Odwzorowanie wiernokątne Gaussa - Krugera

Najbardziej korzystnym układem z którym mamy do czynienia w geodezji jest układ

współrzędnych prostokątnych (na płaszczyźnie). Taki układ ułatwia rozwiązanie
szeregu zagadnień, gdyż związki zachodzące na płaszczyźnie dają się wyrazić w
sposób prosty.

Rzut Gaussa – Krugera jest wiernokątnym odwzorowaniem walcowym (walec w

położeniu poprzecznym – styczny w południku zwanym południkiem osiowym)

Dal celów geodezyjnych używa się w Polsce trzystopniowych pasów południkowych z

południkami osiowymi:

15°, 18 °, 21 °, 24°

(na wschód od Greenwich)

Przy wyprowadzeniu formuł odwzorowawczych zrobiono następujące założenia:
1. południk osiowy odwzorowuje się w postaci linii prostej, która służy jako oś

odciętych

2. odcięta punktu leżącego na południku osiowym powinna być równa długości łuku

południka liczonego od równika do danego punktu.

Rzędne w południku są równe zeru, przecięcie południka osiowego z równikiem jest
początkiem układu. Współrzędnymi punktu P są:

P

P

1

P

0

równik

Y

X

połu

dn

ik

osi

owy

X = P

0

P

1

Y = P

1

P

Odcięta X ma zawsze znak dodatni.

Rzędna Y będzie dodatnia jeżeli leży na wschód i
ujemna jeżeli leży na zachód od południka osiowego.
Aby jednak współrzędne punktów miały zawsze
znak dodatni wprowadza się następujący sposób
oznaczenia. Rzędną południka osiowego oblicza się
dzieląc numer południka osiowego przez trzy.
Otrzymana liczba wskazuje ilość tysięcy kilometrów.
Następnie do tej liczby dodaje się 500 km. Np. dla
południka osiowego, którego długość geodezyjna

L = 21°

rzędna wynosi

Y

0

= 7500 km

Jeżeli punkt nie leży w południku osiowym, to jego rzędna będzie wynosić:

Y = Y

0

+ y





4

2

2

3

4

4

2

2

2

4

9

5

cos

sin

24

cos

sin

2





















t

B

B

l

N

B

B

l

N

X

X

poł









2

2

2

4

2

5

5

5

2

2

3

3

3

58

14

18

5

cos

120

1

cos

6

cos

t

t

t

B

l

N

t

B

l

N

B

l

N

Y































Gdzie:

B

e cos

'





B

t

tan



Skala m w tym odwzorowaniu wyraża się wzorem:









2

4

4

4

2

2

2

2

4

5

cos

24

1

cos

2

1

t

B

l

B

l

m

















gdzie

X

poł

- długość łuku południka





B

poł

MdB

X

0

l – różnica długości geodezyjnych danego punktu i południka osiowego

(1)

(2)

Para funkcji odwzorowawczych Gaussa-Krugera (odwzorowanie elipsoidy obrotowej na
pobocznice walca) ma następująca postać:

Powyższe wzory można wykorzystywać do obliczenia współrzędnych, zastąpiwszy w
nich Xpoł wyrażeniem długości łuku południka. W tym celu należy





















B

B

poł

B

e

dB

e

a

MdB

X

0

0

3

2

2

2

sin

1

1

Jest to całka eliptyczna, nie mająca rozwiązania w dziedzinie funkcji elementarnych.
Obliczamy jej wartość rozwijając wyrażenie podcałkowe według wzory Newtona na
dwumian i całkując następnie ten szereg wyraz po wyrazie. Po rozwinięciu otrzymamy całkę























B

dB

B

A

B

A

B

A

A

e

a

X

0

6

4

2

0

2

...

6

cos

4

cos

2

cos

1

a po scałkowaniu:





...

6

sin

4

cos

2

sin

6

4

2

0











B

A

B

A

B

A

B

A

a

X

(3)

przy czym:

256

5

64

3

4

1

6

4

2

0

e

e

e

A

























4

3

256

15

6

4

4

e

e

A



















128

15

4

8

3

6

4

2

2

e

e

e

A

3072

35

6

6

e

A



Za pomocą tych wzorów można osiągnąć dokładność obliczeń x,y lepszą niż 1 mm dla l ≤3°

Zamiana współrzędnych prostokątnych x, y na geodezyjne B, L wyraża się wzorami, które
można otrzymać rozwiązując najpierw iteracyjnie równania (1) i (2) względem B i l.
Objaśnimy pokrótce ten proces. Najpierw wyznacza się pierwsze przybliżenie l, biorąc
tylko pierwszy wyraz wzoru (2), tzn.:



B

N

y

l

cos



Po podniesieniu do trzeciej potęgi podstawia się otrzymaną wartość do (2). Z dwóch
pierwszych wyrazów tak przekształconego wzoru wyznacza się l w drugim przybliżeniu.
Kontynuacja takiego postępowania pozwala wprowadzić do wzoru na l kolejne wyrazy.
Otrzymamy:









2

2

2

4

2

5

5

2

2

3

3

38

6

9

2

5

cos

120

1

cos

6

cos

t

t

t

B

N

y

t

B

N

y

B

N

y

l































Po prawej stronie wzoru występują funkcje nieznanego argumentu B, tzn. N, t, η i cosB.
Aby wyliczyć l, trzeba najpierw wyznaczyć B. Wyprowadzenie wzoru na B jest nieco
bardziej złożone. Najpierw należy obliczyć kolejne parzyste potęgi ostatniego wzoru na l.
Otrzymane wyrażenia wprowadza się do wzoru (1). PO przeniesieniu X na lewą stronę
otrzymamy wyrażenie na (x-X) w funkcji y, N, t i η, z którego wyeliminowaliśmy l.









