14
III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
3.1 Pochodna funkcji w punkcie.
Jeśli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
i istnieje skończona
granica
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
∆
−
∆
+
→
∆
0
0
0
lim
, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji y = f(x) w
punkcie x
0
i oznaczamy symbolem f ‘(x
0
).
Interpretacja geometryczna.
( )
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
f
tg
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
0
0
0
0
lim
'
α
dla dowolnego punktu x
0
= x (w którym funkcja f(x)
jest różniczkowalna), możemy zapisać:
( )
(
)
( )
x
x
f
x
x
f
x
f
tg
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
0
lim
'
α
3.2 Na podstawie definicji wyznaczyć pochodne nst. funkcji:
15
( )
( )
(
) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
(
) ( )
a
a
x
a
a
x
a
a
x
x
f
x
x
f
x
f
a
x
a
rozw
do
pomoc
a
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
rozw
do
pomoc
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
1
lim
lim
lim
'
ln
1
lim
:
.
2
1
1
lim
lim
lim
'
cos
2
2
sin
2
cos
lim
2
sin
2
cos
2
lim
2
sin
2
cos
2
lim
2
sin
2
cos
2
lim
sin
sin
lim
lim
'
2
sin
2
cos
2
sin
sin
:
.
sin
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
∆
+
=
=
−
=
=
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
=
=
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
∆
+
=
=
∆
−
∆
+
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
−
+
=
−
=
∆
→
∆
∆
+
→
∆
→
∆
→
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
β
α
β
α
β
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
3
3
1
:
.
3
0
2
3
2
:
.
3
2
0
3
1
:
.
;
sin
1
:
.
;
2
cos
1
:
.
sin
:
.
cos
1
:
.
0
;
1
15
:
.
2
3
5
6
:
.
1
5
2
3
2
'
3
'
3
2
'
3
2
'
2
'
'
2
'
4
'
5
2
'
3
≠
−
=
−
=
>
+
=
+
=
≠
=
=
∈
≠
−
=
=
∈
+
≠
=
=
−
=
=
−
=
≠
=
=
−
=
−
=
+
−
=
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
gdzie
x
x
f
odp
x
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
f
odp
ctgx
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
f
odp
tgx
x
f
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
x
x
f
π
π
π
3.3 Własności pochodnych.
( ) ( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
[
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
[
]
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
∗
−
∗
=
∗
+
∗
=
∗
±
=
±
16
3.4 Pochodna funkcji odwrotnej.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
1
'
'
1
1
1
y
f
x
f
x
f
y
f
=
∪
=
−
−
Wyznaczyć pochodną funkcji
x
y
a
log
=
, dla
+
∈ R
x
Funkcją odwrotną jest funkcja:
y
a
x
=
, gdzie
R
y
∈ , zatem:
(
)
( )
'
'
1
log
y
a
a
x
=
; korzystając ze wzoru:
( )
a
a
a
y
y
ln
'
=
, otrzymujemy:
(
)
( )
a
x
a
a
a
x
y
y
a
ln
1
ln
1
1
log
'
'
=
=
=
, dla
+
∈ R
x
3.5 Pochodna funkcji złożonej.
( )
(
)
[
]
( )
(
)
( )
x
g
x
g
f
x
g
f
'
'
'
∗
=
;
gdzie
( )
(
)
x
g
f
jest tzw. funkcją zewnętrzną, a
( )
x
g
funkcją wewnętrzną funkcji złożonej
Pochodną funkcji oznaczamy często symbolem:
( )
( )
dx
x
dy
dx
x
df
lub
, albo w skrócie
odpowiednio:
dx
dy
dx
df
lub
, wówczas wzór na pochodną funkcji złożonej
( )
(
)
x
g
f
przyjmuje bardziej zrozumiałą postać; wystarczy dokonać podstawienia za funkcję
wewnętrzną
( )
z
x
g
=
, a otrzymamy:
dx
dz
dz
df
dx
df
∗
=
Przykłady:
( )
( )
( )
(
)
5
4
2
5
4
5
4
5
1
2
5
2
3
2
5
4
4
5
1
4
5
1
3
2
3
2
+
=
∗
=
∗
=
∗
=
=
=
+
=
+
=
−
x
x
x
z
x
z
dx
dz
dz
df
dx
df
z
z
f
z
x
x
g
x
x
f
( )
( )
( )
(
)
( )
z
x
z
f
z
x
x
g
x
f
5
1
ln
5
2
1
ln
2
=
=
+
=
=
+
należy zauważyć, że funkcja wewnętrzna g(x) jest również funkcją złożoną z funkcji:
( )
u
x
x
g
=
+
=
1
2
1
oraz funkcji zewnętrznej
( )
u
u
g
ln
=
, zatem jej pochodna
1
2
2
1
2
+
=
∗
=
∗
=
x
x
x
u
dx
du
du
dg
dx
dz
, zatem
( )
1
2
5
ln
5
1
2
5
ln
5
2
1
ln
2
2
+
∗
=
+
∗
=
∗
=
+
x
x
x
x
dx
dz
dz
df
dx
df
x
z
wzory pochodnych funkcji złożonych z trzech lub czterech funkcji:
17
dx
dv
dv
du
du
dz
dz
df
dx
df
dx
du
du
dz
dz
df
dx
df
*
*
*
*
*
=
=
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
1
;
1
;
1
arccos
*
2
:
.
