Podgrupy generowane przez podzbiór

Notatki z wykładu wybrane zagadnienia algebry

Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej PŁ

Łódź, 18–10–2013

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

1 / 12

Spis treści

1

Podgrupy – wprowadzenie

Definicja. Twierdzenie o podgrupie
Przykłady podgrup

2

Podgrupy generowane przez podzbiór

Twierdzenie o iloczynie rodziny podgrup
Twierdzenie o postaci podgrupy generowanej przez podzbiór
Grupa cykliczna

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

2 / 12

Definicja podgrupy. Twierdzenie o podgrupie

Definicja

Niech (G , ∗) będzie grupą. Mówimy, że niepusty podzbiór H zbioru G jest
podgrupą grupy G , jeżeli H jest grupą z działaniem G zawężonym do
H × H. Zapisujemy to symbolem H < G .

Twierdzenie o podgrupie

Niech (G , ∗) będzie grupą, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ oraz x ∗ y

−1

∈ H dla wszystkich x, y ∈ H.

Twierdzenie o podgrupie grupy skończonej

du, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy H 6= ∅ oraz x ∗ y ∈ H dla
wszystkich x , y ∈ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

3 / 12

Definicja podgrupy. Twierdzenie o podgrupie

Definicja

Niech (G , ∗) będzie grupą. Mówimy, że niepusty podzbiór H zbioru G jest

podgrupą

grupy G , jeżeli H jest grupą z działaniem G zawężonym do

H × H. Zapisujemy to symbolem H < G .

Twierdzenie o podgrupie

Niech (G , ∗) będzie grupą, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ oraz x ∗ y

−1

∈ H dla wszystkich x, y ∈ H.

Twierdzenie o podgrupie grupy skończonej

du, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy H 6= ∅ oraz x ∗ y ∈ H dla
wszystkich x , y ∈ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

3 / 12

Definicja podgrupy. Twierdzenie o podgrupie

Definicja

Niech (G , ∗) będzie grupą. Mówimy, że niepusty podzbiór H zbioru G jest
podgrupą grupy G , jeżeli H jest grupą z działaniem G zawężonym do
H × H. Zapisujemy to symbolem

H < G

.

Twierdzenie o podgrupie

Niech (G , ∗) będzie grupą, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ oraz x ∗ y

−1

∈ H dla wszystkich x, y ∈ H.

Twierdzenie o podgrupie grupy skończonej

du, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy H 6= ∅ oraz x ∗ y ∈ H dla
wszystkich x , y ∈ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

3 / 12

Definicja podgrupy. Twierdzenie o podgrupie

Definicja

Niech (G , ∗) będzie grupą. Mówimy, że niepusty podzbiór H zbioru G jest
podgrupą grupy G , jeżeli H jest grupą z działaniem G zawężonym do
H × H. Zapisujemy to symbolem H < G .

Twierdzenie o podgrupie

Niech (G , ∗) będzie grupą, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ oraz x ∗ y

−1

∈ H dla wszystkich x, y ∈ H.

Twierdzenie o podgrupie grupy skończonej

du, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy H 6= ∅ oraz x ∗ y ∈ H dla
wszystkich x , y ∈ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

3 / 12

Definicja podgrupy. Twierdzenie o podgrupie

Definicja

Niech (G , ∗) będzie grupą. Mówimy, że niepusty podzbiór H zbioru G jest
podgrupą grupy G , jeżeli H jest grupą z działaniem G zawężonym do
H × H. Zapisujemy to symbolem H < G .

Twierdzenie o podgrupie

Niech (G , ∗) będzie grupą, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ oraz x ∗ y

−1

∈ H dla wszystkich x, y ∈ H.

Twierdzenie o podgrupie grupy skończonej

du, H ⊂ G . H < G wtedy i tylko wtedy, gdy H 6= ∅ oraz x ∗ y ∈ H dla
wszystkich x , y ∈ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

3 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z

< Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z <

Q

< R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q <

R

< C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R <

C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Przykłady podgrup

1

Z < Q < R < C

2

({−1, +1} , ·) < Q

∗

< R

∗

< C

∗

,

3

R

∗

+

< R

∗

4

({−1, +1} , ·) < S

1

, ·

< C

∗

, gdzie S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}

5

C

n

< S

1

, ·

< C

∗

, n ∈ N

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

4 / 12

Twierdzenie o iloczynie rodziny podgrup

Twierdzenie

Jeżeli {H

i

}

i ∈I

jest niepustą rodziną podgrup grupy G , to

T

i ∈I

H

i

jest

podgrupą grupy G .

