1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?

Jeżeli

to zdefiniowane wzorem

nazywamy złożeniem odwzorowań

2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.

Niech

- bijekcje, wtedy

Dowód:

3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?

Niech

– bijekcja (warunek istnienia)

Odwzorowanie

takie, że

nazywamy

odwrotnym do danego

4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?

Niech

5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na
iloczyn dwóch liczb w tej postaci.

- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:

– moduł liczby z

- liczba Eulera

- jednostka urojona

- argument

6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej.

,

7. Kiedy wektory e

1

,...e

n

nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo

niezależne?

Liniowo niezależne, gdy

-przestrzeń wektorowa. Wektory

nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby

takie, że:

oraz

Wektory

, które nie są liniowo zależne, nazywamy liniowo niezależnymi

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, zatem wektory nie są liniowo niezależne.

8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów

liniowo niezależnych, które generują

daną przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni mają tą samą ilość elementów.

9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?

Niech

- przestrzenie wektorowe nad ,

- baza w ,

- baza w

- odwzorowanie liniowe.

- Reprezentacja macierzowa odwzorowania

w danych bazach:

10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.

- przestrzenie wektorowe,

- baza w ,

- baza w ,

- baza w

– odwzorowania liniowe,

- reprezentacja odwzorowania , - reprezentacja odwzorowania
, Niech reprezentacja macierzowa odwzorowania

11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.

Niech

- macierz - macierz

Dowód:

12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.

Niech

- macierze

13. Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy.

Niech

- macierz

gdzie

- dopełnienie algebraiczne elementu

– minor macierzy

14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?

Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.
Aby sprawdzić czy macierz jest nieosobliwa należy policzyć wyznacznik.

15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.

- liczba niewiadomych

–

-ta niewiadoma

– wyznacznik główny macierzy kwadratowej, nieosobliwej

- Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim

-tej kolumny kolumną

wolnych wyrazów

16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.

Niech

- nieosobliwa macierz ,

gdzie

- element macierzy dołączonej do

(transponowanej macierzy

dopełnień)

17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?

Rzędem macierzy

nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej . Rząd

macierzy to rząd odwzorowania liniowego związanego z tą macierzą.

18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?

- macierz (niezerowa, jeśli zerowa to ). Liczymy podwyznaczniki macierzy stopnia

dla do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy wymiar
największej macierzy nieosobliwej będącej podmacierzą kwadratową

.

19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.

20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego.

Powyższy układ ma co najmniej jedno rozwiązanie

Dowód:

kolumna jest liniowo zależna od pozostałych

- układ równań

kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych nie jest kombinacją liniową

zadany układ równań nie ma rozwiązania

21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla
każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.

Powyższy układ posiada rozwiązania

Dowód:

- macierz - macierz

dla którego nie ma rozwiązania

22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.

wobec tego

Z twierdzenia Cauchy’ego

23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

Na transpozycję iloczynu:

33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?

- przestrzenie wektorowe nad ciałem

nazywamy formą dwuliniową gdy:

jest formą liniową

jest formą liniową
Reprezentacja macierzowa:

- baza w

34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?

Formę dwuliniową

nazywamy formą symetryczną jeśli ,

antysymetryczną jeśli

35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną

gdzie

- macierz symetryczna,

- macierz antysymetryczna

Dowód:

42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

dla

Własności iloczynu skalarnego:

43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

Mówimy, że iloczyn wektorowy wektorów niezerowych

i jest równy , jeżeli

Kierunek wektora , jest taki, że i

Zwrot wektora , jest tak dobrany, by trójka tworzył układ o orientacji zgodnej z układem
współrzędnych,

Jeżeli

to

Własności:

44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.

Własności:

(objętość równoległościanu o krawędziach )

45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?

odległość punktu

od płaszczyzny danej równaniem

46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?

Niech wektor

oraz

47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?

Niech

,

48. Podać równanie elipsoidy.

49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.

52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.

53. Podać równanie walca eliptycznego.

54. Podać równanie walca hiperbolicznego.

55. Podać równanie walca parabolicznego.

56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?

pierwsze

takie, że

oraz

Liczbę

nazywamy pierwszą jeżeli ma tylko dwa dzielniki : jedynkę i samą siebie

57. Jakie są własności relacji podzielności?

58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku

59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu

za pomocą kombinacji i .

Niech

60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej

?

Funkcja Eulera

dla dowolnej liczby jest określona wzorem:

Dla liczby pierwszej

61. Podaj własności relacji kongruencji.

Jeżeli i

Jeżeli i

62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.

Zbiór zawierający

klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo i oznaczamy jako

Pełny zbiór reszt modulo 4:

63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?

Liczbę

nazywamy odwrotną do modulo i piszemy

jeżeli

. Jeżeli , to istnieje

64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?

Niech

- liczba pierwsza

65. Podaj twierdzenie o równości potęg

Jeżeli

– liczba pierwsza, oraz to

66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?

Jeżeli jest liczbą pierwszą, to
dla

Jeżeli to

67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

Jeżeli liczby całkowite dodatnie

są parami względnie pierwsze, a liczby

są

dowolnymi liczbami całkowitymi to istnieją rozwiązania

tego układu kongruencji

przy czym

, gdzie

68. Czemu jest równe

Jeżeli

to