Analiza Matematyczna - laboratorium. Maxima.

8. Tylko kilka słów o funkcjach wymiernych.

W poprzednich rozdziałach przyglądaliśmy się wielomianom – wszystkie podane

przez nas przykłady były funkcjami określonymi na całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Jeżeli jednak wychylimy się leciutko w stronę trochę bardziej skomplikowanych funkcji,
natkniemy się na funkcje wymierne. I tu już łatwo możemy znaleźć przykłady wzorów,
które nie mogą być zastosowane do wszystkich liczb rzeczywistych – w naturalny spo-
sób pojawiają się funkcje, których dziedziną jest pewien właściwy podzbiór zbioru liczb
rzeczywistych.

Przypatrzmy się kilku takim sytuacjom. Na początek wpiszmy

(%i)

plot2d((x^2-1)/(x+1),[x,-3,3]);

Wiemy, że podany wzór opisuje funkcję, która nie jest określona dla x = −1, ale na

wykresie jakoś tego nie widać... Ale wiemy już jak powstają wykresy i efekt jakoś nas
chyba nie zaskakuje. No to teraz zróbmy tak:

(%i)

f(x):=(x^2-1)/(x+1);

(%i)

f(0)

(%i)

f(-1)

Widać, że na szczęście w rachunkach problemów nie ma. Dziedzina jest uwzględniana

kiedy trzeba.

Popatrzmy więc jak działa upraszczanie funkcji wymiernych – w szczególności jak

działa sprowadzanie do wspólnego mianownika:

(%i)

ratsimp(1/(x^2-9)+3*x/(x+3) - 2*x/(x-3) );

A teraz nadszedł chyba dobry moment abyśmy zapoznali się z poleceniami pozwala-

jącymi wyłowić z wyrażenia pewien jego fragment. Popatrzmy na przykład:

(%i)

(x^2-1) / (x^2+1)

(%i)

pickapart(%,1)

Drugi argument polecenia pickapart wskazuje nam poziom zgłębienia. Zobaczmy

jak zadziała

(%i)

(x^2-1) / (x^2+1)

(%i)

pickapart(%,2)

Zadanie 8.1 Wypróbować polecenie pickapart na róźnych poziomach zagłębienia dla
wyrażenia algebraicznego

x − 2

x

2

+ 2x + 5

−

1

(x − 2)(x − 5)

+

2

x

4

1

W tym momencie warto wspomnieć o poleceniach, które służą do wydobywania

z wyrażenia wymiernego licznika i mianownika. Polecenia te działają jak wyrażenie
pickapart na odpowiednim poziomie. Dają jednak zupełnie nową jakość ponieważ nie
musimy zastanawiac się, do którego poziomu powinniśmy się odwoływać. Polecenia te
to num (od ang. numerator – licznik) oraz denom (od ang. denominator – mianownik).
Należy jednak uważać – popatrzmy jak polecenia te zadziałają dla poniższych przykła-
dów:

x

2

− 1

x

2

+ x + 1

x

2

− 1

x

2

+ x + 1

+

1

x − 1

Jak widzimy drugi przykład nie do końca oddaje to czego byśmy po nim oczekiwali...

Choć właściwie niby czemu Maxima miałaby automatycznie sprowadzać wyrażenie do
wspólnego mianownika? Nie robi tego i powinniśmy o tym pamiętać. Jeżeli chcemy z
wyrażenia wydobyć licznik i mianownik musi być ono już zapisane w postaci ułamka.
Tak na marginesie: istnieją polecenia, które zanim wydobędą z wyrażenia licznik czy
mianownik sprowadzają je do postaci ilorazowej. Polecenia te nazywają się odpowiednio
ratnumer oraz ratdenom.

Zadanie 8.2 Sprawdzić działanie poleceń ratnumer oraz ratdenom na przykładzie

x

2

− 1

x

2

+ x + 1

+

1

x − 1

Na zakończenie zastosujmy zdobyte informacje do rozwiązania kilku dosyć typowych

problemów:

Zadanie 8.3 Znaleźć dziedzinę funkcji f (x) =

x+1

x

4

+x+1

. Znaleźć przedziały, w których

funkcja f osiąga wartości dodatnie.

Zadanie 8.4 Uprościć, sprowadzając do wspólnego mianownika, sumę

10

X

k=−10

1

x − k

.

Zadanie 8.5 Znaleźć całkowite rozwiązania nierówności

1

x

6

− x

5

+ 3x

2

+ x − 5

< 0.

2