Jak przedstawiać niepewności pomiarowe i jak z nich korzystać.

1. Eksperyment. Wyznacz przyspieszenie ziemskie korzystając z wahadła

matematycznego. Przeanalizuj jakimi niepewnościami pomiarowymi obar-
czony jest wynik i porównaj otrzymaną wartość z wartością tablicową.

2. W poniższej tabeli przedstawiono pomiary gęstości korony wykonane

przez dwóch ekspertów. Na ich podstawie roztrzygnij, czy korona jest wy-
konana z czystego złota, ρ

zota

= 15, 5 g/cm

3

, czy ze stopu ρ

stopu

= 13, 8

g/cm

3

.

Otrzymany wynik

Ekspert A

Ekspert B

Wartość oczekiwana ρ

korony

15

13,9

Zakres prawdopodobieństwa ρ

korony

13,5 - 16,5

13,7 - 14,1

3. Przepisz następujące odpowiedzi w najbardziej czytelnej formie z od-

powiednią liczbą cyfr znaczących:
a) h = 5, 03 ± 0, 04329 m;
b) t = 19, 5432 ± 1 s;
c) q = −3, 21 · 10

−19

± 2, 67 · 10

−20

C;

d) λ = 0, 000000563 ± 0, 00000007 m;
e) p = 3, 267 · 10

3

± 42g · cm/s.

4. Student pięciokrotnie mierzy gęstość cieczy (w g/cm

3

) i otrzymuje

wyniki: 1,8; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8. Jakie jest najlepsze przybliżenie i niepewność
tego pomiaru. Jaka jest rozbieżność pomiędzy najlepszym przybliżeniem a
wartością uznaną równą 1,85 g/cm

3

? Czy jest ona znacząca?

5. Aby zmierzyć czas 10 obrotów stolika obrotowego, użyto zegarka. Czas

ten określono odejmując czasy początku i końca pomiaru. Jaka jest niepew-
ność czasu dla 10 obrotów, jeśli czasy początkowy i końcowy, określone zo-
stały z niepewnością ±1 s każdy.

6. Oblicz niepewności procentowe dla pięciu pomiarów wymienionych w

zadaniu 3.

7. Linijka ma działki co 1 mm, suwmiarka zaś co 0,1 mm. Przypuśćmy,

że chcesz zmierzyć długość 2 cm z dokładnością 1 %. Czy możesz to zrobić
używając linijki? Czy jest to możliwe za pomocą suwmiarki?

8. W powyższej tabeli przedstawiono wartości początkowego L i końco-

wego L

0

momentu pędu pewnego obracającego się układu, otrzymane przez

studenta w doświadczeniu sprawdzającym zasadę zachowania momentu pędu.
Dodaj do tabeli jeszcze jedną kolumnę z różnicą L − L

0

i jej niepewność. Czy

wyniki studenta są zgodne z zasadą zachowania momentu pędu?

Początkowy moment pędu L

Końcowy moment pędu L

0

3, 0 ± 0, 3

2, 7 ± 0, 6

7, 4 ± 0, 5

8, 0 ± 1

4, 3 ± 1

16, 5 ± 1

25 ± 2

24 ± 2

32 ± 2

31 ± 2

37 ± 2

41 ± 2

9.

Korzystając z danych z poprzedniego zadania, narysuj wykres za-

leżności końcowego momentu pędu L

0

od początkowego momentu pędu L.

Zamieść na nim pionowe i poziome kreski granic błędu. Na jakiej krzywej
według Ciebie powinny się układać punkty eksperymentalne? Czy z dokład-
nością do niepewności pomiarowych punkty te leżą na spodziewanej krzywej?

10.

W tabeli przedstawione są wyniki doświadczenia sprawdzającego

prawo Hooke’a: F = kx, F = mg. Sprawdź graficznie czy wydłużenie sprę-
żyny jest proporcjonalne do masy m? Na wykresie zaznacz podane błędy
pomiarowe.

Obciążenie m [g]

200

300

400

500

600

700

800

900

(δ m zaniedbywalnie małe)
Wydłużenie x [cm]

1,1

1,5

1,9

2,8

3,4

3,5

4,6

5,4

(wszystkie ±0, 3)

11. Tabela przedstawia wyniki doświadczenia, w którym badano rzut pio-

nowy do góry; v

2

oznacza kwadrat prędkości, z jaką został rzucony kamień,

h oznacza wysokość, na jaką wziósł się kamień.

h [m]

v

2

[m

2

/s

2

]

0, 4 ± 0.05

7 ± 3

0, 8 ± 0.05

17 ± 3

1, 4 ± 0.05

25 ± 3

2, 0 ± 0.05

38 ± 4

2, 6 ± 0.05

45 ± 5

3, 4 ± 0.05

62 ± 5

3, 8 ± 0.05

72 ± 6

a) Wykonaj wykres zależności v

2

od h, zaznaczając pionowe i poziome

granice błędu. Czy wykres jest zgodny z przewidywalną zależnością v

2

∝ h?

b) Na podstawie wykresu wyznacz graficznie najbardziej prawdopodobną

wartość 2g oraz jej błąd. Czy wynik jest zgodny z wartością uznaną 2g = 19, 6
m/s

2

.

