Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

POCHODNE FUNKCJI I REGUŠA DE L'HOSPITALA

zadania domowe

Zadanie 1. Obliczy¢ z denicji pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1) f(x) = x

2

,

2) f(x) =

√

2x + 5

,

3) f(x) =

3

√

x

,

4) f(x) = tg 2x,

5) f(x) = ln(5x + 1),

6) f(x) =

1

x + 3

,

7) f(x) = pln(2x + 5),

8) f(x) = tg

√

3x − 1

,

9) f(x) = sin



pln(5x + 1)



10) f(x) = e

sin(2x−3)

,

11) f(x) = ln(tg

√

x)

,

12) f(x) = sin

2

3x

.

Zadanie 2. Korzystaj¡c z twierdze« o ró»niczkowaniu wyznaczy¢ mo»liwie najprostsz¡

posta¢ pochodnych funkcji:

1) f(x) = sin x + 2tgx − 2

x

− 3arctgx

,

2) f(x) =

e

x

log x

,

3) f(x) = x

3

sin x

,

4) f(y) = y +

√

y +

7

√

y +

1

3

√

y

,

5) f(x) =

√

2x + 5

,

6) f(x) =

2x + 1

x

2

,

7) f(x) = tg 2x,

8) f(x) = ln(5x + 1),

9) f(x) = ln(x

2

+ 3x)

,

10) f(x) = pln(2x + 5)

11) f(x) = tg

√

3x − 1

,

12) f(t) = t

√

1 − t

2

,

13) f(x) = e

sin(2x−3)

,

14) f(x) = ln(tg

√

x)

,

15) f(x) = sin

2

3x

,

16) f(y) = arctg(2y − 3)

17) f(x) = sin (sin(cos x)),

18) f(y) =

y

p3 − y

2

,

19) f(x) = log

x

(x + 1)

,

20) f(t) = e

t

t

2

cos t

,

21) h(x) =

1

tg

2

x

,

22) f(y) =

√

y + 1 − ln(1 +

√

y + 1)

,

23) f(x) = tg

x

2

− ctg

x

3

,

24) f(x) = ln tg

x

2

,

25) f(x) = sin



pln(5x + 1)

,

26) f(t) = 3 ln

1 +

√

1 − t

2

t

,

27) f(t) = e

t

2

cos t

,

28) f(x) = arcsin

x−1

√

x

,

29) f(x) = ctg

√

x

,

30) h(x) = arccos

4

√

x

,

31) f(x) = x

sin x

,

32) f(x) = x +

√

1 − x

2

,

33) f(y) = arcsin

1

y

,

34) f(x) = ln

r 1 − sin x

1 + sin x

,

1

35) f(z) = tg

3

r

5 sin z

2

ln z

!

e

4z

,

36) f(x) =

x

√

x

,

37) f(x) =

arcsinx

√

1 − x

2

+

1

2

ln

1 −

√

1 − x

2

1 +

√

1 − x

2

,

38) f(x) = sin [cos

2

(tg

3

√

ctgx)]

,

39) f(y) = (sin y)

ln y

,

40) f(t) = sin

3

t

tg

2

t

,

41) f(x) =

q

x +

p

1 +

4

√

2x + 1

,

42) f(x) = x

(sin x)

tgx

.

Zadanie 3. Wyznaczy¢ pochodne drugiego i trzeciego rz¡du funkcji:

1) f(x) = arctgx,

2) f(x) = x

3

e

x

,

3) f(x) =

√

xe

−2x

2

,

4) f(x) =

sin 2x

x

3

.

Zadanie 4. Wyznaczy¢ pochodn¡ drugiego rz¦du funkcji f(x) =







x

4

, x < 0

0

, x = 0

sin

4

x , x > 0

.

Zadanie 5. Znale¹¢ wzory ogólne na pochodn¡ n-tego rz¦du podanych funkcji:

1) f(x) =

1

x

,

2) f(x) = sin x,

3) f(x) = xe

x

,

4) f(x) = e

−2x

.

Zadanie 6. Korzystaj¡ z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ nast¦puj¡ce granice funkcji:

1) lim

x→∞

x

2

x

,

2) lim

x→∞

5

√

x

ln x

,

3) lim

x→0

+

√

x

arcsin 2x

,

4) lim

x→1

ln x

x

2

+ x − 2

,

5) lim

x→−∞

π − arctgx

π − arctg3x

,

6) lim

x→0

x −

arctgx
x

3

,

7) lim

x→0

e

x

2

− 1

cos x − 1

,

8) lim

x→0

3

x

− 2

x

x

√

1 − x

2

,

9) lim

x→∞

(π − 2

arctgx) ln x ,

10) lim

x→1

1 − x

ln x

,

11) lim

x→0

ln x

ln sin x

,

12) lim

x→0

 1

x

2

−

1

sin

2

x



,

13) lim

x→0

x −

tgx

x

2

tgx

,

14) lim

x→0

x

sin x

,

15) lim

x→0



ctgx −

1

x



,

16) lim

x→0

x

2

e

1

x2

,

17) lim

x→

π

2

(

tgx)

2x−π

,

18) lim

x→0

x

2

sin

1
x

sin x

,

19) lim

x→1

+

ln x

√

x

2

− 1

,

20) lim

x→0

x − sin x

x

3

,

21) lim

x→1

−

(1 − x) ln(1 − x)

,

22) lim

x→∞

x

1
x

,

23) lim

x→0

+

 1

x



sin x

,

24) lim

x→0

ln cos x

ln cos 3x

,

25) lim

x→∞

(1 +

e

x

)

1
x

,

26) lim

x→0

 1

x

−

1

sin x



,

27) lim

x→1



1

ln x

−

1

x − 1



,

28) lim

x→0

 arcsin x

x



1

x2

,

2

29) lim

x→∞

 2

π

arctgx



x

2

,

30) lim

x→0

[ln(x + 1)]

x

,

31) lim

x→0

e

x

− e

−x

− 2x

x − sin x

,

32) lim

x→∞



x − x

2

ln



1 +

1

x



,

33) lim

x→1

x

x

− 1

ln x

,

34) lim

x→0

x − sin x

x − tgx

.

Zadanie 6. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice. Czy mo»na tu zastosowa¢ reguª¦ de l'Hospitala?

1) lim

x→∞

x − sin

2

x

x + sin

2

x

,

2) lim

x→0

x

2

sin

1
x

sin x

,

3) lim

x→∞

x + sin x

x − sin x

,

4) lim

x→0

x

3

sin

1

x

sin

2

x

,

5) lim

x→−∞

x + cos 2x

x − cos 4x

.

3