WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

1

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

16 Siły przekrojowe

W ogólnym przypadku w przekroju pręta może występować sześć sił przekrojowych. Wszystkie te siły

odnosimy do dowolnego układu osi środkowych. Będą to trzy składowe siły: siła normalna N i dwie siły
poprzeczne T

Y

oraz T

Z

oraz trzy składowe momentu: czyli moment skręcający M

X

=M

S

i momenty zginające

M

Y

i M

Z

. Rysunek 39 przedstawia wszystkie te siły przekrojowe. Siły przekrojowe przedstawione na tym

rysunku są dodatnie.

Y=Y

0

Z=Z

0

X

T

Y

M

Y

N

M

X

=M

S

T

Z

M

Z

Rys. 39. Siły przekrojowe.

Siłą normalna N jest dodatnia jeżeli będzie rozciągać pręt czyli wektor tej siły będzie miał zwrot od przekroju
pręta. Siły poprzeczne T

Y

i T

Z

będą dodatnie jeżeli będą miały zwroty osi środkowych.

Momenty zginające M

Y

i M

Z

będą dodatnie jeżeli będą rozciągały część przekroju pręta znajdującą się w

pierwszej ćwiartce układu osi środkowych. Moment skręcający M

X

=M

S

będzie dodatni jeżeli będzie

powodował wykręcanie śruby prawoskrętnej z przekroju pręta czyli wektor tego momentu będzie miał zwrot
od przekroju pręta.

Rysunek 40 przedstawia elementarny sześcian z zaznaczonymi naprężeniami, które działają na widocznej
ściance tego sześcianu.

Siły poprzeczne T

Y

i T

Z

oraz moment skręcający M

X

=M

S

będą powodowały powstanie naprężeń stycznych

τ

XY

i

τ

XZ

. Siła poprzeczna T

Y

jest sumą wszystkich naprężeń stycznych

τ

XY

czyli

T

Y

=

∫

A



XY

⋅dA

.

(248)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

2

Y=Y

0

Z=Z

0

X

dA

z

y

dA



X



XY



XZ

Rys. 40. Naprężenia w przekroju pręta.

Siła poprzeczna T

Z

jest sumą wszystkich naprężeń stycznych

τ

XZ

czyli

T

Z

=

∫

A



XZ

⋅dA

.

(249)

Moment skręcający M

X

=M

S

jest definiowany jako

M

X

=M

S

=

∫

A





XZ

⋅y−

XY

⋅z



⋅dA

.

(250)

Siła normalna N oraz momenty zginające M

Y

i M

Z

będą powodowały powstanie naprężenia normalnego

σ

X

.

Siła normalna N jest sumą wszystkich naprężeń normalnych

σ

X

czyli

N

=

∫

A



X

⋅dA

.

(251)

Moment zginający M

Y

jest definiowany jako

M

Y

=

∫

A



X

⋅z⋅dA

.

(252)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

3

Moment zginający M

Z

jest definiowany jako

M

Z

=

∫

A



X

⋅y⋅dA

.

(253)

Bardzo często występującym przypadkiem obciążenia jest przypadek, w którym płaszczyzna obciążenia
pokrywa się z jedną z głównych osi bezwładności. Występuje on na przykład w belkach i ramach płaskich. W
takim przypadku w przekroju pręta będą występowały tylko trzy siły przekrojowe przedstawione na rysunku
41.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

X

P

q(x)

N

M=M

Z

T

=

T

Y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

X

P

q(x)

N

M

=M

Z

T

=

T

Y

Rys. 41. Siły przekrojowe w belkach i ramach płaskich.

Siły przekrojowe wyznaczamy rozpatrując równowagę odciętej części belki lub ramy płaskiej. Rysunek 42
przedstawia równowagę dla belki z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym. Rysunek 43 i 44
przedstawia równowagę dla belki z obciążeniem trójkątnym. Rysunek 45 przedstawia równowagę dla pręta
ukośnego ramy z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości rzutu pręta ukośnego. Rysunek
46 przedstawia równowagę dla pręta ukośnego ramy z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na
długości pręta ukośnego.

