Stany nieustalone w obwodach RLC

 

 

U

R

R

U

L

U

C

L

C

i

Rozpatrzymy 

stany 

w obwodzie szeregowym RLC

 

przy zerowych warunkach początkowych i włączaniu 

napięcia stałego

.

 

i(t = 0) = 
0

dt

di

L

U

L



dt

dU

C

)

t

(

i

C



E
=

 

 

U

R

R

U

L

U

C

E
=

L

C

i

Rozpatrzymy 

stany 

w obwodzie szeregowym RLC

 

przy zerowych warunkach początkowych i włączaniu 

napięcia stałego

.

 

i(t = 0) = 
0

dt

di

L

U

L









dt

)

t

(

i

C

1

)

t

(

U

C

 

 

W stanie ustalonym prąd w obwodzie nie 
płynie, 

kondensator w stanie ustalonym stanowi 
przerwę, 

a napięcie na kondensatorze przyjmuje 
wartość 

napięcia zasilającego 

E

. 

 

 

Dla tego obwodu z prawa Kirchhoffa dla napięć 
wynika 

niejednorodne  równanie różniczkowo - całkowe:

E

U

U

U

C

L

R







U

R

R

U

L

U

C

E
=

L

C

i

E

dt

i

C

1

dt

di

L

i

R













 

 

E

dt

i

C

1

i

R

dt

di

L













dt

d

0

i

C

1

dt

di

R

dt

i

d

L

2

2











Szukamy ogólnego rozwiązania 

równania 

jednorodnego 

postaci:

t

Ae

i





0

Ae

C

1

R

L

Ae

C

1

Ae

R

Ae

L

t

2

t

t

t

2

















































0

LC

1

L

R

2













LC

1

L

2

R

L

2

R

2

2

,

1























równanie 
charakterystyczn
e

 

 

W zależności od wartości funkcji 
podpierwiastkowej

możliwe  są 3 rozwiązania:

1. przypadek 

aperiodyczny 

( 

 > 0 

)

C

L

2

R 

R

C

L

R

1

Q







Q

C

L

R

1

2

1





obydwa pierwiastki są rzeczywiste i ujemne,  
rozwiązanie ma postać:

Charakter zmian prądu w obwodzie jest 
aperiodyczny

(nieokresowy) zanikający do zera w sposób 
wykładniczy.

c

e

A

e

A

i

t

|

|

2

t

|

|

1

2

1















 

 

Warunki początkowe

i(t=0) = 0

i(t)  0

w stanie ustalonym 
kondensator stanowi 
przerwę w obwodzie

c

e

A

e

A

i

t

|

|

2

t

|

|

1

2

1















stąd

 c = 0

oraz

A

1

 + A

2

 = 0

 





t

t

t

L

2

R

t

|

|

t

|

|

e

e

e

A

)

e

e

(

A

i

2

1



























gdzie

LC

1

L

2

R

2



















 

 

Przebiegi prądu, napięcia na kondensatorze i cewce w 
obwodzie RLC dla R=2,3 , C=1F i L=1H przy 

załączeniu napięcia stałego E=1 V. 

 

 

Porównanie prądu ładowania kondensatora w 
obwodach RC  oraz RLC

i(t)

 

 

Porównanie przebiegu napięcia na kondensatorze 
w czasie ładowania w obwodach RC  oraz RLC

U

c

(t

)

 

 

przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie RLC 
dla 3

 różnych wartości współczynnika tłumienia    

 = -R/2L

 . 



1



2



3



1 

< 

2 

< 



3

U

C

(t

)

 

 

2. przypadek 

aperiodyczny krytyczny        

( 

 

= 0 

)

C

L

2

R 

Q

C

L

R

1

2

1





obydwa pierwiastki są rzeczywiste i równe 
sobie: 

L

2

R

2

,

1







c

Ae

i

t

)

L

2

R

(







nazywana jest 

rezystancją krytyczną

 i 

oznaczana w postaci  

R

kr

  .

Rezystancj
a:

C

L

2

R 

 

 

3. Przypadek oscylacyjny (periodyczny)  ( 

 < 0 

) 

C

L

2

R 

Q

C

L

R

1

2

1





Przy spełnieniu tego warunku obydwa pierwiastki  
są zespolone (zespolony i sprzężony z nim). 

2

2

,

1

L

2

R

LC

1

j

L

2

R































































t

L

2

R

LC

1

j

t

L

2

R

LC

1

j

t

)

L

2

R

(

2

2

e

e

e

A

)

t

(

i

Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie 
przejściowym jest sinusoidalny tłumiony, o 
oscylacjach zanikających do zera.

 

 

 

 

U

C

(t

)

przebiegi ładowania kondensatora w obwodzie 
RLC dla różnych wartości rezystancji  

R

. 

 

 

U

C

(t

)