arccos
*
1
;
2
4
;
2
cos
2
8
:
.
2
0
;
1
*
:
.
10
*
1
2
cos
*
1
2
sin
3
:
.
1
2
sin
1
2
*
3
ln
3
:
.
3
5
7
2
:
.
5
210
126
:
.
5
3
2
'
2
2
3
'
4
ln
'
ln
4
5
5
2
'
5
3
2
'
2
7
6
2
'
7
2
3
'
7
2
2
2
−
∈
−
+
=
−
−
=
∈
+
≠
=
=
>
=
=
−
−
=
−
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
+
+
x
gdzie
x
x
x
x
f
odp
x
x
x
x
f
C
k
k
x
gdzie
x
x
tg
x
f
odp
x
tg
x
f
x
gdzie
x
e
x
f
odp
e
x
f
x
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
f
odp
x
f
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
x
x
x
π
π
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
x
e
x
f
odp
e
x
f
x
x
x
f
odp
x
f
x
x
x
x
f
odp
x
x
f
x
x
x
x
2
sin
*
:
.
2
2
*
3
ln
3
:
.
3
2
1
;
1
2
1
2
2
sin
:
.
1
2
sin
2
2
2
2
sin
'
sin
2
2
ln
'
2
ln
'
2
=
=
+
=
=
−
>
+
+
=
+
=
+
+
3.6 Pochodna funkcji
( )
( )
x
g
x
f
y
=
.
18
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
=
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
y
x
f
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
g
x
f
x
g
y
y
x
f
x
g
y
x
f
x
g
y
x
f
y
x
f
y
x
g
x
g
x
g
x
g
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
*
ln
*
*
*
*
ln
*
*
*
ln
*
*
ln
*
ln
*
ln
*
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
/
Przykłady:
(
)
+
+
+
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
+
x
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
y
odp
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
1
*
1
sin
ln
*
1
2
1
2
sin
:
.
1
*
sin
ln
*
2
sin
:
.
1
ln
:
.
1
*
sin
ln
*
cos
:
.
2
1
sin
'
1
sin
2
sin
'
sin
'
sin
'
sin
2
2
2
2
3.7 Pochodna wyższych rzędów.
( )
( )
(
)
[
]
( )
N
n
gdzie
x
f
x
f
n
n
∈
=
−
'
1
Wyznaczyć drugą pochodną funkcji
( )
(
)
2
1
ln
x
x
x
f
+
+
=
.
19
( )
[
]
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
'
2
2
'
'
''
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
'
2
'
2
'
2
'
1
*
1
1
1
1
1
*
1
1
*
1
1
1
1
1
*
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
*
1
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
x
f
+
+
=
+
+
=
+
+
−
+
=
=
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
=
3.8 Zastosowanie pochodnej do obliczania granic funkcji – reguła de l’Hospitala.
Jeżeli:
1. funkcje
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
i
x
g
x
f
'
'
są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x
0
2.
( )
( )
( )
( )
∞
∞
⇒
±∞
=
=
⇒
=
=
→
→
→
→
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
lim
lim
lub
0
0
0
lim
lim
3. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa):
( )
( )
x
g
x
f
x
x
'
'
0
lim
→
to zachodzi równość:
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
'
'
0
0
lim
lim
→
→
=
Uwaga !!! – regułę de l’Hospitala stosujemy bezpośrednio do nst. symboli
nieoznaczonych:
∞
∞
i
0
0
; w pozostałych przypadkach, tzn.:
[
] [
]
[ ][ ][ ]
0
0
;
1
;
0
;
*
0
;
∞
∞
∞
−
∞
∞
stosujemy przekształcenia.