Dowód

Ponieważ H

i

< G dla każdego i ∈ I , więc element neutralny e

G

w grupie

G należy do każdego zbioru rodziny {H

i

}

i ∈I

, skąd e

G

∈

T

i ∈I

H

i

. Ponadto

jeżeli x , y ∈

T

i ∈I

H

i

, to dla każdego i ∈ I elementy x , y należą do zbioru H

i

;

z twierdzenia o podgrupie wynika, że x ∗ y

−1

∈ H

i

dla wszystkich i ∈ I ,

skąd x ∗ y

−1

∈

T

i ∈I

H

i

. Na mocy tego twierdzenia wynika, że

T

i ∈I

H

i

< G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

5 / 12

Twierdzenie o iloczynie rodziny podgrup

Twierdzenie

Jeżeli {H

i

}

i ∈I

jest niepustą rodziną podgrup grupy G , to

T

i ∈I

H

i

jest

podgrupą grupy G .

Dowód

Ponieważ H

i

< G dla każdego i ∈ I , więc element neutralny e

G

w grupie

G należy do każdego zbioru rodziny {H

i

}

i ∈I

, skąd e

G

∈

T

i ∈I

H

i

. Ponadto

jeżeli x , y ∈

T

i ∈I

H

i

, to dla każdego i ∈ I elementy x , y należą do zbioru H

i

;

z twierdzenia o podgrupie wynika, że x ∗ y

−1

∈ H

i

dla wszystkich i ∈ I ,

skąd x ∗ y

−1

∈

T

i ∈I

H

i

. Na mocy tego twierdzenia wynika, że

T

i ∈I

H

i

< G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

5 / 12

Twierdzenie o iloczynie rodziny podgrup

Twierdzenie

Jeżeli {H

i

}

i ∈I

jest niepustą rodziną podgrup grupy G , to

T

i ∈I

H

i

jest

podgrupą grupy G .

Dowód

Ponieważ H

i

< G dla każdego i ∈ I , więc element neutralny e

G

w grupie

G należy do każdego zbioru rodziny {H

i

}

i ∈I

, skąd e

G

∈

T

i ∈I

H

i

. Ponadto

jeżeli x , y ∈

T

i ∈I

H

i

, to dla każdego i ∈ I elementy x , y należą do zbioru H

i

;

z twierdzenia o podgrupie wynika, że x ∗ y

−1

∈ H

i

dla wszystkich i ∈ I ,

skąd x ∗ y

−1

∈

T

i ∈I

H

i

. Na mocy tego twierdzenia wynika, że

T

i ∈I

H

i

< G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

5 / 12

Wniosek

Niech (G , ∗) będzie grupą. Dla dowolnego podzbioru X ⊂ G istnieje
najmniejsza w sensie inkluzji grupa zawierająca zbiór X .

Dowód

Niech R = {H

i

}

i ∈I

będzie rodziną wszystkich podgrup grupy G

zawierający zbiór X . R 6= ∅, ponieważ G ∈ R. Z poprzedniego
twierdzenia wynika, że H :=

T

R =

T

i ∈I

H

i

jest podgrupą grupy G . Skoro

każdy element rodziny R zawiera zbiór X , to X ⊂ H.
Ponadto H jest najmniejszą w sensie inkluzji grupą zawierającą zbiór X .
Istotnie: jeżeli A jest podgrupą grupy G zawierającą zbiór X , to A ∈ R, tj.
A = H

k

dla pewnego k ∈ I , skąd wynika, że A = H

k

⊃

T

i ∈I

H

i

= H. Zatem

H jest podgrupą grupy G zawierającą zbiór X i zawartą w każdej
podgrupie zawierającej zbiór X .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

6 / 12

Wniosek

Niech (G , ∗) będzie grupą. Dla dowolnego podzbioru X ⊂ G istnieje
najmniejsza w sensie inkluzji grupa zawierająca zbiór X .

Dowód

Niech R = {H

i

}

i ∈I

będzie rodziną wszystkich podgrup grupy G

zawierający zbiór X . R 6= ∅, ponieważ G ∈ R. Z poprzedniego
twierdzenia wynika, że H :=

T

R =

T

i ∈I

H

i

jest podgrupą grupy G . Skoro

każdy element rodziny R zawiera zbiór X , to X ⊂ H.
Ponadto H jest najmniejszą w sensie inkluzji grupą zawierającą zbiór X .
Istotnie: jeżeli A jest podgrupą grupy G zawierającą zbiór X , to A ∈ R, tj.
A = H

k

dla pewnego k ∈ I , skąd wynika, że A = H

k

⊃

T

i ∈I

H

i

= H. Zatem

H jest podgrupą grupy G zawierającą zbiór X i zawartą w każdej
podgrupie zawierającej zbiór X .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

6 / 12

Definicja

Niech (G , ∗) będzie dowolną grupą i X podzbiorem zbioru G . Podgrupą
grupy G generowaną przez podzbiór X nazywamy najmniejszą
podgrupę G , która zawiera zbiór X . Oznaczamy ją przez gp

G

(X ), gp (X ),

hX i.