17 Działanie siły normalnej

Przyjmujemy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Na początek

zakładamy także, że pręt posiada stały przekrój czyli jest prętem pryzmatycznym. Pod wpływem działania siły
normalnej w przekroju powstaną naprężenia normalne

σ

X

o wartości



X

=

N

A

,

(254)

w którym A oznacza pole powierzchni przekroju pręta. Tensor naprężenia będzie miał postać

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

4

=

[



X

=

N

A

0 0

0

0 0

0

0 0

]

.

(255)

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

q

A

V

A

x

X

T

M

q

P

B

C

V

B

x

b

X

T

M

a)

b)

N

N

Rys. 42. Belka z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym.

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

A

V

A

x

X

T

M

q

 x=

q
a

⋅x

x

q(x)

Rys. 43. Belka z obciążeniem trójkątnym.

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

x

q(x)

P

B

C

V

B

x

b

X

T

M

q

x =

q
a

⋅x

Rys. 44. Belka z obciążeniem trójkątnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

5

q

- x

-

α

α

α

α

H

A

V

A

X

N

T

M

x

⋅cos

x

⋅sin 

W

=q⋅x⋅cos

α

H

A

α

H

A

(N)

H

A

(T)

V

A

V

A

(T)

V

A

(N)

α

W

W

(T)

W

(N)

Rys. 45. Pręt ukośny z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości rzutu pręta ukośnego.

q

- x

-

α

α

α

α

H

A

V

A

X

N

T

M

x

⋅cos

x

⋅sin 

α

H

A

α

H

A

(N)

H

A

(T)

V

A

V

A

(T)

V

A

(N)

α

W

W

(T)

W

(N)

W

=q⋅x

Rys. 46. Pręt ukośny z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości pręta ukośnego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

6

Odkształcenia liniowe w przypadku działania siły normalnej wynoszą



X

=



X

E

=

N

E

⋅A

,

(256)



Y

=−⋅

X

=−

⋅N

E

⋅A

.

(257)



Z

=−⋅

X

=−

⋅N

E

⋅A

.

(258)

Tensor odkształcenia ma postać

=

[

N

E

⋅A

0

0

0

−

⋅N
E

⋅A

0

0

0

−

⋅N

E

⋅A

]

,

(259)

w których E oznacza moduł Younga natomiast

ν

oznacza współczynnik Poissona. Wyrażenie EA nazywa się

sztywnością rozciągania (ściskania) pręta.

P

P

L

0

∆

L

X

Rys. 47. Pręt osiowo rozciągany.

Rysunek 47 przedstawia pręt rozciągany siłą P. W dowolnym przekroju pręta siła normalna równa się wartości
siły P. Całkowite wydłużenie pręta

∆

L będzie wynosiło

L=

P

E

⋅A

L

0

.

(260)

Przemieszczenie u w dowolnym punkcie x będzie więc wynosiło

u



x



=

P

E

⋅A

x

.

(261)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

7

W przypadku prętów o zmiennym przekroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń. Przedstawia to
rysunek 48. Widać z niego, że w bardzo małym elemencie znajdującym się na krawędzi pręta nie został
spełniony warunek sumy rzutów na oś X.

P

N

X



X



X

Rys. 48. Pręt o zmiennym przekroju.

W przypadku pręta o zmiennym przekroju pojawi się inny (nieliniowy rozkład naprężeń). A w bardzo małym
elemencie na krawędzi pojawią się dodatkowe naprężenia normalne

σ

Y

oraz styczne

τ

XY

i

τ

YX

. Przedstawia to

rysunek 49.

P

N

X

Y=Y

0



X



X



Y



XY



YX

Rys. 49. Stan naprężenia w pręcie osiowo rozciąganym o zmiennym przekroju

18 Działanie momentu zginającego - czyste zginanie i zginanie ukośne

Czystym zginaniem nazywamy działanie tylko momentu zginającego bez siły normalnej i poprzecznej.

Występuje ono na przykład w przedziale BC belki na rysunku 50.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

8

P

A

B

C

a

D

P

P

P

b

a

T(x)

M(x)

+P

-P

P

⋅a

0

Rys. 50. Czyste zginanie w przedziale BC.

