14
III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
3.1 Pochodna funkcji w punkcie.
Jeśli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
i istnieje skończona
granica
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
∆
−
∆
+
→
∆
0
0
0
lim
, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji y = f(x) w
punkcie x
0
i oznaczamy symbolem f ‘(x
0
).
Interpretacja geometryczna.
( )
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
f
tg
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
0
0
0
0
lim
'
α
dla dowolnego punktu x
0
= x (w którym funkcja f(x)
jest różniczkowalna), możemy zapisać:
( )
(
)
( )
x
x
f
x
x
f
x
f
tg
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
0
lim
'
α
3.2 Na podstawie definicji wyznaczyć pochodne nst. funkcji:
15
( )
( )
(
) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
(
) ( )
a
a
x
a
a
x
a
a
x
x
f
x
x
f
x
f
a
x
a
rozw
do
pomoc
a
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
rozw
do
pomoc
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
1
lim
lim
lim
'
ln
1
lim
:
.
2
1
1
lim
lim
lim
'
cos
2
2
sin
2
cos
lim
2
sin
2
cos
2
lim
2
sin
2
cos
2
lim
2
sin
2
cos
2
lim
sin
sin
lim
lim
'
2
sin
2
cos
2
sin
sin
:
.
sin
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
∆
+
=
=
−
=
=
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
=
=
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
∆
+
=
=
∆
−
∆
+
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
−
+
=
−
=
∆
→
∆
∆
+
→
∆
→
∆
→
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
β
α
β
α
β
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
3
3
1
:
.
3
0
2
3
2
:
.
3
2
0
3
1
:
.
;
sin
1
:
.
;
2
cos
1
:
.
sin
:
.
cos
1
:
.
0
;
1
15
:
.
2
3
5
6
:
.
1
5
2
3
2
'
3
'
3
2
'
3
2
'
2
'
'
2
'
4
'
5
2
'
3
≠
−
=
−
=
>
+
=
+
=
≠
=
=
∈
≠
−
=
=
∈
+
≠
=
=
−
=
=
−
=
≠
=
=
−
=
−
=
+
−
=
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
f
odp
ctgx
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
f
odp
tgx
x
f
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
x
f
π
π
π
3.3 Własności pochodnych.
( ) ( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
[
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
[
]
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
∗
−
∗
=
∗
+
∗
=
∗
±
=
±
16
3.4 Pochodna funkcji odwrotnej.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
1
'
'
1
1
1
y
f
x
f
x
f
y
f
=
∪
=
−
−
Wyznaczyć pochodną funkcji
x
y
a
log
=
, dla
+
∈ R
x
Funkcją odwrotną jest funkcja:
y
a
x
=
, gdzie
R
y
∈ , zatem:
(
)
( )
'
'
1
log
y
a
a
x
=
; korzystając ze wzoru:
( )
a
a
a
y
y
ln
'
=
, otrzymujemy:
(
)
( )
a
x
a
a
a
x
y
y
a
ln
1
ln
1
1
log
'
'
