1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
Jeżeli
to zdefiniowane wzorem
nazywamy złożeniem odwzorowań
2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
Niech
- bijekcje, wtedy
Dowód:
3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
Niech
– bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie
takie, że
nazywamy
odwrotnym do danego
4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
Niech
5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na
iloczyn dwóch liczb w tej postaci.
- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:
– moduł liczby z
- liczba Eulera
- jednostka urojona
- argument
6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej.
,
7. Kiedy wektory e
1
,...e
n
nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo
niezależne?
Liniowo niezależne, gdy
-przestrzeń wektorowa. Wektory
nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby
takie, że:
oraz
Wektory
, które nie są liniowo zależne, nazywamy liniowo niezależnymi
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, zatem wektory nie są liniowo niezależne.
8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów
liniowo niezależnych, które generują
daną przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni mają tą samą ilość elementów.
9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?
Niech
- przestrzenie wektorowe nad ,
- baza w ,
- baza w
- odwzorowanie liniowe.
- Reprezentacja macierzowa odwzorowania
w danych bazach:
10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.
- przestrzenie wektorowe,
- baza w ,
- baza w ,
- baza w
– odwzorowania liniowe,
- reprezentacja odwzorowania , - reprezentacja odwzorowania
, Niech reprezentacja macierzowa odwzorowania
11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.
Niech
- macierz - macierz
Dowód:
12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.
Niech
- macierze
13. Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy.
Niech
- macierz
gdzie
- dopełnienie algebraiczne elementu
– minor macierzy
14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.
Aby sprawdzić czy macierz jest nieosobliwa należy policzyć wyznacznik.
15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.
- liczba niewiadomych
–
-ta niewiadoma
– wyznacznik główny macierzy kwadratowej, nieosobliwej
- Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim
-tej kolumny kolumną
wolnych wyrazów
16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.
Niech
- nieosobliwa macierz ,
gdzie
- element macierzy dołączonej do
(transponowanej macierzy
dopełnień)
17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?
Rzędem macierzy
nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej . Rząd
macierzy to rząd odwzorowania liniowego związanego z tą macierzą.
18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?
- macierz (niezerowa, jeśli zerowa to ). Liczymy podwyznaczniki macierzy stopnia
dla do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy wymiar
największej macierzy nieosobliwej będącej podmacierzą kwadratową
.
19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.
20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego.
Powyższy układ ma co najmniej jedno rozwiązanie
Dowód:
kolumna jest liniowo zależna od pozostałych
- układ równań
kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych nie jest kombinacją liniową
zadany układ równań nie ma rozwiązania
21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla
każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.
Powyższy układ posiada rozwiązania
Dowód:
- macierz - macierz
dla którego nie ma rozwiązania
22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.
wobec tego
Z twierdzenia Cauchy’ego
23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.
Na transpozycję iloczynu:
33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?
- przestrzenie wektorowe nad ciałem
nazywamy formą dwuliniową gdy:
jest formą liniową
jest formą liniową
Reprezentacja macierzowa:
- baza w
34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?
Formę dwuliniową
nazywamy formą symetryczną jeśli ,
antysymetryczną jeśli
35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną
gdzie
- macierz symetryczna,
- macierz antysymetryczna
Dowód:
42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.
dla
Własności iloczynu skalarnego:
43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.
Mówimy, że iloczyn wektorowy wektorów niezerowych
i jest równy , jeżeli
Kierunek wektora , jest taki, że i
Zwrot wektora , jest tak dobrany, by trójka tworzył układ o orientacji zgodnej z układem
współrzędnych,
Jeżeli
to
Własności:
44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.
Własności:
(objętość równoległościanu o krawędziach )
45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?
odległość punktu
od płaszczyzny danej równaniem
46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?
Niech wektor
oraz
47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?
Niech
,
48. Podać równanie elipsoidy.
49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.
50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.
51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.
52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.
53. Podać równanie walca eliptycznego.
54. Podać równanie walca hiperbolicznego.
55. Podać równanie walca parabolicznego.
56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?
pierwsze
takie, że
oraz
Liczbę
nazywamy pierwszą jeżeli ma tylko dwa dzielniki : jedynkę i samą siebie
57. Jakie są własności relacji podzielności?
58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?
Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku
59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu
za pomocą kombinacji i .
Niech
60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej
?
Funkcja Eulera
dla dowolnej liczby jest określona wzorem:
Dla liczby pierwszej
61. Podaj własności relacji kongruencji.
Jeżeli i
Jeżeli i
62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.
Zbiór zawierający
klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo i oznaczamy jako
Pełny zbiór reszt modulo 4:
63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?
Liczbę
nazywamy odwrotną do modulo i piszemy
jeżeli
. Jeżeli , to istnieje
64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?
Niech
- liczba pierwsza
65. Podaj twierdzenie o równości potęg
Jeżeli
– liczba pierwsza, oraz to
66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?
Jeżeli jest liczbą pierwszą, to
dla
Jeżeli to
67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.
Dany jest układ kongruencji:
Jeżeli liczby całkowite dodatnie
są parami względnie pierwsze, a liczby
są
dowolnymi liczbami całkowitymi to istnieją rozwiązania
tego układu kongruencji
przy czym
, gdzie
68. Czemu jest równe
Jeżeli
to