Stany nieustalone w obwodach RLC

U

R

R

U

L

U

C

L

C

i

Rozpatrzymy

stany

w obwodzie szeregowym RLC

przy zerowych warunkach początkowych i włączaniu

napięcia stałego

.

i(t = 0) =
0

dt

di

L

U

L



dt

dU

C

)

t

(

i

C



E
=

U

R

R

U

L

U

C

E
=

L

C

i

Rozpatrzymy

stany

w obwodzie szeregowym RLC

przy zerowych warunkach początkowych i włączaniu

napięcia stałego

.

i(t = 0) =
0

dt

di

L

U

L









dt

)

t

(

i

C

1

)

t

(

U

C

W stanie ustalonym prąd w obwodzie nie
płynie,

kondensator w stanie ustalonym stanowi
przerwę,

a napięcie na kondensatorze przyjmuje
wartość

napięcia zasilającego

E

.

Dla tego obwodu z prawa Kirchhoffa dla napięć
wynika

niejednorodne równanie różniczkowo - całkowe:

E

U

U

U

C

L

R







U

R

R

U

L

U

C

E
=

L

C

i

E

dt

i

C

1

dt

di

L

i

R













E

dt

i

C

1

i

R

dt

di

L













dt

d

0

i

C

1

dt

di

R

dt

i

d

L

2

2











Szukamy ogólnego rozwiązania

równania

jednorodnego

postaci:

t

Ae

i





0

Ae

C

1

R

L

Ae

C

1

Ae

R

Ae

L

t

2

t

t

t

2

















































0

LC

1

L

R

2













LC

1

L

2

R

L

2

R

2

2

,

1























równanie
charakterystyczn
e

W zależności od wartości funkcji
podpierwiastkowej

możliwe są 3 rozwiązania:

1. przypadek

aperiodyczny

(

 > 0

)

C

L

2

R 

R

C

L

R

1

Q







Q

C

L

R

1

2

1





obydwa pierwiastki są rzeczywiste i ujemne,
rozwiązanie ma postać:

Charakter zmian prądu w obwodzie jest
aperiodyczny

(nieokresowy) zanikający do zera w sposób
wykładniczy.

c

e

A

e

A

i

t

|

|

2

t

|

|

1

2

1















Warunki początkowe

i(t=0) = 0

i(t)  0

w stanie ustalonym
kondensator stanowi
przerwę w obwodzie

c

e

A

e

A

i

t

|

|

2

t

|

|

1

2

1















stąd

c = 0

oraz

A

1

+ A

2

= 0

 





t

t

t

L

2

R

t

|

|

t

|

|

e

e

e

A

)

e

e

(

A

i

2

1



























gdzie

LC

1

L

2

R

2



















Przebiegi prądu, napięcia na kondensatorze i cewce w
obwodzie RLC dla R=2,3 , C=1F i L=1H przy

załączeniu napięcia stałego E=1 V.

Porównanie prądu ładowania kondensatora w
obwodach RC oraz RLC

i(t)

Porównanie przebiegu napięcia na kondensatorze
w czasie ładowania w obwodach RC oraz RLC

U

c

(t

)

przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie RLC
dla 3

różnych wartości współczynnika tłumienia

 = -R/2L

.



1



2



3



1

< 

2

<



3

U

C

(t

)

2. przypadek

aperiodyczny krytyczny

(



= 0

)

C

L

2

R 

Q

C

L

R

1

2

1





obydwa pierwiastki są rzeczywiste i równe
sobie:

L

2

R

2

,

1







c

Ae

i

t

)

L

2

R

(







nazywana jest

rezystancją krytyczną

i

oznaczana w postaci

R

kr

.

Rezystancj
a:

C

L

2

R 

3. Przypadek oscylacyjny (periodyczny) (

 < 0

)

C

L

2

R 

Q

C

L

R

1

2

1





Przy spełnieniu tego warunku obydwa pierwiastki
są zespolone (zespolony i sprzężony z nim).

2

2

,

1

L

2

R

LC

1

j

L

2

R































































t

L

2

R

LC

1

j

t

L

2

R

LC

1

j

t

)

L

2

R

(

2

2

e

e

e

A

)

t

(

i

Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie
przejściowym jest sinusoidalny tłumiony, o
oscylacjach zanikających do zera.

U

C

(t

)

przebiegi ładowania kondensatora w obwodzie
RLC dla różnych wartości rezystancji

R

.

U

C

(t

)