Wzory przekształcające symbole
[
] [
]
[ ][ ][ ]
0
0
;
1
;
0
;
*
0
;
∞
∞
∞
−
∞
∞
na
∞
∞
oraz
0
0
:
dla
[
]
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
*
1
1
1 −
=
−
⇒
∞
−
∞
dla
[
]
( ) ( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
1
*
*
0
=
⇒
∞
dla
[ ][ ][ ]
( )
( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
e
x
f
ln
0
0
;
1
;
0
=
⇒
∞
∞
przy czym
( )
( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
x
x
x
x
e
x
f
ln
lim
0
0
lim
→
=
→
Oblicz nst. granice funkcji:
20
(
)
1
:
.
4
lim
:
.
lim
1
:
.
lim
0
:
.
ln
lim
2
1
:
.
ln
1
1
lim
1
:
.
ln
lim
75
7
:
.
125
10
3
lim
2
2
2
1
1
1
0
0
1
3
2
5
odp
x
e
odp
x
odp
x
odp
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
→
−
→
→
→
→
∞
→
→
−
−
−
+
−
−
−
+
+
3.9 Zastosowanie pochodnej w badaniu niektórych własności funkcji.
1. monotoniczność funkcji
funkcja
( )
x
f
jest rosnąca (malejąca) na X wtedy i tylko wtedy gdy:
( )
( )
(
)
0
0
'
'
≤
∀
≥
∀
∈
∈
x
f
x
f
X
x
X
x
i
( )
x
f
'
nie równa się tożsamościowo zero, na żadnym
podprzedziale przedziału X (są to warunki konieczne i wystarczające); w praktyce często
korzystamy tylko z warunków wystarczających:
21
jeżeli
( )
0
'
>
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest rosnąca na X, czyli
( )
( )
(
)
definicja
x
f
x
f
x
x
X
x
x
−
>
⇒
>
∀
∈
2
1
2
1
,
2
1
jeżeli
( )
0
'
<
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest malejąca na X, czyli
( )
( )
(
)
definicja
x
f
x
f
x
x
X
x
x
−
<
⇒
>
∀
∈
2
1
2
1
,
2
1
2. ekstrema lokalne funkcji
jeżeli
( )
0
0
'
=
x
f
lub
( )
0
'
x
f
nie istnieje, to funkcja
( )
x
f
może mieć w punkcie
0
x
ekstremum lokalne:
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
0
x minimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji
( )
x
f
'
z
„- ” na „+” i zachodzi nierówność:
(
)
( )
( )
0
;
0
0
x
f
x
f
x
x
x
>
∀
±
∈
δ
- def.
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
0
x maksimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji
( )
x
f
'
z „+ ” na „-”i zachodzi nierówność:
(
)
( )
( )
0
0
x
f
x
f
x
x
<
∀
±
∈
δ
- def.
• jeżeli
(
)
( )
0
'
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
lub
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
'
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
to funkcja
( )
x
f
nie posiada w punkcie
0
x ekstremum
lokalnego, czyli po obu stronach
0
x funkcja
( )
x
f
'
ma taki sam znak
Przykład:
zbadać monotoniczność i ekstremum funkcji:
( )
( )
↑
=
x
f
odp
x
x
f
:
.
4
dla
(
)
+∞
∈ ;
0
x
;
( )
↓
x
f
dla
(
)
0
;
∞
−
∈
x
;
(
)
0
min
=
f
dla x=0
( )
( )
↑
+
−
=
x
f
odp
x
x
x
f
:
.