12. a) Student postanowił sprawdzić, w doświadczeniu z wahadłem ma-

tematycznym, czy okres T jest niezależny od amplitudy A (zdefiniowanej

jako największy kąt wychylenia wahadła). Otrzymał wyniki przedstawione
w tabeli. Narysuj wykres zależności T od A. Narysuj dwa wykresy, jeden
zawierający początek układu współrzędnych i drugi zawierający tylko warto-
ści T pomiędzy 1,9 s a 2,2 s. Czy można stwierdzić, czy okres wahadła jest
niezależny od amplitudy?

Amplituda A [stopnie]

Okres T [s]

5 ± 2

1, 932 ± 0, 005

17 ± 2

1, 94 ± 0, 01

25 ± 2

1, 96 ± 0, 01

40 ± 4

2, 01 ± 0, 01

53 ± 4

2, 04 ± 0, 01

67 ± 6

2, 12 ± 0, 02

b) Przedyskutuj, w jaki sposób wnioski z punktu (a) mogłyby się zmienić,

jeśli zmierzony okres T był obarczony niepewnością ±3 s.

13. Aby znaleźć przyspieszenie wózka, student zmierzył jego początkową

i końcową wartość v

p

i v

k

, a następnie obliczył ich różnicę v

k

− v

p

. Wyniki

jego doświadczenia dla dwóch prób przedstawione są w tabeli. Wszystkie
pomiary miały niepewność 1 %.

v

p

[cm/s]

v

k

[cm/s]

Pierwsza próba

14,0

18,0

Druga próba

19,0

19,6

a) Oblicz niepewność bezwględną dla wszystkich czterech pomiarów, znajdź

różnicę v

k

− v

p

, a także jej niepewność dla obu prób.

b) Znajdź niepewność procentową dla każdej z dwóch wartości (v

k

− v

p

).

14. a) Student mierzy dwie wielkości a i b, otrzymując wyniki: a =

11, 5 ± 0, 2 cm i b = 25, 4 ± 0, 2 cm. Następnie oblicza iloczyn q = ab. Znajdź
odpowiedź, podając zarówno niepewność bezwzględną, jak i procentową.

b) Powtórz punkt (a) dla pomiarów a = 10 ± 1 cm i b = 27, 2 ± 0, 1 s.

c) Powtórz punkt (a) dla pomiarów a = 3, 0 m ± 8% i b = 4, 0 kg ± 2%.

15. a) Student zmierzył dwie wielkości x i y: x = 10 ± 1 i y = 20 ± 1.

Jakie jest najlepsze przybliżenie iloczynu q = xy? Wykorzystując największe
i najmniejsze prawdopodobne wartości x i y, oblicz największą i najmniejszą
prawdopodobną wartość q. Porównaj swój wynik z wynikiem danym przez
regułę:

δq

|q

np

|

'

δx

x

np

+

δy

y

np

(1)

b) Powtórz obliczenia dla pomiarów: x = 10 ± 8 i y = 20 ± 15.

16. W wyniku pomiaru otrzymano następujące wartości: x ± δx i y ± δy.

Wyprowadź wzór na oszacowanie niepewności x + y oraz x − y.

17. Eksperymentator miesza ciecze z dwóch zlewek. Uprzednio zważył

zarówno pełne, jak i puste zlewki. Na podstawie podanych wyników, oblicz
masę M mieszaniny oraz określ, z jaką niepewnością została ona wyznaczona.

Masa pierwszej zlewki z zawartością:

M

1

= 540 ± 10 g;

Masa pustej pierwszej zlewki:

m

1

= 72 ± 1 g;

Masa drugiej zlewki z zawartością:

M

2

= 940 ± 20 g;

Masa pustej drugiej zlewki:

m

1

= 97 ± 1 g.

18. W wyniku pomiaru otrzymano następujące wartości: x ± δx i y ± δy.

Wyprowadź wzór na oszacowanie niepewności x · y oraz x/y.

19. Przypuśćmy, że zostały zmierzone trzy wielkości: x = 8, 0 ± 0, 2;

y = 5, 0 ± 0, 1; z = 4, 0 ± 0, 1. Wyraź podane niepewności w postaci procen-
towej i oblicz q = xy/z oraz niepewność δq.

20.

Zmierzono trzy odległości: l

1

= 60, 0 ± 0, 5, l

2

= 1, 65 ± 0, 05,

l

3

= 3, 0 ± 0, 15. Oblicz najlepsze przybliżenie l =

l

1

l

2

l

3

oraz jego niepew-

ność.

21.

Zmierzona została grubość T 200 kartek papieru i wynosi: T =

3, 3 ± 0, 2 cm. Oblicz grubość pojedynczej kartki i jej niepewność.

22. Została zmierzona średnica okręgu d = 5, 0±0, 1 cm. Wyznacz obwód

okręgu i jego niepewność.

23. Długość boku pewnego sześcianu wynosi a = 2, 00 ± 0, 02 cm. Za-

mień niepewność tego pomiaru na niepewność procentową i oblicz objętość
sześcianu wraz z niepewnością.

24. Przypuśćmy, że znajdujemy przyspieszenie ziemskie na podstawie

spadku swobodnego, mierząc czas t, w jakim kamień spada z wysokości h,
h =

1
2

gt

2

. Oblicz przyspieszenie ziemskie oraz określ jego niepewność dla

następujących wyników: t = 1, 6 ± 0, 1 s i h = 13, 9 ± 0, 1 m.