zło

ż

enie odwzorowa

ń

Je

ż

eli

:   , :  

to

 
:  

zdefiniowane

wzorem

    
   


nazywamy

zło

ż

eniem odwzorowa

ń

odwzorowanie odwrotne do zło

ż

enia

Niech

:   , :  

-bijekcje,

 








 



Dowód:

 




     
    
       



 



   











  



 



 




    




   
 



 

  







 



  




odwzorowanie odwrotne do danego

Niech

:   

– bijekcja (warunek istnienia)

Odwzorowanie

:   

takie,

ż

e

       

     



naz. odwrotnym do danego

moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych





 



 



, 



 



 



, | 



|  |



|  

|



· 



|  | 



 



 · 



 



|

 ! 





 





 





 





   ·   



zespolon

ą

w postaci wykładniczej

|| · e



- posta

ć

wykładnicza funkcji zespolonej

||

– moduł liczby z,

e

- liczba Eulera,



- jednostka urojona

#

– argument ,

|



| · e

భ

· |



| · e

మ

 |



| · |



| · e

భమ

cosinus i sinus zale

ż

no

ś

ci od fnc wykładniczej.

cos # 

e೔കeష೔ക



,

sin # 

e೔ക
eష೔ക



) e



 cos #  sin # · 

e



 cos *#  sin *# · 

+

Kiedy wektory e

1

,...e

n

nazywamy liniowo niezale

ż

nymi

gdy

,



, … , ,



 . ∑ ,



e0



 0 2 ,



. . .  ,



 0







α



1,2  α



4, *1  α

*2,3  0,0, α



, α



, α

 9

baza przestrzeni wektorowej Co ł

ą

czy dwie bazy

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów

e0



, … , e0





liniowo niezale

ż

nych, które generuj

ą

dan

ą

przestrze

ń

. Dwie bazy tej samej przestrzeni maj

ą

t

ą

sam

ą

ilo

ść

elementów.

reprezentacj

ę

macierzow

ą

odwzorowania liniowego

Niech

:, ;

- przestrzenie wektorowe nad

<

,

e0



, … , e0





-

baza w

:

,

E>



, … , E>





- baza w

;

?: :  ;

- odwzorowanie liniowe.

@  A1, … , BC ?e0



  ∑ 



E>







- Reprezentacja

macierzowa odwzorowania

?

w danych bazach:

  D





.

.





E

iloczyn macierzy.

:, ;, F

- przestrzenie wektorowe,

e0



, … , e0





- baza w

:

,

E>



, … , E>





- baza w

;

,

ε0



, …, ε0





- baza w

F

?: :  ;, H: ;  F, H  ?: :  F

– odwz. liniowe,



– rep. odwzorowania

?

,



– rep. odwzorowania

H

H  ? I  H? I

, Niech

rep. mac. odwz.

H  ?

@  A1, … , BC ?e0



  ∑ 



E>







  A1, … , C H E>



  ∑ 



ε0







H  ?e0



  H J?e0



K  H∑ 



E>







  ∑ 



H E>



 





∑ 



∑





ε0











 

∑ ∑ 













ε0







 ∑





ε0







 



 ∑ 











transpozycj

ę

iloczynu macierzy



-macierz

B L , 

-macierz

 L M  · 



 



· 



Dowód:

  · , 



 ∑















 











 ∑













 



 ∑









 ∑





















wyznacznik iloczynu macierzy

Niech

, 

- macierze

B L B

,

det  ·   det  · det 

rozwini

ę

cie Laplace’a wyznacznika macierzy

Niech



- macierz

B L B

,

det   ∑ 











gdzie

  1, 2, … , B

,





 *1



· P



- dopełnienie algebraiczne

elementu





,

P



– minor macierzy



macierz nieosobliwa

Macierz

ą

nieosobliw

ą

nazywamy macierz kwadratow

ą

,

której wyznacznik jest ró

ż

ny od zera. Aby sprawdzi

ć

czy

macierz jest nieosobliwa nale

ż

y policzy

ć

wyznacznik.

wzory Cramera







ೣ

ೖ



M  1, 2, … , B

,

B

- liczba niewiadomych





–

M

-ta niewiadoma ,

Q

– wyznacznik główny macierzy



kwadratowej, nieosobliwej ,

Q

ೖ

- Wyznacznik

otrzymany z wyznacznika głównego przez zast

ą

pienie w

nim

M

-tej kolumny kolumn

ą

wolnych wyrazów

elementy macierzy odwrotnej

Niech



- nieosobliwa macierz

B L B

,





 







ೕ೔

||

, @  1, 2, … , B

gdzie





- element macierzy



rz

ę

dem macierzy, zwi

ą

zek z jej wymiarem

Rz

ę

dem macierzy



nazywamy wymiar najwi

ę

kszej

nieosobliwej podmacierzy kwadratowej



. Rz

ą

d to rz

ą

d

odwzorowania liniowego zwi

ą

zanego z t

ą

macierz

ą

.

wyznaczy

ć

rz

ą

d macierzy



- macierz

 L B

(niezerowa, je

ś

li zerowa to

R   0

).