=
=
=
, dla
+
∈ R
x
3.5 Pochodna funkcji złożonej.
( )
(
)
[
]
( )
(
)
( )
x
g
x
g
f
x
g
f
'
'
'
∗
=
;
gdzie
( )
(
)
x
g
f
jest tzw. funkcją zewnętrzną, a
( )
x
g
funkcją wewnętrzną funkcji złożonej
Pochodną funkcji oznaczamy często symbolem:
( )
( )
dx
x
dy
dx
x
df
lub
, albo w skrócie
odpowiednio:
dx
dy
dx
df
lub
, wówczas wzór na pochodną funkcji złożonej
( )
(
)
x
g
f
przyjmuje bardziej zrozumiałą postać; wystarczy dokonać podstawienia za funkcję
wewnętrzną
( )
z
x
g
=
, a otrzymamy:
dx
dz
dz
df
dx
df
∗
=
Przykłady:
( )
( )
( )
(
)
5
4
2
5
4
5
4
5
1
2
5
2
3
2
5
4
4
5
1
4
5
1
3
2
3
2
+
=
∗
=
∗
=
∗
=
=
=
+
=
+
=
−
x
x
x
z
x
z
dx
dz
dz
df
dx
df
z
z
f
z
x
x
g
x
x
f
( )
( )
( )
(
)
( )
z
x
z
f
z
x
x
g
x
f
5
1
ln
5
2
1
ln
2
=
=
+
=
=
+
należy zauważyć, że funkcja wewnętrzna g(x) jest również funkcją złożoną z funkcji:
( )
u
x
x
g
=
+
=
1
2
1
oraz funkcji zewnętrznej
( )
u
u
g
ln
=
, zatem jej pochodna
1
2
2
1
2
+
=
∗
=
∗
=
x
x
x
u
dx
du
du
dg
dx
dz
, zatem
( )
1
2
5
ln
5
1
2
5
ln
5
2
1
ln
2
2
+
∗
=
+
∗
=
∗
=
+
x
x
x
x
dx
dz
dz
df
dx
df
x
z
wzory pochodnych funkcji złożonych z trzech lub czterech funkcji:
17
dx
dv
dv
du
du
dz
dz
df
dx
df
dx
du
du
dz
dz
df
dx
df
*
*
*
*
*
=
=
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
1
;
1
;
1
arccos
*
2
:
.
arccos
*
1
;
2
4
;
2
cos
2
8
:
.
2
0
;
1
*
:
.
10
*
1
2
cos
*
1
2
sin
3
:
.
1
2
sin
1
2
*
3
ln
3
:
.
3
5
7
2
:
.
5
210
126
:
.
5
3
2
'
2
2
3
'
4
ln
'
ln
4
5
5
2
'
5
3
2
'
2
7
6
2
'
7
2
3
'
7
2
2
2
−
∈
−
+
=
−
−
=
∈
+
≠
=
=
>
=
=
−
−
=
−
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
+
+
x
gdzie
x
x
x
x
f
odp
x
x
x
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
tg
x
f
odp
x
tg
x
f
x
gdzie
x
e
x
f
odp
e
x
f
x
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
f
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
x
x
x
π
π
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
x
e
x
f
odp
e
x
f
x
x
x
f
odp
x
f
x
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
x
2
sin
*
:
.
2
2
*
3
ln
3
:
.
3
2
1
;
1
2
1
2
2
sin
:
.
1
2
sin
2
2
2
2
sin
'
sin
2
2
ln
'
2
ln
'
2
=
=
+
=
=
−
>
+
+
=
+
=
+
+
3.6 Pochodna funkcji
( )
( )
x
g
x
f
y
=
.
18
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
=
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
y
x
f
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
g
y
x
f
x
g
y
x
f
y
x
f
y
x
g
x
g
x
g
x
g
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
*
ln
*
*
*
*
ln
*
*
*
ln
*
*
ln
*
ln
*
ln
*
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
/
Przykłady:
(
)
+
+
+
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
+
x
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
1
*
1
sin
ln
*
1
2
1
2
sin
:
.
1
*
sin
ln
*
2
sin
:
.
1
ln
:
.
1
*
sin
ln
*
cos
:
.
2
1
sin
'
1
sin
2
sin
'
sin
'
sin
'
sin
2
2
2
2
3.7 Pochodna wyższych rzędów.
( )
( )
(
)
[
]
( )
N
n
gdzie
x
f
x
f
n
n
∈
=
−
'
1
Wyznaczyć drugą pochodną funkcji
( )
(
)
2
1
ln
x
x
x
f
+
+
=
.
19
( )
[
]
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
'
2
2
'
'
''
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
'
2
'
2
'
2
'
1
*
1
1
1
1
1
*
1
1
*
1
1
1
1
1
*
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
*
1
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
x
f
+
+
=
+
+
=
+
+
−
+
=
=
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
=
3.8 Zastosowanie pochodnej do obliczania granic funkcji – reguła de l’Hospitala.
Jeżeli:
1. funkcje
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
i
x
g
x
f
'
'
są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x
0
2.