4

2

5

6

4

2

2

3

4

45

30

1

720

4

5

3

1

24

2

t

t

N

t

y

t

N

t

y

N

yt

X

x























Następnie biorąc X ≡ x, wyznacza się przez postępowanie iteracyjne ze wzoru (3) pewna
wartość szerokości B

1

odpowiadającą kątowi mierze łuku południka o długości x.

Różnica długości łuków południka (x-X) może być wyrażona z dostatecznym
przybiżeniem przez równanie drugiego stopnia względem (B

1

-B)













2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

sin

1

cos

2

3





M

B

B

e

a

B

e

B

e

t

B

B

M

X

x















Porównanie prawych stron dwóch ostatnich wyrażeń uwolni nas od wartości (x-X).
Rozwiązanie otrzymanego równania względem (B

1

-B) metodą kolejnych przybliżeń daje

wyrażenie na różnicę (B

1

-B). Na koniec rozwinięcie t, η i (MN)

-1

w szeregi względem

małej wartości (B1-B) prowadzi do wzoru, w którym - oprócz y – wszystkie inne wielkości
są zależne od B

1

. Wzór ten przedstawia się następująco:







































4

1

2

1

4

1

4

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

45

90

61

360

9

3

5

12

1

2

t

t

N

y

t

t

N

y

t

N

M

y

B

B





Redukcja kierunków i redukcja boków w odwzorowaniu wiernokątnym Gaussa-Krugera

Wyobraźmy sobie, że na elipsoidzie obrotowej mamy trójkąt P

1

P

2

P

3

. Kąt P

2

P

1

P

3

zawarty

jest między przekrojami normalnymi z punktu P

1

na punkty P

2

i P

3

. W odwzorowaniu na

płaszczyznę (odwzorowanie wiernokątne przekroje są liniami krzywymi). W takim
wypadku zachodzi oczywiście równość katów.

Jeśli odwzorujemy na płaszczyznę punkty P

1

, P

2

i P

3

, a następnie połączymy punkt P

1

’ z

punktami P

2

’ i P

3

’, to otrzymany kąt nie będzie równy katowi na elipsoidzie. W takim

wypadku nastąpi zniekształcenie kątowe i jeżeli chcemy obliczyć wielkość kąta na
płaszczyźnie, to musimy uwzględnić redukcje odwzorowawcze.

Podstawowe oznaczenia i wielkości stosowane przy odwzorowaniu elipsoidy na
płaszczyznę podamy na przykładzie trójkąta P

1

P

2

P

3

.

QP – osiowy południk danej strefy
P

1

P – południk punktu P

1

P

1

T – krzywa równoległa do południka

osiowego QP (równoleżnik
geodezyjny)

s, s

1

, s

2

– linie geodezyjne

OX – obraz południka osiowego
P

1

’X – południk punktu P

1

’

P

1

’T’ – linia równoległa do południka

osiowego

Wskutek wiernokątności kąty między odpowiednimi liniami będą zachowane. Kąty w
wierzchołkach P

1

P

2

P

3

trójkąta geodezyjnego są równe kątom trójkąta płaskiego P

1

’P

2

’P

3

’

utworzonego przez krzywe – obrazy boków trójkąta na płaszczyźnie. Kat między cięciwą
a linia równoległą do południka osiowego nazywa się kątem kierunkowym na
płaszczyźnie i oznacza się literą



. Kąt γ nazywa się kątem zbieżności południków na

płaszczyźnie. Kąt δ (zawarty między cięciwą i obrazem linii geodezyjnej) nazywa się
redukcją kierunku. Różnica δ – t jest wielkością małą czwartego rzędu:

B

B

l

t

2

2

2

cos

sin

3

2









Kolejność przejścia z elipsoidy na płaszczyznę Gaussa - Krugera
1. Przeliczamy współrzędne geodezyjne B, L na współrzędne płaskie X, Y.
2. Przeliczamy azymut wyjściowy linii geodezyjnej na odpowiadający tej linii kąt
kierunkowy cięciwy

12

1

12

12













A

21

2

21

21













A





...

"

2

3

1

"

cos

sin

3

1

sin

"

"

2

4

2

2

2











l

B

B

B

l









Zazwyczaj w praktyce obliczanie γ” ograniczamy do pierwszego wyrazu zaś















2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

12

2

6

"

6

2

"

"

y

y

x

x

R

y

y

y

R

x

x

S

s

S

































3. Redukujemy boki i kąty na płaszczyznę Gaussa-Krugera. Redukcje kątowe
wprowadzamy według wzoru:

12

13

"

"

"











gdzie:

























6

2

"

"

1

3

2

1

3

13

y

y

y

R

x

x

s

S





























6

2

"

"

1

2

2

1

2

12

y

y

y

R

x

x

s

S





Dla obszaru Polski wzór ten można uprościć, przyjmując R

S

(średni promień krzywizny)

odpowiadający szerokości geodezyjnej B = 52°. Otrzymamy wówczas następujący wzór
na redukcję kierunku







2

1

1

2

2

0008439

,

0

"

y

y

x

x









gdzie x i y należy wziąć w kilometrach.

Redukcje boków wyznaczymy ze wzoru:



























2

2

2

1

2

1

2

6

1

1

y

y

y

y

R

s

d

S

S

Dla obszaru Polski:









2

2

2

1

2

1

9

0000000040

,

0

1

y

y

y

y

s

d

S











gdzie y należy wziąć w kilometrach.