1) Eliptyczne zadanie brzegowe w R1

−("#

$

)

$

+ &#

$

+ '# = * , Ω = (0, /)

1

2

#

$

(0) + 3

2

#(0) = 4

2

1

5

#

$

(/) + 3

5

#(/) = 4

5

0 < "

5

≤ "(8) ≤ "

9

1

2

9

+ 3

:

9

> 0 1

5

9

+ 3

5

9

> 0

k,b,c,f - gładkie funkcje

2) Sformułowanie wariacyjne eliptycznego zadania brzegowego w R1

∫ ("#

$

?

$

+ &#

$

? + '#?)@8 +

A(5)B

C

D

C

#(/)?(/) −

A(2)B

E

D

E

#(0)?(0)

5

2

FGGGGGGGGGGGGGGGGGGGHGGGGGGGGGGGGGGGGGGGI

J(K,L)

= ∫ *?@8 +

A(5)M

C

D

C

?(/) −

A(2)M

E

D

E

?(0)

5

2

FGGGGGGGGGGHGGGGGGGGGGI

N(L)

O(#, ?) = P(?)

3) Metoda elementów skończonych dla elementów liniowych (p = 1).

Q

R

- zbiór funkcji w którym będziemy poszukiwać

Q

R

= SQ

T

∶ Q

T

= ∑ 1

T

W

T

(8) , 1

T

X ℝ

Z

T[\

]

Znaleźć

#

R

X Q

R

takie że:

O(#

R

, Q

R

) = P (Q

R

) ∀#

R

= Q

R

#

R

= ∑ 1

T

W

T

Z

T[\

,

Q

R

= W

_

@/` a = 1. . d

odwzorowanie liniowe:
Oe∑ 1

T

W

T

Z

T[\

, W

_

f = PeW

_

f @/` a = 1. . d

∑ 1

T

Z

T[\

OeW

T

,W

_

f

FGGGGHGGGGI

g

hi

= P(W

_

)

FHI

j_

@/` a = 1. . d

∑ k

_T

= l

_

@/` a = 1. . d

Z

T[\

k~1~ = l~ => 1~, #

R

= ∑ 1

T

Z

T[\

W

T

Podobszary - elementy skończone
Podział – siatka skończenie
elementowa

Φ – funkcja kształtu (globalna)

k~ - macierz sztywności

l

~ - wektor obciążeń

Funkcja kapeluszowa:

4) Definicja globalnej macierzy sztywności K i globalnego wektora obciążenia F.

Globalna macierz sztywności K:

k

T_

= OeW

T

,W

_

f = n e"W

_

$

W

T

$

+ &W

_

$

W

T

+ 'W

_

W

T

f@8 =

5

2

o n("p

q(_,A)

$

p

q(T,A)

$

A

Ar

h

r

i

: q

+ &p

q(_,A)

$

p

q(T,A)

+ 'p

q(_,A)

p

q(T,A)

)

Globalny wektor obciążenia F:

l

T

= P(W

T

) = n *W

T

@8

5

2

= o n*W

T

|

A

@8

A

A:r

i

t2

= o np

q(T,A)

@8

A

A:r

i

t2

l

T

= o P

q(T,A)

A

@/` u = 1, . . . , d

A:r

i

t2

5) Funkcje kształtu

vw(ξ) stopnia p na elemencie wzorcowym xw(wielomiany Lagrange’a).

Element wzorcowy

k = [0,1] jest to taki element który ma długość jednostkową i położenie jego

węzłów ustalamy w

{1 = 0 , {2 = 1

p€

T

() =

(‚ƒ‚

„

)(‚ƒ ‚

…

)…(‚ƒ‚

i‡„

)(‚ƒ‚

iˆ„

)… e‚ƒ‚

‰ˆ„

f

(‚

i

ƒ‚

„

)(‚

i

ƒ ‚

…

)…(‚

i

ƒ‚

i‡„

)(‚

i

ƒ‚

iˆ„

)… e‚

i

ƒ‚

‰ˆ„

f

6) Funkcje kształtu

v(ξ) stopnia p na elemencie rzeczywistym x

p

T

e8~f = p

T

Š~(8~)‹

7) Algorytm składania globalnego wektora obciążeń z elementowych wektorów obciążeń, algorytm

składania globalnej macierzy sztywności z elementowych macierzy sztywności.