( )
( )
( )
( )
∞
∞
⇒
±∞
=
=
⇒
=
=
→
→
→
→
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
lim
lim
lub
0
0
0
lim
lim
3. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa):
( )
( )
x
g
x
f
x
x
'
'
0
lim
→
to zachodzi równość:
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
'
'
0
0
lim
lim
→
→
=
Uwaga !!! – regułę de l’Hospitala stosujemy bezpośrednio do nst. symboli
nieoznaczonych:
∞
∞
i
0
0
; w pozostałych przypadkach, tzn.:
[
] [
]
[ ][ ][ ]
0
0
;
1
;
0
;
*
0
;
∞
∞
∞
−
∞
∞
stosujemy przekształcenia.
Wzory przekształcające symbole
[
] [
]
[ ][ ][ ]
0
0
;
1
;
0
;
*
0
;
∞
∞
∞
−
∞
∞
na
∞
∞
oraz
0
0
:
dla
[
]
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
*
1
1
1 −
=
−
⇒
∞
−
∞
dla
[
]
( ) ( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
1
*
*
0
=
⇒
∞
dla
[ ][ ][ ]
( )
( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
e
x
f
ln
0
0
;
1
;
0
=
⇒
∞
∞
przy czym
( )
( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
x
x
x
x
e
x
f
ln
lim
0
0
lim
→
=
→
Oblicz nst. granice funkcji:
20
(
)
1
:
.
4
lim
:
.
lim
1
:
.
lim
0
:
.
ln
lim
2
1
:
.
ln
1
1
lim
1
:
.
ln
lim
75
7
:
.
125
10
3
lim
2
2
2
1
1
1
0
0
1
3
2
5
odp
x
e
odp
x
odp
x
odp
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
→
−
→
→
→
→
∞
→
→
−
−
−
+
−
−
−
+
+
3.9 Zastosowanie pochodnej w badaniu niektórych własności funkcji.
1. monotoniczność funkcji
funkcja
( )
x
f
jest rosnąca (malejąca) na X wtedy i tylko wtedy gdy:
( )
( )
(
)
0
0
'
'
≤
∀
≥
∀
∈
∈
x
f
x
f
X
x
X
x
i
( )
x
f
'
nie równa się tożsamościowo zero, na żadnym
podprzedziale przedziału X (są to warunki konieczne i wystarczające); w praktyce często
korzystamy tylko z warunków wystarczających:
21
jeżeli
( )
0
'
>
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest rosnąca na X, czyli
( )
( )
(
)
definicja
x
f
x
f
x
x
X
x
x
−
>
⇒
>
∀
∈
2
1
2
1
,
2
1
jeżeli
( )
0
'
<
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest malejąca na X, czyli
( )
( )
(
)
definicja
x
f
x
f
x
x
X
x
x
−
<
⇒
>
∀
∈
2
1
2
1
,
2
1
2. ekstrema lokalne funkcji
jeżeli
( )
0
0
'
=
x
f
lub
( )
0
'
x
f
nie istnieje, to funkcja
( )
x
f
może mieć w punkcie
0
x
ekstremum lokalne:
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
0
x minimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji
( )
x
f
'
z
„- ” na „+” i zachodzi nierówność:
(
)
( )
( )
0
;
0
0
x
f
x
f
x
x
x
>
∀
±
∈
δ
- def.
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
0
x maksimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji
( )
x
f
'
z „+ ” na „-”i zachodzi nierówność:
(
)
( )
( )
0
0
x
f
x
f
x
x
<
∀
±
∈
δ
- def.
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
lub
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
nie posiada w punkcie
0
x ekstremum
lokalnego, czyli po obu stronach
0
x funkcja
( )
x
f
'
ma taki sam znak
Przykład:
zbadać monotoniczność i ekstremum funkcji:
( )
( )
↑
=
x
f
odp
x
x
f
:
.
4
dla
(
)
+∞
∈ ;
0
x
;
( )
↓
x
f
dla
(
)
0
;
∞
−
∈
x
;
(
)
0
min
=
f
dla x=0
( )
( )
↑
+
−
=
x
f
odp
x
x
x
f
:
.
