- BUDOWNICTWO I -
1
Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać samemu w domu.
Zadanie 1. Oblicz następujące granice:
√
√
(a) lim ( x2−2x+1 + 1)
(b) lim 6−2 x
(c) lim
x2−25
(d) lim
x+3−2
x→0
x−2
x→9
x−9
x→5 x2−8x+15
x→1
x3−1
√
√
√
(e)
lim x2+2x+1
(f )
lim x3+x2+3x+3
(g) lim
x+1−1
(h) lim 2 x+1− x+13
x→−1
x2+x
x→−1
x2−2x−3
x→0
x
x→3
x2−9
√
√
(i) lim x+1− 1−2x−x2
(j) lim ( 1 −
3
)
(k) lim
2x+9−3
√
(l)
lim
−x−1
√
x→0
2x
x→1 1−x
1−x3
x→0 1−
1−3x
x→−1 1−
−x
Zadanie 2. Oblicz następujące granice: (a) lim sin 4x
(b) lim sin 7x
(c) lim
2x
(d) lim sin 7x+sin 3x
x→0
x
x→0 sin 5x
x→0 tg 3x
x→0
sin 5x−4x
(e) lim 4x · ctg 7x
(f ) lim sin2 2x
(g) lim 1−cos x
(h) lim cos 2x−cos x
x→0
x→0
8x2
x→0
x2
x→0
2x2
√
√
√
√
√
(i) lim x2−3x−4
(j) lim
x+4−2
(k) lim
2−
1+cos x
(l) lim
1+sin x−
1−sin x
x→4 sin(x−4)
x→0
sin 3x
x→0
sin2 x
x→0
tg x
Zadanie 3. Oblicz następujące granice:
√
√
√
√
(a)
lim (−4x3 + 5x2 − 6 + 7 ) (b) lim 4x x2+7
(c)
lim
4x
x2+7
(d)
lim ( x2 + 2x −
x2 − 4x)
x→−∞
x2
x3
x→∞
9x2−13
x→−∞
9x2−13
x→−∞
√
√
√
√
x2 +2x+3
(e)
lim ( x2 − x3 )
(f ) lim
2x( x + 3 −
x)
(g) lim 10 √
x→−∞ x+2
x2+1
x→∞
x→∞
10
x2 +1
Zadanie 4. Oblicz następujące granice: (a) lim
x2
cos(3x2) (b) lim sin x (c) lim arctg x x→∞ 2x3−7
x→∞
x
x→∞ x2+1
Zadanie 5. Oblicz następujące granice: (a) lim
4x+2+5·3x+2x
(b)
lim (7x + 6x + 5x − 4x + ( 1 )x) (c) lim 3x+2+4x (d) lim ex+e−x x→∞ −5·22x+3x−2+1
x→−∞
2
x→∞
6x−3x
x→∞ ex−e−x
Zadanie 6. Oblicz następujące granice: x+1
(a) lim ( 2x+1 )4x
(b) lim ( 3x−4 ) 3
(c) lim ( x+1 )2x−1
x→∞ 2x−5
x→∞ 3x+2
x→∞ x−2
x2
(d)
lim ( x2+2 )
x2
3
(e) lim x2(ln x+1 + ln 2x+3 ) (f ) lim
ln 2x
x→−∞ x2−3
x→∞
x
2x
x→∞ 3
2x+1
Zadanie 7. Oblicz następujące granice: (a)
lim cos(arctg x)
(b) lim sin(arctg x)
(c) lim log | x+1 |
(d) lim arcsin 1−x
2
x→−∞
x→∞
x→∞
x2+2
x→∞
x+1
(e) lim (x+2)arctg x
(f ) lim ln(sin(arctg x)) (g) lim esin(arcctg ( 2+x ) 2−x
(h) lim ln(sin(arcctg 1 )) x→∞
x
x→∞
x→∞
x→∞
x
Zadanie 8. Określ wartość wyrażeń: (a) 2
(b) 3
(c) −4 (d) −5
0+
0−
0+
0−
Zadanie 9. Oblicz granice jednostronne w podanych punktach: 1
(a) f (x) = x−7 , x
x , x
, x
9−x2
0 = 3
(b) f (x) = e
0 = 0
(c) f (x) =
1
1
0 = 0
1−π x
1
1
(d) f (x) = arctg
1
, x
(x−1)2 , x
) x , x
1−x
0 = 1
(e) f (x) = 2
0 = 1
(f ) f (x) = ( 12
0 = 0
−1
(g) f (x) = 3 x+1 −1 , x
, x
−1
0 = −1
(h) f (x) =
x
1
0 = 0
3 x+1 +1
1+e x
Zadanie 10. Zbadaj, czy istnieje granica: (a) lim sin(2x−4)
(b) lim tg |2x|
(c) lim
|x|
(d) lim (3−x)3
x→2
|x−2|
x→0
3x
x→0 | sin x|(x+3)
x→3 |x−3|
- BUDOWNICTWO I -
2
Zadanie 11. Zbadaj ciągłość funkcji:
5
x < −2
( 1 )x + 1
−2 ≤ x ≤ 0
(a) f (x) =
2
log
(x + 1 )
0 < x ≤ 1.5
0.5
2
−2
x > 1.5
2x−3
1 + arctg x
x ≤ 0
(b) f (x) =
ln x
x > 0
arcctg (ln x)
x > 0
(c) f (x) =
x − π
x ≤ 0
2x
−1 ≤ x ≤ 0
(d) f (x) =
−x + 1
0 < x ≤ 1
log x
1 < x ≤ 2
x2−x−2
x < −1
x+1
−3
x = −1
(e) f (x) =
πtg (x−1)
−1 < x < 1
x2−1
π
x = 1
2
arctg
1
x > 1
x−1
Zadanie 12. Wyznacz wartości parametrów, tak aby funcje były ciągłe:
(x − a)2
x < 1
(a) f (x) =
2x − 1
x ≥ 1
x3−1
x 6= 1
(b) f (x) =
1−x
6k2 − k − 5
x = 1
2x + cos a
x < 1
(c) f (x) =
b2
x = 1
√
3 ln x + 3 3 x
x > 1
arctg ( sin |x|
√
)
x < 0
3x
√
(d) f (x) =
π (1 − a2 − 1) x = 0
2
x−1
1
e x2 − b
x > 0
π
Większość zadań pochodzi ze skryptu ”Matematyka – podstawy z elementami matematyki wyższej", Wydawnictwo PG, 2009.