Definicja

Podzbiór B ⊂ G nazywamy układem generatorów grupy G , jeżeli
G = gp (B).

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

7 / 12

Definicja

Niech (G , ∗) będzie dowolną grupą i X podzbiorem zbioru G . Podgrupą
grupy G generowaną przez podzbiór X nazywamy najmniejszą
podgrupę G , która zawiera zbiór X . Oznaczamy ją przez gp

G

(X ), gp (X ),

hX i.

Definicja

Podzbiór B ⊂ G nazywamy układem generatorów grupy G , jeżeli
G = gp (B).

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

7 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

2

gp

G

(G ) =

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

2

gp

G

(G ) = G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

2

gp

G

(G ) = G .

3

gp

G

(∅) =

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Uwaga

Dla dowolnej grupy G i podzbioru X ⊂ G

1

gp

G

(X ) =

\

X ⊂H<G

H.

2

gp

G

(G ) = G .

3

gp

G

(∅) = {e} .

4

gp

G

({e}) = {e} .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

8 / 12

Twierdzenie o postaci podgrupy generowanej przez
podzbiór

Twierdzenie o postaci podgrupy generowanej przez podzbiór

Niech (G , ∗) będzie grupą, A ⊂ G dowolnym niepustym podzbiorem G .
Wówczas gp

G

(A) jest zbiorem wszystkich elementów postaci

a

k

1

1

∗ a

k

2

2

∗ · · · ∗ a

k

r

r

,

gdzie r∈ N, a

j

∈ A, k

j

∈ {1, −1} dla wszystkich j∈ {1, . . . , n}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

9 / 12

Twierdzenie o postaci podgrupy generowanej przez
podzbiór

Twierdzenie o postaci podgrupy generowanej przez podzbiór

Niech (G , ∗) będzie grupą, A ⊂ G dowolnym niepustym podzbiorem G .
Wówczas gp

G

(A) jest zbiorem wszystkich elementów postaci

a

k

1

1

∗ a

k

2

2

∗ · · · ∗ a

k

r

r

,

gdzie r∈ N, a

j

∈ A, k

j

∈ {1, −1} dla wszystkich j∈ {1, . . . , n}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

9 / 12

Dowód

Oznaczmy

Y :=

n

a

k

1

1

∗ · · · ∗ a

k

r

r

: r ∈ N, ∀1 ¬ j ¬ r a

j

∈ A, k

j

∈ {1, −1}

o

.

Zauważmy, że A ⊂ Y . Pokażemy, że Y jest podgrupą H. Istotnie,
e = a ∗ a

−1

∈ Y , jeżeli a ∈ A. Ponadto jeżeli

a = a

k

1

1

∗ a

k

2

2

∗ · · · ∗ a

k

r

r

,

b = b

p

1

1

∗ b

p

2

2

∗ · · · ∗ b

p

s

s

,

gdzie r , s ∈ N, a

1

, . . . a

r

, b

1

, . . . b

s

∈ A, k

1

, . . . , k

r

, p

1

, . . . , p

s

∈ {−1, 1}, to

a ∗ b

=

a

k

1

1

∗ a

k

2

2

∗ · · · ∗ a

k

r

r

∗ b

p

1

1

∗ b

p

2

2

∗ · · · ∗ b

p

s

s

∈ Y ,

a

−1

=

a

−k

r

r

∗ · · · ∗ a

−k

2

2

∗ a

−k

1

1

∈ Y .

Zatem rzeczywiście Y jest podgrupą G zawierającą zbiór A. Wystarczy
pokazać jeszcze, że jeżeli H < G i A ⊂ H, to Y < H.
Niech r ∈ N, a

1

, . . . , a

r

∈ A, k

1

, . . . , k

r

∈ {−1, 1} oraz niech H będzie

podgrupą G zawierającą zbiór A. Skoro A ⊂ H i H < G , to a

1

, . . . , a

r

∈ H

oraz a

k

1

1

∗ a

k

2

2

∗ · · · ∗ a

k

r

r

∈ H, skąd Y ⊂ H.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

10 / 12

Jeżeli A = {a

1,

..., a

n

} jest skończonym podzbiorem G , to zamiast

gp

G

({a

1,

..., a

n

}) podgrupę generowaną przez podzbiór A zapisujemy

symbolem ha

1,

..., a

n

i i wówczas ha

1,

..., a

n

i jest zbiorem wszystkich

elementów postaci

a

k

1

i

1

∗ a

k

2

i

2

∗ · · · ∗ a

k

r

i

r

,

gdzie r ∈ N, i

1

, . . . , i

r

∈ {1, . . . , n}, k

1

, ..., k

r

∈ {1, −1}.