10
5
3
3
5
dla
(
) (
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
;
1
1
;
x
;
( )
↓
x
f
dla
(
)
1
;
1
−
∈
x
;
(
)
12
max
=
f
dla x= -1;
( )
8
min
=
f
dla x= 1;
3. wypukłość i wklęsłość funkcji – warunek wystarczający:
jeżeli
( )
0
''
>
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest wypukła na przedziale X, czyli dla każdego
X
x
∈
0
wykres funkcji
( )
x
f
leży powyżej stycznej w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
jeżeli
( )
0
''
<
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest wklęsła na przedziale X, czyli dla każdego
X
x
∈
0
wykres funkcji
( )
x
f
leży poniżej stycznej w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
4. punkt przegięcia funkcji – warunek wystarczający:
jeżeli
( )
0
0
"
=
x
f
lub
( )
0
"
x
f
nie istnieje, to funkcja
( )
x
f
może mieć w punkcie
0
x punkt
przegięcia:
• jeżeli
(
)
( )
0
"
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
"
;
0
0
<
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
lub
(
)
( )
0
"
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
"
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
, to w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
, funkcja
( )
x
f
ma punkt przegięcia,
22
czyli wykres funkcji
( )
x
f
jest wypukły (wklęsły) na przedziale
(
)
δ
−
0
0
; x
x
i
wklęsły (wypukły) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
; x
x
5. asymptoty funkcji:
• asymptota pionowa – asymptotą pionową wykresu funkcji
( )
x
f
nazywamy
prostą x = x
0
, wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedna z granic:
( )
x
f
x
x
−
→
0
lim
- asymptota lewostronna,
( )
x
f
x
x
+
→
0
lim
- asymptota prawostronna, jest
niewłaściwa;
• asymptota ukośna – asymptotą ukośną funkcji
( )
x
f
nazywamy prostą
y = mx+n, wtedy i tylko wtedy, gdy:
( )
(
)
0
lim
=
+
−
±∞
→
n
mx
x
f
x
; stąd
otrzymujemy wzory na wielkości: „m” oraz „n”:
( )
=
+∞
→
x
x
f
m
x
lim
oraz
( )
(
)
mx
x
f
n
x
−
=
+∞
→
lim
- asymptota prawostronna
( )
=
−∞
→
x
x
f
m
x
lim
oraz
( )
(
)
mx
x
f
n
x
−
=
−∞
→
lim
- asymptota lewostronna
Uwaga:
a) jeżeli m = 0, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą
b) jeżeli chociaż jedna wielkość „m” lub „n” w jednej z powyższych
par równa się nieskończoności, wówczas asymptota ukośna (lewo
lub/i prawostronna) nie istnieje
Przebieg zmienności funkcji można badać wg poniższych punktów:
1. wyznaczenie dziedziny funkcji
2. znalezienie miejsc zerowych funkcji
3. wyznaczeni granice funkcji w krańcach dziedziny
4. zbadanie istnienia asymptot funkcji
5. wyznaczenie monotoniczności funkcji oraz ekstremów lokalnych (obliczenie wartości tych
ekstremów)
6. wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia
(obliczenie wartości punktów przegięcia)
7. sporządzenie tabelki zmienności funkcji
8. sporządzenie wykresu funkcji
Przykłady:
( ) (
)
3
4
+
= x
x
f
1. D:
R
x
∈
2. miejsca zerowe:
4
−
=
x
(jest to potrójny pierwiastek)
3.
(
)
−∞
=
+
−∞
→
3
4
lim x
x
23
(
)
+∞
=
+
+∞
→
3
4
lim x
x
4. asymptoty pionowe nie istnieją;
asymptoty ukośne:
(
)
+∞
=
+
−∞
→
x
x
x
3
4
lim
=m
(
)
+∞
=
+
+∞
→
x
x
x
3
4
lim
=m
zatem asymptoty ukośne również nie występują
5.
( ) (
)
2
'
4
3
+
= x
x
f
- D’:
R
x
∈
; pierwsza pochodna jest dodatnia dla
R
x
∈
\{-4},
dla x = -4 ma wartość 0, ale nie zmienia w tym punkcie znaku, zatem funkcja
( )
x
f
jest rosnąca dla
R
x
∈
i nie posiada ekstremów lokalnych
6.
