Zestaw VIII – granice funkcji

- BUDOWNICTWO I -

1

Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać

samemu w domu.

Zadanie 1.

Oblicz następujące granice:

(a) lim

x→0

(

x

2

−2x+1

x−2

+ 1)

(b) lim

x→9

6−2

√

x

x−9

(c) lim

x→5

x

2

−25

x

2

−8x+15

(d) lim

x→1

√

x+3−2
x

3

−1

(e)

lim

x→−1

x

2

+2x+1

x

2

+x

(f )

lim

x→−1

x

3

+x

2

+3x+3

x

2

−2x−3

(g) lim

x→0

√

x+1−1

x

(h) lim

x→3

2

√

x+1−

√

x+13

x

2

−9

(i) lim

x→0

x+1−

√

1−2x−x

2

2x

(j) lim

x→1

(

1

1−x

−

3

1−x

3

)

(k) lim

x→0

√

2x+9−3

1−

√

1−3x

(l)

lim

x→−1

−x−1

1−

√

−x

Zadanie 2.

Oblicz następujące granice:

(a) lim

x→0

sin 4x

x

(b) lim

x→0

sin 7x
sin 5x

(c) lim

x→0

2x

tg 3x

(d) lim

x→0

sin 7x+sin 3x

sin 5x−4x

(e) lim

x→0

4x · ctg 7x

(f ) lim

x→0

sin

2

2x

8x

2

(g) lim

x→0

1−cos x

x

2

(h) lim

x→0

cos 2x−cos x

2x

2

(i) lim

x→4

x

2

−3x−4

sin(x−4)

(j) lim

x→0

√

x+4−2

sin 3x

(k) lim

x→0

√

2−

√

1+cos x

sin

2

x

(l) lim

x→0

√

1+sin x−

√

1−sin x

tg x

Zadanie 3.

Oblicz następujące granice:

(a)

lim

x→−∞

(−4x

3

+ 5x

2

−

6

x

2

+

7

x

3

)

(b) lim

x→∞

4x

√

x

2

+7

9x

2

−13

(c)

lim

x→−∞

4x

√

x

2

+7

9x

2

−13

(d)

lim

x→−∞

(

√

x

2

+ 2x −

√

x

2

− 4x)

(e)

lim

x→−∞

(

x

2

x+2

−

x

3

x

2

+1

)

(f ) lim

x→∞

√

2x(

√

x + 3 −

√

x)

(g) lim

x→∞

10

√

x2 +2x+3

10

√

x2 +1

Zadanie 4.

Oblicz następujące granice:

(a) lim

x→∞

x

2

2x

3

−7

cos(3x

2

) (b) lim

x→∞

sin x

x

(c) lim

x→∞

arctg x

x

2

+1

Zadanie 5.

Oblicz następujące granice:

(a) lim

x→∞

4

x+2

+5·3

x

+2

x

−5·2

2x

+3

x−2

+1

(b)

lim

x→−∞

(7

x

+ 6

x

+ 5

x

− 4

x

+ (

1
2

)

x

) (c) lim

x→∞

3

x+2

+4

x

6

x

−3

x

(d) lim

x→∞

e

x

+e

−x

e

x

−e

−x

Zadanie 6.

Oblicz następujące granice:

(a) lim

x→∞

(

2x+1
2x−5

)

4x

(b) lim

x→∞

(

3x−4
3x+2

)

x+1

3

(c) lim

x→∞

(

x+1
x−2

)

2x−1

(d)

lim

x→−∞

(

x

2

+2

x

2

−3

)

x2

3

(e) lim

x→∞

x

2

(ln

x+1

x

+ ln

2x+3

2x

)

(f ) lim

x→∞

x

2

3

ln

2x

2x+1

Zadanie 7.

Oblicz następujące granice:

(a)

lim

x→−∞

cos(arctg x)

(b) lim

x→∞

sin(arctg x)

(c) lim

x→∞

log

2

|

x+1

x

2

+2

|

(d) lim

x→∞

arcsin

1−x
x+1

(e) lim

x→∞

(x+2)arctg x

x

(f ) lim

x→∞

ln(sin(arctg x))

(g) lim

x→∞

e

sin(arcctg (

2+x
2−x

)

(h) lim

x→∞

ln(sin(arcctg

1

x

))

Zadanie 8.

Określ wartość wyrażeń: (a)

2

0

+

(b)

3

0

−

(c)

−4

0

+

(d)

−5
0

−

Zadanie 9.

Oblicz granice jednostronne w podanych punktach:

(a) f (x) =

x−7

9−x

2

, x

0

= 3

(b) f (x) = e

1

x

, x

0

= 0

(c) f (x) =

1

1−π

1

x

, x

0

= 0

(d) f (x) = arctg

1

1−x

, x

0

= 1

(e) f (x) = 2

1

(x−1)2

, x

0

= 1

(f ) f (x) = (

1
2

)

1

x

, x

0

= 0

(g) f (x) =

3

−1

x+1

−1

3

−1

x+1

+1

, x

0

= −1

(h) f (x) =

x

1+e

1

x

, x

0

= 0

Zadanie 10.

Zbadaj, czy istnieje granica:

(a) lim

x→2

sin(2x−4)

|x−2|

(b) lim

x→0

tg |2x|

3x

(c) lim

x→0

|x|

| sin x|(x+3)

(d) lim

x→3

(3−x)

3

|x−3|

Zestaw VIII – granice funkcji

- BUDOWNICTWO I -

2

Zadanie 11.

Zbadaj ciągłość funkcji:

(a) f (x) =































5

x < −2

(

1
2

)

x

+ 1

−2 ≤ x ≤ 0

log

0.5

(x +

1
2

)

0 < x ≤ 1.5

−2

2x−3

x > 1.5

(b) f (x) =







1 + arctg x

x ≤ 0

ln x

x > 0

(c) f (x) =







arcctg (ln x)

x > 0

x − π

x ≤ 0

(d) f (x) =



















2

x

−1 ≤ x ≤ 0

−x + 1

0 < x ≤ 1

log x

1 < x ≤ 2

(e) f (x) =











































x

2

−x−2

x+1

x < −1

−3

x = −1

πtg (x−1)

x

2

−1

−1 < x < 1

π

2

x = 1

arctg

1

x−1

x > 1

Zadanie 12.

Wyznacz wartości parametrów, tak aby funcje były ciągłe:

(a) f (x) =







(x − a)

2

x < 1

2

x

− 1

x ≥ 1

(b) f (x) =







x

3

−1

1−x

x 6= 1

6k

2

− k − 5

x = 1

(c) f (x) =



















2x + cos a

x < 1

b

2

x = 1

3 ln x + 3

3

√

x

x > 1

(d) f (x) =



















arctg (

sin |x|

√

3x

)

x < 0

π

2

(1 −

√

a

2

− 1)

x = 0

1

π

e

x−1

x2

− b

x > 0

Większość zadań pochodzi ze skryptu ”Matematyka – podstawy z elementami matematyki wyższej", Wydawnictwo

PG, 2009.