Definicja

Mówimy, że grupa (G , ∗) jest cykliczna jeżeli jest generowana przez jeden
element, tzn. G = hg

o

i dla pewnego g

o

∈ G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

11 / 12

Jeżeli A = {a

1,

..., a

n

} jest skończonym podzbiorem G , to zamiast

gp

G

({a

1,

..., a

n

}) podgrupę generowaną przez podzbiór A zapisujemy

symbolem ha

1,

..., a

n

i i wówczas ha

1,

..., a

n

i jest zbiorem wszystkich

elementów postaci

a

k

1

i

1

∗ a

k

2

i

2

∗ · · · ∗ a

k

r

i

r

,

gdzie r ∈ N, i

1

, . . . , i

r

∈ {1, . . . , n}, k

1

, ..., k

r

∈ {1, −1}.

Definicja

Mówimy, że grupa (G , ∗) jest cykliczna jeżeli jest generowana przez jeden
element, tzn. G = hg

o

i dla pewnego g

o

∈ G .

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

11 / 12

Przykłady

1

Z = h1i

2

nZ = hni

3

Z

n

= h1i

4

Grupa C

n

pierwiastków z 1 stopnia n, tzn. grupa wszystkich

zespolonych pierwiastków równania X

n

− 1 = 0 z mnożeniem liczb

zespolonych jako działaniem. Zauważmy, że

C

n

=

n

√

1 =



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

∈ C : k ∈ {0, 1, ..., n − 1}



,

jest generowana przez ε = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, ponieważ każdy jej

element ma postać ε

k

=



cos

2π

n

+ i sin

2π

n



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

dla pewnego k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

12 / 12

Przykłady

1

Z = h1i

2

nZ = hni

3

Z

n

= h1i

4

Grupa C

n

pierwiastków z 1 stopnia n, tzn. grupa wszystkich

zespolonych pierwiastków równania X

n

− 1 = 0 z mnożeniem liczb

zespolonych jako działaniem. Zauważmy, że

C

n

=

n

√

1 =



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

∈ C : k ∈ {0, 1, ..., n − 1}



,

jest generowana przez ε = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, ponieważ każdy jej

element ma postać ε

k

=



cos

2π

n

+ i sin

2π

n



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

dla pewnego k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

12 / 12

Przykłady

1

Z = h1i

2

nZ = hni

3

Z

n

= h1i

4

Grupa C

n

pierwiastków z 1 stopnia n, tzn. grupa wszystkich

zespolonych pierwiastków równania X

n

− 1 = 0 z mnożeniem liczb

zespolonych jako działaniem. Zauważmy, że

C

n

=

n

√

1 =



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

∈ C : k ∈ {0, 1, ..., n − 1}



,

jest generowana przez ε = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, ponieważ każdy jej

element ma postać ε

k

=



cos

2π

n

+ i sin

2π

n



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

dla pewnego k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

12 / 12

Przykłady

1

Z = h1i

2

nZ = hni

3

Z

n

= h1i

4

Grupa C

n

pierwiastków z 1 stopnia n, tzn. grupa wszystkich

zespolonych pierwiastków równania X

n

− 1 = 0 z mnożeniem liczb

zespolonych jako działaniem. Zauważmy, że

C

n

=

n

√

1 =



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

∈ C : k ∈ {0, 1, ..., n − 1}



,

jest generowana przez ε = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, ponieważ każdy jej

element ma postać ε

k

=



cos

2π

n

+ i sin

2π

n



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

dla pewnego k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

12 / 12

Przykłady

1

Z = h1i

2

nZ = hni

3

Z

n

= h1i

4

Grupa C

n

pierwiastków z 1 stopnia n, tzn. grupa wszystkich

zespolonych pierwiastków równania X

n

− 1 = 0 z mnożeniem liczb

zespolonych jako działaniem. Zauważmy, że

C

n

=

n

√

1 =



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

∈ C : k ∈ {0, 1, ..., n − 1}



,

jest generowana przez ε = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, ponieważ każdy jej

element ma postać ε

k

=



cos

2π

n

+ i sin

2π

n



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

dla pewnego k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

Bogdan Balcerzak (PŁ)

Podgrupy generowane przez podzbiór

Wybrane zagadnienia algebry

12 / 12