( ) (
)
4
6
"
+
= x
x
f
- D”:
R
x
∈
;
( )
0
"
=
x
f
dla x = -4;
( )
x
f "
jest dodatnia dla
(
)
+∞
−
∈
;
4
x
;
( )
x
f "
jest ujemna dla
(
)
4
;
−
∞
−
∈
x
, zatem funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
x = -4 punkt przegięcia, którego wartość wynosi
( )
0
4
=
−
f
; funkcja
( )
x
f
jest
wypukła w przedziale
(
)
+∞
−
∈
;
4
x
oraz wklęsła dla
(
)
4
;
−
∞
−
∈
x
7.
8. wykres funkcji
( )
x
f
( )
(
)
2
1
1
2
−
−
=
x
x
x
f
1) D:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
2) miejsca zerowe:
2
1
=
x
3)
(
)
0
1
1
2
lim
2
=
−
−
−∞
→
x
x
x
(
)
+∞
=
−
−
−
→
2
1
1
1
2
lim
x
x
x
(
)
0
1
1
2
lim
2
=
−
−
+∞
→
x
x
x
(
)
+∞
=
−
−
+
→
2
1
1
1
2
lim
x
x
x
4) asymptota pionowa: x = 1 (obustronna)
asymptoty ukośne:
( )
(
)
1
2
0
1
1
2
lim
lim
m
x
x
x
x
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−∞
→
−∞
→
( )
(
)
2
2
0
1
1
2
lim
lim
m
x
x
x
x
x
f
x
x
=
=
−
−
=
+∞
→
+∞
→
( )
(
)
(
)
1
2
1
0
1
1
2
lim
lim
n
x
x
x
m
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−
−∞
→
−∞
→
( )
(
)
(
)
2
2
2
0
1
1
2
lim
lim
n
x
x
x
m
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−
+∞
→
+∞
→
x
(
)
4
;
−
∞
−
-4
(
)
+∞
− ;
4
( )
x
f
"
- 0 +
( )
x
f '
+ 0 +
( )
x
f
∞
− ↑ ∩
p.p.
( )
0
4
=
−
f
∪ ↑
∞
+
24
zatem prosta y = 0 jest asymptotą poziomą obustronną
5.
( ) (
)
(
)(
)
(
)
4
2
'
1
1
1
2
2
1
2
−
−
−
−
−
=
x
x
x
x
x
f
- D’:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
; pierwsza pochodna jest
równa zero dla
0
1
=
x
oraz
'
1
2
D
x
∉
=
; pierwsza pochodna jest dodatnia dla
( )
1
;
0
∈
x
a ujemna dla
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
0
;
x
, zatem funkcja
( )
x
f
jest rosnąca dla
( )
1
;
0
∈
x
oraz
malejąca dla
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
0
;
x
i posiada minimum lokalne:
( )
1
0
−
=
f
6.
( ) (
) (
)(
)
(
)
[
]
(
)
8
2
3
"
1
2
2
4
1
2
4
1
−
+
−
−
−
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
f
- D”:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
;
( )
0
"
=
x
f
dla x
1
= 1
"
D
∉
i
2
1
2
−
=
x
;
( )
x
f "
jest ujemna dla
−
∞
−
∈
2
1
;
x
;
( )
x
f "
jest dodatnia dla
(
)
+∞
∪
−
∈
;
1
1
;
2
1
x
, zatem funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
2
1
−
=
x
punkt przegięcia, którego wartość wynosi
9
8
2
1
−
=
−
f
; funkcja
( )
x
f
jest wypukła
w przedziale
−
∞
−
∈
2
1
;
x
oraz wklęsła dla
(
)
+∞
∪
−
∈
;
1
1
;
2
1
x
7.
x
−
∞
−
2
1
;
2
1
−
− 0;
2
1
0
2
1
;
0
2
1
1
;
2
1
1
(
)
+∞
;
1
( )
x
f
"
- 0 +
+
+
+
+
x
+
( )
x
f '
- - -
0
+
+
+
x
-
( )
x
f
0
↓
∩
p.p.
9
8
2
1
−
=
−
f
↓ ∪
min.
( )
1
0
−
=
f
∪
∪ ↑
∪ ↑
∪ ↑
x
∞
+
∞
+
∪ ↓ 0
8. wykres funkcji
POZOSTAŁE PRZYKŁADY (WRAZ Z ODPOWIEDZIAMI) ZNAJDUJĄ SIĘ W
PODANEJ LITERATURZE NA STRONIE 92.