W ogólnym przypadku czystego zginania będziemy rozpatrywać przypadek, w którym płaszczyzna obciążenia
przechodzi przez środek ciężkości przekroju pręta i nie pokrywa się z żadną główną osią bezwładności.
Przypadek taki nazywa się zginaniem ukośnym i przedstawia go rysunek 51.

Z

gl

Y

gl

P

ła

sz

cz

yz

na

ob

ci

ąż

en

ia

sc

Rys. 51. Zginanie ukośne.

Wektor momentu zginającego, który jest prostopadły do płaszczyzny obciążenia możemy rozłożyć na dwie
składowe po kierunkach głównych osi bezwładności. Przedstawia to rysunek 52. Wartości bezwzględne obu
składowych możemy wyznaczyć ze wzorów

∣

M

Y

∣

=

∣

M

∣

⋅sin







,

(262)

∣

M

Z

∣

=

∣

M

∣

⋅cos







.

(263)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

9

Y=Y

gl

Z=Z

gl

M

X

P

q(x)

M

sc

Y=Y

gl

Z=Z

gl

α

α

M

Z

M

Y

M

Y

M

Z

Rys. 52. Rozkład wektora momentu zginającego na dwie składowe.

Y=Y

gl

Z=Z

gl

sc

P

ła

sz

cz

yz

na

ob

ci

ąż

en

ia

M

Y

M

Z

Oś ob

ojętna



X

Rys. 53. Wykres naprężeń normalnych w przekroju pręta zginanego ukośne.

Wektory przedstawione na rysunku 52 są dodatnie, ponieważ rozciągają one część przekroju znajdującą się w
pierwszej ćwiartce układu głównych osi bezwładności. Funkcja naprężeń normalnych będzie miała postać



X

=

M

Z

I

Z

⋅y

M

Y

I

Y

⋅z

.

(264)

Osią obojętną nazywamy oś, na której znajdują się punkty, w których naprężenie normalne

σ

X

wynosi zero.

Równanie osi obojętnej w układzie osi głównych ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

10

z

=

M

Z

⋅I

Y

M

Y

⋅I

Z

⋅y

.

(265)

Znając współczynnik kierunkowy prostej możemy wyznaczyć kąt nachylenia osi obojętnej w układzie
głównych osi bezwładności. Należy tylko pamiętać, że dodatni kąt obraca się od osi Y=Y

gl

do osi Z=Z

gl

. Mając

już wyznaczoną oś obojętną należy stwierdzić, które punkty przekroju są najdalej oddalone od niej i w tych
punktach wyznaczyć naprężenia normalne

σ

X

wstawiając współrzędne tych punktów y i z do funkcji (264).

Rysunek 53 przedstawia przykładowy wykres naprężeń normalnych w układzie osi głównych.

19 Działanie siły poprzecznej

Działanie siły poprzecznej ograniczymy do przypadku, w którym kierunek siły poprzecznej T=T

Y

pokrywa się z kierunkiem głównej osi bezwładności Y=Y

gl

. Naprężenia styczne, które będzie powodowała siła

poprzeczna T=T

Y

będą to naprężenia

τ

XY

. Przyjmuje się, że naprężenia styczne w punktach o jednakowej

współrzędnej y są stałe na szerokości przekroju pręta. Rysunek 54 przedstawia przekrój pręta obciążony siła
poprzeczną

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Y

sc



XY

 y 

y

Rys. 54. Siła poprzeczna T=T

Y

w przekroju pręta.

Wartość bezwzględną naprężenia stycznego

τ

XY

w punktach o jednakowej współrzędnej y wyznacza się ze

wzoru

∣



XY

∣

=

∣

T

Y

∣

⋅

∣

S

Z

 y

∣

b

 y⋅I

Z

,

(266)

w którym

S

Z

 y 

jest momentem statycznym względem głównej osi bezwładności Z=Z

gl

części przekroju

pręta leżącej poniżej lub powyżej punktu, w którym wyznaczamy naprężenia styczne

τ

XY

natomiast

b

 y

jest szerokością przekroju w miejscu, w którym wyznaczmy naprężenia styczne

τ

XY

. Część przekroju pręta

oraz szerokość pręta

b

 y

przedstawia rysunek 55. Momenty statyczne względem osi Z części przekroju

zaznaczonych na rysunku 55 mają te same wartości bezwzględne. Jednak moment dolnej części jest dodatni
górnej ujemny. W sumie muszą dać zero, ponieważ oś Z jest osią środkową przekroju pręta.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

11

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Y

sc

y

b

 y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Y

sc

y

b

 y

LUB

S

Z

 y 

d

0

S

Z

 y

g

=−S

Z

 y 

d 

Rys.55. Szerokość przekroju oraz pole wykorzystywane we wzorze (266).