10
5
3
3
5
dla
(
) (
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
;
1
1
;
x
;
( )
↓
x
f
dla
(
)
1
;
1
−
∈
x
;
(
)
12
max
=
f
dla x= -1;
( )
8
min
=
f
dla x= 1;
3. wypukłość i wklęsłość funkcji – warunek wystarczający:
jeżeli
( )
0
''
>
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest wypukła na przedziale X, czyli dla każdego
X
x
∈
0
wykres funkcji
( )
x
f
leży powyżej stycznej w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
jeżeli
( )
0
''
<
∀
∈
x
f
X
x
to funkcja
( )
x
f
jest wklęsła na przedziale X, czyli dla każdego
X
x
∈
0
wykres funkcji
( )
x
f
leży poniżej stycznej w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
4. punkt przegięcia funkcji – warunek wystarczający:
jeżeli
( )
0
0
"
=
x
f
lub
( )
0
"
x
f
nie istnieje, to funkcja
( )
x
f
może mieć w punkcie
0
x punkt
przegięcia:
• jeżeli
(
)
( )
0
"
;
0
0
>
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
"
;
0
0
<
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
lub
(
)
( )
0
"
;
0
0
<
∀
−
∈
x
f
x
x
x
δ
oraz
(
)
( )
0
"
;
0
0
>
∀
+
∈
x
f
x
x
x
δ
, to w punkcie
( )
(
)
0
0
0
;
x
f
x
P
, funkcja
( )
x
f
ma punkt przegięcia,
22
czyli wykres funkcji
( )
x
f
jest wypukły (wklęsły) na przedziale
(
)
δ
−
0
0
; x
x
i
wklęsły (wypukły) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
; x
x
5. asymptoty funkcji:
• asymptota pionowa – asymptotą pionową wykresu funkcji
( )
x
f
nazywamy
prostą x = x
0
, wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedna z granic:
( )
x
f
x
x
−
→
0
lim
- asymptota lewostronna,
( )
x
f
x
x
+
→
0
lim
- asymptota prawostronna, jest
niewłaściwa;
• asymptota ukośna – asymptotą ukośną funkcji
( )
x
f
nazywamy prostą
y = mx+n, wtedy i tylko wtedy, gdy:
( )
(
)
0
lim
=
+
−
±∞
→
n
mx
x
f
x
; stąd
otrzymujemy wzory na wielkości: „m” oraz „n”:
( )
=
+∞
→
x
x
f
m
x
lim
oraz
( )
(
)
mx
x
f
n
x
−
=
+∞
→
lim
- asymptota prawostronna
( )
=
−∞
→
x
x
f
m
x
lim
oraz
( )
(
)
mx
x
f
n
x
−
=
−∞
→
lim
- asymptota lewostronna
Uwaga:
a) jeżeli m = 0, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą
b) jeżeli chociaż jedna wielkość „m” lub „n” w jednej z powyższych
par równa się nieskończoności, wówczas asymptota ukośna (lewo
lub/i prawostronna) nie istnieje
Przebieg zmienności funkcji można badać wg poniższych punktów:
1. wyznaczenie dziedziny funkcji
2. znalezienie miejsc zerowych funkcji
3. wyznaczeni granice funkcji w krańcach dziedziny
4. zbadanie istnienia asymptot funkcji
5. wyznaczenie monotoniczności funkcji oraz ekstremów lokalnych (obliczenie wartości tych
ekstremów)
6. wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia
(obliczenie wartości punktów przegięcia)
7. sporządzenie tabelki zmienności funkcji
8. sporządzenie wykresu funkcji
Przykłady:
( ) (
)
3
4
+
= x
x
f
1. D:
R
x
∈
2. miejsca zerowe:
4
−
=
x
(jest to potrójny pierwiastek)
3.
(
)
−∞
=
+
−∞
→
3
4
lim x
x
23
(
)
+∞
=
+
+∞
→
3
4
lim x
x
4. asymptoty pionowe nie istnieją;
asymptoty ukośne:
(
)
+∞
=
+
−∞
→
x
x
x
3
4
lim
=m
(
)
+∞
=
+
+∞
→
x
x
x
3
4
lim
=m
zatem asymptoty ukośne również nie występują
5.
( ) (
)
2
'
4
3
+
= x
x
f
- D’:
R
x
∈
; pierwsza pochodna jest dodatnia dla
R
x
∈
\{-4},
dla x = -4 ma wartość 0, ale nie zmienia w tym punkcie znaku, zatem funkcja
( )
x
f
jest rosnąca dla
R
x
∈
i nie posiada ekstremów lokalnych
6.
( ) (
)
4
6
"
+
= x
x
f
- D”:
R
x
∈
;
( )
0
"
=
x
f
dla x = -4;
( )
x
f "
jest dodatnia dla
(
)
+∞
−
∈
;
4
x
;
( )
x
f "
jest ujemna dla
(
)
4
;
−
∞
−
∈
x
, zatem funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
x = -4 punkt przegięcia, którego wartość wynosi
( )
0
4
=
−
f
; funkcja
( )
x
f
jest
wypukła w przedziale
(
)
+∞
−
∈
;
4
x
oraz wklęsła dla
(
)
4
;
−
∞
−
∈
x
7.
