

1

1

X

=

( )

( )

3

1

1

10

1

1

2

2

2

2

3

3

L

M M

l

ds

l

l

l

EI

EI

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − =

∫

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

9

16

X

ql

=

Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej:

Rys. 5.1.5

Zad. 5.2
Powyższe zadanie można rozwiązać przyjmując w inny sposób układ podstawowy – wprowadzając
w p.1 przegub wewnętrzny. Nadliczbową

1

X

stają się w tym przypadku moment zginający w p. 1,

w układzie podstawowym przedstawiony w postaci dwóch momentów skupionych.

Układ podstawowy

Rys. 5.2.1

C16-2005-cw05

37

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Stan obciążenia zewnętrznego

Rys. 5.2.2

Stan

1

1

X

=

Rys. 5.2.3

Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana obciążeniem zewnętrznym

3

1

10

24

o

L

M M

ql

ds

EI

EI

δ

=

=

∫

- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana nadliczbową

1

1

X

=

:

1

1

10

2
3

L

M M

l

ds

EI

EI

δ

=

=

∫

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

2

1

16

ql

X

= −

Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej

Rys. 5.2.4

Jest to identyczny układ sił, jak w poprzednim wariancie rozwiązania.

C16-2005-cw05

38

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 5.3

Obliczyć siły w prętach kratownicy (pręty ukośne – mijające się)

Rys. 5.3.1

Numeracja prętów:

Rys. 5.3.2

Stopień statycznej niewyznaczalności układu

2

3 6 8

n

r

p

w

1

= + −

= + − =

Układ podstawowy metody sił tworzymy poprzez „rozcięcie” pręta nr 1, nadliczbową jest siła

1

S

Rys. 5.3.3

C16-2005-cw05

39

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym:

Rys. 5.3.4

Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem

1

1

X

=

:

Rys. 5.3.5

Obliczenie przemieszczeń przy pomocy tabelki:

Rys. 5.3.6

Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym

6

1

10

1

3

oi

i

i

i

i

S S

Pl

l

EA

EA

δ

=

=

=

∑

- wywołane nadliczbową

1

1

X

=

6

1

1

11

1

8

i

i

i

i

i

S S

l

l

EA

EA

δ

=

=

=

∑

C16-2005-cw05

40

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

3
8

X

P

= −

Rozwiązanie:

Rys. 5.3.7

Inny sposób:

0

1

i

i

i

S

S

S

X

=

+

⋅

1

Rys. 5.3.8

C16-2005-cw05

41

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 5.4

Wyznaczyć funkcję i narysować wykres momentów zginających w łuku kołowym poddanym
nierównomiernemu ogrzaniu.

Rys. 5.4.1

Dane :

5

1

2

40

10 [deg ]

0, 2 [ ]

2 [ ]

(2000 ) [

]

o

d

g

t

t

t

t

C

h

m

r

m

EI

kNm

α

π

−

−

∆ = − =

=

=

=

=

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Układ podstawowy metody sił (na rysunku podana numeracja prętów):

Rys. 5.4.2

Momenty zginające wywołane działaniem nadliczbowej

1

1

X

=

1

( ) 1

sin

M

x

r

ϕ

ϕ

= ⋅ = ⋅

Rys. 5.4.3

C16-2005-cw05

42

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Przemieszczenia w układzie podstawowym:

- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane przyrostem temperatury

2

2

2

2

10

1

1

0

0

( )

sin

t

t

t

t

L

t

t

t

t

M

ds

M

rd

r

d

r

h

h

h

h

π

π

α

α

α

α

δ

ϕ

ϕ

ϕ

⋅ ∆

⋅ ∆

⋅ ∆

⋅ ∆

=

⋅

=

⋅

=

=

∫

∫

∫

ϕ

=

5

2

10

40

2

0,008 [

0, 2

m

−

⋅

=

⋅

=

]

- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane działaniem nadliczbowej

1

1

X

=

[

]

2

0

3

3

2

2

2

2

1

1

11

1

0

0

3

3

1

1

( )

sin

sin 2

|

2

4

2

0,001

4

4 2000

L

M M

r

r

ds

M

rd

d

EI

EI

EI

EI

r

m

EI

kN

π

π

π

δ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

π

π

π

⎡

⎤

=

=

⋅

=

=

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⋅

⎡

⎤

=

=

=

⎢

⎥

⋅

⋅

⎣

⎦

∫

∫

∫

1

ϕ

=

Z równania zgodności przemieszczeń

1

10

11

1

0

X

δ

δ

δ

=

+

=

otrzymujemy

1

8 [

]

X

kN

= −

Rozwiązanie:

Rys. 5.4.4

( )

8

16 sin [

]

M

x

kNm

ϕ

ϕ

= − ⋅ = − ⋅

C16-2005-cw05

43