Największą wartość naprężenia styczne

τ

XY

osiągną w punktach znajdujących się na wysokości środka

ciężkości przekroju pręta. Natomiast w punktach znajdujących się na krawędzi dolnej i górnej przekroju pręta
naprężenia styczne

τ

XY

osiągną wartość zero. Rysunek 56 przedstawia przykładowy wykres naprężeń

stycznych

τ

XY

na wysokości przekroju pręta. Dla przekroju, w którym oś Z=Z

gl

jest drugą osią symetrii

wykres naprężeń stycznych

τ

XY

będzie względem niej symetryczny.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Y

sc



XY

 y 

y



XY

Rys. 56. Wykres naprężeń stycznych

τ

XY

w przekroju pręta.

20 Działanie momentu skręcającego

Działanie momentu skręcającego M

X

=M

S

będziemy rozpatrywali tylko w przypadku skręcania

swobodnego, w którym moment skręcający będzie powodował tylko powstanie w przekroju pręta naprężeń
stycznych

τ

XY

oraz

τ

XZ

. Dzieje się tak, ponieważ przekrój pręta posiada swobodę deplanacji (paczenia się). W

przypadku skręcania nieswobodnego w przekroju pręta powstaną obok naprężeń stycznych także i
naprężenia normalne. Dzieje się tak, ponieważ przekrój pręta nie posiada swobody deplanacji.

W przypadku przekroju kołowego lub pierścieniowego naprężenia styczne wyznacza się ze wzoru



X

=

M

X

I

0

⋅r

,

(267)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

12

w którym r oznacza odległość punktu, w którym wyznaczamy naprężenie styczne od środka koła lub
pierścienia natomiast I

0

oznacza biegunowy moment bezwładności, który jest równy

I

0

=I

Y

I

Z

.

(268)

Rysunek 57 przedstawia rozkład naprężeń stycznych w przekroju kołowym i pierścieniowym.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl



X



X



r





X



r



R

r

M

X

=M

S

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl



X



X



r





X



r



R

Z

r

M

X

=M

S

R

W

Rys. 57. Naprężenia styczne w przekrojach: kołowym i pierścieniowym.

W każdym dowolnym punkcie przekroju kołowego lub pierścieniowego możemy wypadkowe naprężenie
styczne

τ

X

rozłożyć na składowe

τ

XY

oraz

τ

XZ

.

Podczas skręcania pręta o przekroju kołowym poszczególne przekroje doznają obrotu względem osi pręta.
Całkowity kąt skręcenia w przypadku, w którym przekrój pręta oraz moment skręcający są zmienne wynosi

=

∫

0

L

M

S



x



G

⋅I

0



x



⋅dx

,

(269)

w którym G jest modułem Kirchhoffa (190). W przypadku, kiedy moment skręcający oraz przekrój pręta są
stałe na długości odcinka pręta całkowity kąt skręcenia wyznaczymy ze wzoru

=

∑

i

=1

i

=n

M

Si

⋅L

i

G

⋅I

0i

.

(270)

W przypadku, kiedy na całej długości pręta moment skręcający oraz przekrój pręta są stałe całkowity kąt
skręcenia wyznaczymy ze wzoru

=

M

S

⋅L

G

⋅I

0

.

(271)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

13

W przypadku prętów nieokrągłych skręcanie swobodne jest możliwe tylko dla prętów o stałym przekroju (pręt
pryzmatyczny).