8. wykres funkcji
( )
x
f
( )
(
)
2
1
1
2
−
−
=
x
x
x
f
1) D:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
2) miejsca zerowe:
2
1
=
x
3)
(
)
0
1
1
2
lim
2
=
−
−
−∞
→
x
x
x
(
)
+∞
=
−
−
−
→
2
1
1
1
2
lim
x
x
x
(
)
0
1
1
2
lim
2
=
−
−
+∞
→
x
x
x
(
)
+∞
=
−
−
+
→
2
1
1
1
2
lim
x
x
x
4) asymptota pionowa: x = 1 (obustronna)
asymptoty ukośne:
( )
(
)
1
2
0
1
1
2
lim
lim
m
x
x
x
x
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−∞
→
−∞
→
( )
(
)
2
2
0
1
1
2
lim
lim
m
x
x
x
x
x
f
x
x
=
=
−
−
=
+∞
→
+∞
→
( )
(
)
(
)
1
2
1
0
1
1
2
lim
lim
n
x
x
x
m
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−
−∞
→
−∞
→
( )
(
)
(
)
2
2
2
0
1
1
2
lim
lim
n
x
x
x
m
x
f
x
x
=
=
−
−
=
−
+∞
→
+∞
→
x
(
)
4
;
−
∞
−
-4
(
)
+∞
− ;
4
( )
x
f
"
- 0 +
( )
x
f '
+ 0 +
( )
x
f
∞
− ↑ ∩
p.p.
( )
0
4
=
−
f
∪ ↑
∞
+
24
zatem prosta y = 0 jest asymptotą poziomą obustronną
5.
( ) (
)
(
)(
)
(
)
4
2
'
1
1
1
2
2
1
2
−
−
−
−
−
=
x
x
x
x
x
f
- D’:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
; pierwsza pochodna jest
równa zero dla
0
1
=
x
oraz
'
1
2
D
x
∉
=
; pierwsza pochodna jest dodatnia dla
( )
1
;
0
∈
x
a ujemna dla
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
0
;
x
, zatem funkcja
( )
x
f
jest rosnąca dla
( )
1
;
0
∈
x
oraz
malejąca dla
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
0
;
x
i posiada minimum lokalne:
( )
1
0
−
=
f
6.
( ) (
) (
)(
)
(
)
[
]
(
)
8
2
3
"
1
2
2
4
1
2
4
1
−
+
−
−
−
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
f
- D”:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
;
1
1
;
x
;
( )
0
"
=
x
f
dla x
1
= 1
"
D
∉
i
2
1
2
−
=
x
;
( )
x
f "
jest ujemna dla
−
∞
−
∈
2
1
;
x
;
( )
x
f "
jest dodatnia dla
(
)
+∞
∪
−
∈
;
1
1
;
2
1
x
, zatem funkcja
( )
x
f
ma w punkcie
2
1
−
=
x
punkt przegięcia, którego wartość wynosi
9
8
2
1
−
=
−
f
; funkcja
( )
x
f
jest wypukła
w przedziale
−
∞
−
∈
2
1
;
x
oraz wklęsła dla
(
)
+∞
∪
−
∈
;
1
1
;
2
1
x
7.
x
−
∞
−
2
1
;
2
1
−
− 0;
2
1
0
2
1
;
0
2
1
1
;
2
1
1
(
)
+∞
;
1
( )
x
f
"
- 0 +
+
+
+
+
x
+
( )
x
f '
- - -
0
+
+
+
x
-
( )
x
f
0
↓
∩
p.p.
9
8
2
1
−
=
−
f
↓ ∪
min.
( )
1
0
−
=
f
∪
∪ ↑
∪ ↑
∪ ↑
x
∞
+
∞
+
∪ ↓ 0
8. wykres funkcji
POZOSTAŁE PRZYKŁADY (WRAZ Z ODPOWIEDZIAMI) ZNAJDUJĄ SIĘ W
PODANEJ LITERATURZE NA STRONIE 92.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ca ka troch teorii zadania
Macierze troch teorii zadania
Funkcja troch teorii zadania
Funkcja wielu zmiennych troch teorii zadania
Logika troch teorii zadania
pochodne związków karbonylowych zadania
Pochodne regula Hospitala zadania domowe
Pochodne regula Hospitala zadania domowe
pochodne związków karbonylowych zadania
Pochodne zadania cz 2 id 364419
Zadania z Teorii Drgań 11
więcej podobnych podstron