Liczymy podwyznaczniki macierzy



stopnia

M

dla

M  minA, BC , … , 1

do momentu otrzymania warto

ś

ci

niezerowej. Za rz

ą

d przyjmujemy wymiar najwi

ę

kszej mac.

nieosobliwej b

ę

d

ą

cej podmacierz

ą

kwadratow

ą



.

twierdzenie Sylvestera

R  ·  T min AU , R C

Kroneckera – Capelliego.

V





· 



 W  



· 



 



X





· 



 W  



· 



 



+  I  0

Powy

ż

szy układ ma co najmniej jedno rozwi

ą

zanie

 R   R Y

Dowód:

R   R Y 

kolumna

0

jest lin. zale

ż

na od

pozostałych

 Z,



, … , ,



∑ ,



,







 



@  1, … , 

∑ ,











 



@  1, …, 

- układ równa

ń

R  [ R Y 

kolumna

0

jest liniowo niezale

ż

na od

pozostałych

 0

nie jest kombinacj

ą

liniow

ą

∑ ,



















zadany układ równa

ń

nie ma rozwi

ą

zania

układ równa

ń

algebraicznych liniowych b

ę

dzie miał jedno

rozwi

ą

zanie dla ka

ż

dej kolumny wyrazów wolnych

V





· 



 W  



· 



 



X





· 



 W  



· 



 



+  I  0

Powy

ż

szy układ posiada rozwi

ą

zania

0  ;  R   

Dowód:

R     R Y  



- macierz

 L B, Y

- macierz

 L B  1

R  T R Y T minA, B  1C   T R   R Y  

R  \   Z0

dla którego

R Y ] R  

nie ma rozw.

zwi

ą

zek mi

ę

dzy wyz. mac. a wyz. mac. odwrotnej

det  · ^_` 



 1

 · 



 Ι

wobec tego

det  · 



  det Ι  1

Z twierdzenia Cauchy’ego

det  · det 



 1 

det 







 

transpozycj

ę

macierzy odwrotnej









 







 · 



 Ι

 · 







 Ι



 Ι

Na transpozycj

ę

iloczynu:









· 



 Ι









 







forma dwuliniowa Co nazywamy jej repr. macierzow

ą

:, ;

- przestrzenie wektorowe nad ciałem

<

: : L ;  <

nazywamy form

ą

dwuliniow

ą

gdy:

1° 0  ; c  · , 0 c :  <

jest form

ą

liniow

ą

2° I  : c  I, · c ;  <

jest form

ą

liniow

ą

Reprezentacja macierzowa:

 c : L :  <,

e0



, … , e0





- baza w

:

,

 I, 0  ∑ 



e0







, ∑ 



e0







  ∑ ∑ 







e0



, e0



 









∑ ∑ 



















form

ę

dwuliniow

ą

nazywamy symetryczn

ą

(anty)

Form

ę

dwuliniow

ą

: : L :  <

nazywamy form

ą

symetryczn

ą

je

ś

li

I, 0  :  I,0   0, I

,

antysymetryczn

ą

je

ś

li

I, 0  :  I, 0  * 0, I

twierdzenie o rozkładzie macierzy na cz

ęść

sym/anty

  



 



gdzie





- macierz sym.,





- macierz anty.

Dowód:










  



, 








 * 



 

 




 













 *








 

iloczynu skalarnego

0  0  |0| · d >d · cos 0, 0

dla

0, 0 [ 0

0  0  







 







 



Własno

ś

ci iloczynu skalarnego:

1° 0, 0, I 0  0  I  0  I  0  I

2° 0, 0

,  9

,0  0  ,0  0  0  ,0

3° 0, 0 0  0  0  0

4° 0 0  0  |0|



e 0

5° 0 0  0  0  0  0

6° 0, 0 0  0  0  0  0 h 0  0 h 0 i 0

iloczynu wektorowego

Mówimy,

ż

e iloczyn wektorowy wektorów niezerowych

0

i

0

jest równy

I

, je

ż

eli

1°

Kierunek wektora

I

, jest taki,

ż

e

I i 0

i

I i 0

2° |I|  |0| · d >d · sin 0, 0

3°

Zwrot wektora

I

, jest tak dobrany, by trójka

0, 0, I

tworzył układ o orientacji zgodnej z układem
współrz

ę

dnych,

I  0 L 0

Je

ż

eli

0  00 h 0  00

to

I  00

Własno

ś

ci:

1° 0, 0, I 0  0 L I  0 L I  0 L I

2° 0, 0

,  9

,0 L 0  ,0 L 0  0 L ,0

3° 0, 0 0 L 0  *0 L 0

4° 0 0 L 0  00

5° 0 L 0  0  0  0 h 0  0 h 0 j 0

iloczynu mieszanego

0 L 0  I  k































k

Własno

ś

ci:

1° 0 L 0  I  * 0 L I  0  I L 0  0  0 L I  0

 *0 L 0  I  *I L 0  0

2° d0 L 0  Id  l

(obj

ę

to

ść

równoległo

ś

cianu o

kraw

ę

dziach

0, 0, I

)

odległo

ść

punktu od płaszczyzny

^ 

|భభమమయయబ|

||

odległo

ść

punktu

m n



, n



, n



od płaszczyzny

o

danej

równaniem

B







 B







 B



 B



 0

k

ą

t miedzy wektorami

Niech wektor

0  



, 

, 

!



oraz

0  



, 

, 

!



cos0, 0 

ೣ"ೣ೤"೤೥"೥

#ೣమ೤మ೥మ#"ೣమ"೤మ"೥మ

k

ą

t miedzy płaszczyznami

Niech

o



c 







 













 p



 0

,

o



c 







 













 p



 0

cos # 









 













q





 











q





 











elipsoidy

మ
మ



మ
"మ



!మ
$మ

 1

hiperboloidy jednopowłokowej

మ
మ



మ
"మ

*

!మ
$మ

 1

hiperboloidy dwupowłokowej

మ
మ



మ
"మ

*

!మ
$మ

 *1

paraboloidy eliptycznej

మ
మ



మ
"మ

 

paraboloidy hiperbolicznej

మ
మ

*

మ
"మ

 

walca eliptycznego

మ
మ



మ
"మ

 1

walca hiperbolicznego

మ
మ

*

మ
"మ

 1

walca parabolicznego





 2n

twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze

B  r Z! n



, … , n



, n



pierwsze

Z! ,



, … , ,





%

&೔'(

takie,

ż

e

n



\ n



\ W \ n



oraz

B  n



&భ

, … , n



&ೝ

Liczb

ę

B

nazywamy pierwsz

ą

je

ż

eli ma tylko dwa dzielniki

relacji podzielno

ś

ci

1° |    t |

2° |  |  |

3° |  |  |  u 

4° |  |     ,   t



twierdzenie o algorytmie Euklidesa

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku

vQp , 

twierdzenie o przedstawieniu

vQp , 

Niech

,   r ZY, w  t vQp ,   Y  w

funkcj

ą

Eulera, Ile dla liczby pierwszej

Funkcja Eulera

#: r  r

dla dowolnej liczby

B  r

jest

okre

ś

lona wzorem:

# B  A  A0, … , B * 1C c vQp , B  1C

Dla liczby pierwszej

n c # n  n * 1, # n

&

  n

&

J1 *




K

własno

ś

ci relacji kongruencji.

1° ,   x  mod

2° , ,   x  mod   x  mod

3° , , ,   x  mod,  x  mod   x  mod 

4°

 x  mod

i

 x ^ mod   u  x  u ^ mod

5°

Je

ż

eli

 x  mod

i

^|   x  mod^

pełnym zbiorem reszt modulo m

Zbiór zawieraj

ą

cy



klas reszt nazywamy pełnym zbiorem

reszt modulo



i oznaczamy jako

yz  A  t c  x  modC

t

/

 Ayz,  tC

Pełny zbiór reszt modulo 4: (co wy

ż

ej, podstawi

ć

4 za m)

element odwrotny do elementu ciała sko

ń

czonego

Liczb

ę

  t

nazywamy odwrotn

ą

do

  t

modulo



i

piszemy

  



mod

. Je

ż

eli

 ·  x 1 mod

. Je

ż

eli

vQp ,   1

, to istnieje





mod 

Małe Twierdzenie Fermata?

Niech

n

- liczba pierwsza

1°   t 



x  modn

2°   t c n {  




x 1 modn

twierdzenie o równo

ś

ci pot

ę

g





x 



modn

Je

ż

eli

n

– liczba pierwsza,

n { 

oraz

B x  mod n * 1

to





x 



modn

własno

ś

ci funkcji Eulera?

1°

Je

ż

eli

n

jest liczb

ą

pierwsz

ą

, to

# n  n * 1

2°

dla

, ] 1 # n

&

  n

&

J1 *




K

3°

Je

ż

eli

vQp , B  1

to

# B  #  · # B

chi

ń

skie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

|

 x 



mod





X

 x 



mod





+

Je

ż

eli liczby całkowite dodatnie





, … , 



s

ą

parami

wzgl

ę

dnie pierwsze, a liczby





, … , 



s

ą

dowolnymi

liczbami całkowitymi to istniej

ą

rozwi

ą

zania





, 



, 



, 



, 



, …

tego układu kongruencji przy czym





 



  · P

, gdzie

P  



· … · 



Czemu jest równe





modB

Je

ż

eli

vQp , B  1

to





x 1 modB