W przekroju prostokątnym największe naprężenie styczne występujące w połowie dłuższego boku wyznacza
się ze wzoru



1MAX

=

M

S

W

S

,

(272)

w którym W

S

nazywa się wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie. W przypadku prostokąta

wynosi on

W

S

=⋅b

2

⋅h

,

(273)

w którym b oznacza długość krótszego boku natomiast h oznacza długość dłuższego boku prostokąta.
Współczynnik

α

jest funkcją

= f



h
b



.

(274)

W krótszym boku największe naprężenie styczne wyznacza się ze wzoru



2MAX

=⋅

1MAX

,

(275)

w którym współczynnik

γ

jest funkcją

=g



h
b



.

(276)

Całkowity kąt skręcenia przekroju prostokątnego pręta o długości L, stałym przekroju pręta oraz stałym
momencie skręcającym wynosi

=

M

S

⋅L

G

⋅I

S

,

(277)

w którym

I

S

=⋅b

3

⋅h

.

(278)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

14

Współczynnik

β

jest funkcją

= j



h
b



.

(279)

Rysunek 58 przedstawia wykresy naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

b

h

h>b



1MAX



1MAX



2MAX



2MAX

M

X

=M

S



1MAX



2MAX

Rys. 58. Wykresy naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym skręcanym.

Przekrojem cienkościennym nazywamy przekrój złożony z długich i wąskich prostokątów. W przypadku
przekrojów cienkościennych wyróżniamy przekroje cienkościenne otwarte i zamknięte. Rysunek 59
przedstawia przekroje otwarte natomiast rysunek 60 przedstawia przekroje zamknięte.

Rys. 59. Przekroje cienkościenne otwarte.

W przypadku przekrojów cienkościennych otwartych największe naprężenie styczne występuje w środku boku
o największej szerokości. Wyznacza się je ze wzoru

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

15

Rys. 60. Przekroje cienkościenne zamknięte.



MAX

=

M

S

W

S

,

(280)

w którym

W

S

=

1
3

⋅

∑

i

=1

i

=n

b

i

3

⋅h

i

b

max

,

(281)

w którym b

i

oznacza szerokość krótszego boku i-tego prostokąta, h

i

oznacza długość dłuższego boku i-tego

prostokąta natomiast b

max

oznacza największą szerokość prostokąta, z których składa się przekrój

cienkościenny otwarty.

Całkowity kąt skręcenia pręta o długości L wyznacza się ze wzoru (277), w którym

I

S

=



3

⋅

∑

i

=1

i

=n

b

i

3

⋅h

i

,

(282)

w którym współczynnik

η

wynosi:

1. 1,0 dla kątownika,

2. 1,12 dla ceownika,

3. 1,15 dla teownika,

4. 1,20 dla dwuteownika.

W przypadku przekroju cienkościennego zamkniętego naprężenie styczne w dowolnym punkcie wyznacza się
ze wzoru



X

=

M

S

W

S

,

(283)

w którym

W

S

=2⋅⋅

S

.

(284)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 2

16

We wzorze (284)

δ

oznacza grubość ścianki przekroju cienkościennego w miejscu obliczania naprężenia

stycznego natomiast

ω

S

oznacza pole powierzchni ograniczone linią środkową przekroju. Linia środkowa jest

to linia, która łączy środki ścianek przekroju cienkościennego zamkniętego. Przykładowy przekrój
cienkościenny zamknięty wraz z polem powierzchni ograniczonym linią środkową przedstawia rysunek 61.



S

Rys. 61. Przekrój cienkościenny zamknięty wraz z polem powierzchni ograniczonym linią środkową.

Maksymalne naprężenia styczne występuje w miejscu, w którym przekrój cienkościenny zamknięty ma
najmniejszą grubość. Naprężenie to wynosi



XMAX

=

M

S

2

⋅

MIN

⋅

S

,

(285)

w którym

δ

MIN

oznacza najmniejszą grubość ścianki przekroju cienkościennego zamkniętego. Całkowity kąt

skręcenia pręta o długości L wyznacza się ze wzoru (277), w którym

I

S

=

4

⋅

S

2

∮

ds



,

(286)

w którym całka krzywoliniowa brana jest po całym zamkniętym konturze o długości s. W przypadku, gdy
grubość ścianki jest stała to

I

S

=

4

⋅

S

2

⋅

s

.

(287)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