Algorytm składania globalnego wektora obciążeń z elementowych wektorów obciążeń:
Œ(u, ") - numer elementowej funkcji kształtu która składa się na globalną funkcję kształtu z elementu K

(Ž, ") - numer globalnej funkcji kształtna którą składa się n-ta elementowa funkcja kształtu z elementu
k
p



= W

(,A)

|

k

Wersja 1:

l

T

= 0, u = 1, … , d

!"

#=1,…,$

*‘’ ": W

T

≠ 0

l

T

≔ l

T

+ P

q(T,A)

A

•Ž@ *‘’ "

%&'

!"

#

Wersja 2:

l

T

= 0, u = 1, … , d

!"

(=1,…,

k

–—˜

*‘’ Ž = 1, … , ™

A

+ 1

l

(,A)

∶= l

(,A)

+ P



A

•Ž@ *‘’ Ž

•Ž@ *‘’ "

Algorytm składania globalnej macierzy sztywności z elementowych macierzy sztywności:
O

š,

A

= ∫ ("p



$

p

š

$

A

+ &p



$

p

š

+ p



p

š

)@8

Wersja 1:

k

T_

= 0 u, a = 1, … , d

!"

u = 1, … , d

*‘’ a = 1, … , d

*‘’ k: W

T

W

_

≠ 0

k

T_

≔ k

T_

+ O

q(T,A)q(_,A)

A

•Ž@ *‘’ "

%&'

!"

#

j

Wersja 2:

k

T_

= 0 u, a = 1, … , d

!"

(=1,…,

k

–—˜

*‘’ › = 1, … , {

A

+ 1

*‘’ Ž = 1, … , {

A

+ 1

k

r(š,A)r(,A)

∶= k

r(š,A)r(,A)

+ O

š,

A

•Ž@ *‘’ Ž

•Ž@ *‘’ "

8) Definicja elementowych macierzy sztywności i wektorów obciążenia.

Definicja elementowych macierzy sztywności
O

š,

A

= ∫ ("p



$

p

š

$

A

+ &p



$

p

š

+ p



p

š

)@8

Definicja elementowych wektorów obciążenia
P



A

= ∫ *p



@8 = P(

A

p



)

9) Obliczenia elementowe (tj. elementowych macierzy sztywności i wektorów obciążenia).

Obliczanie pochodnych

v

œ

(x), sposób całkowania...

???

Macierz sztywności:

∫ ("

ž

Ÿ

 

ž

¡

¢

A

+ &

ž

Ÿ

 

p

š

+ 'p



p

š

)@8

p



(8) = p€



e(8)f / (8) =

 ƒ 

Ÿˆ„

 

¤ˆ„

ƒ  

¤

,

‚
 

=

\

 

¤ˆ„

ƒ  

¤

ž

 

=

žw

Ÿ

‚

‚
 

???

10) Lemat Cea.

Zał:

Q = ¥

\

(Ω)

•

O: Q8Q → ℝ - forma dwuliniowa ciągła koercywna

•

# X Q O(#, ?) = P(?) ∀?XQ – definicja rozwiązania ścisłego

•

#

R

X Q

R

⊂ Q ∶ O(#

R

, ?

R

) = P(?

R

) ∀ ?

R

XQ

R

Teza:

‖# − #

R

‖

©

≤

ª

D

‖# − ?

R

‖

©

∀ ?

R

XQ

R

gdzie M,α - stałe

11) Zbieżność MES.

∫ ("#

$

?

$

+ &#

$

? + '#? )@8 +

A(5)J

C

D

C

#(/)?(/)

5

2

−

A(2)J

E

D

E

#(0)?(0) =

∫ *?@8 +

A(5)M

C

D

C

?(/)

5

2

−

A(2)M

E

D

E

?(0) ∀ ?

∫ "#

$9

5

2

@8 < ∞ → ∫ #

$9

5

2

@8 => ∞

∫ '#

9

5

2

@8 < ∞ → ∫ #

9

@8 => ∞

5

2