Całki nieoznaczone
Definicja 1. Funkcją pierwotną funkcji f : [a, b] → R w przedziale a < x < b nazywamy
każdą funkcję F : [a, b] → R taką, że F
0
(x) = f (x) dla każdego x z przedziału a < x < b.
Dwie funkcje mające w danym przedziale skończoną pochodną mogą różnić się o stałą. Dlate-
go też każdej funkcji f określonej powyżej można przyporządkować nieskończenie wiele różnych
funkcji pierwotnych różniących się od siebie o stałą.
Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji f , oznaczaną symbolem
Z
f (x)dx,
nazywamy wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f , a C oznacza dowolną
stałą. Mamy więc
Z
f (x)dx = F (x) + C
⇐⇒
F
0
(x) = f (x).
Podstawowe wzory rachunku całkowego:
(1)
R
x
α
dx =
x
α+1
α+1
+ C, α 6= −1, kilka szczególnych przypadków tego wzoru, to:
• dla α = 0:
R
dx = x + C;
• dla α = −
1
2
:
R
dx
√
x
= 2
√
x + C, x > 0;
• dla α = −2:
R
dx
x
2
= −
1
x
+ C, x 6= 0;
(2)
R
dx
x
= ln |x| + C, x 6= 0;
(3)
R
e
x
dx = e
x
+ C;
(4)
R
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, a > 0, a 6= 1;
(5)
R
cos xdx = sin x + C;
(6)
R
sin xdx = − cos x + C;
(7)
R
dx
cos
2
x
= tg x + C, cos x 6= 0;
(8)
R
dx
sin
2
x
= − ctg x + C, sin x 6= 0;
(9)
R
dx
√
1−x
2
= arc sin x + C = − arc cos x + C
1
, −1 < x < 1;
(10)
R
dx
1+x
2
= arc tg x + C = − arc ctg x + C
1
.
1
Własności całek nieoznaczonych:
(1) Całka sumy równa się sumie całek (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx.
(2) Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.
Z
kf (x)dx = k ·
Z
f (x)dx,
k ∈ R, k 6= 0.
(3) Całkowanie przez części: Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną,
to
Z
u(x)v
0
(x)dx = u(x)v(x) −
Z
u
0
(x)v(x)dx.
(4) Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli dla a ¬ x ¬ b, g(x) = u jest funkcją mającą
ciągłą pochodną oraz A ¬ g(x) ¬ B, a funkcja f = f (u) jest ciągła na przedziale [A, B],
to
Z
f (g(x))g
0
(x)dx =
Z
f (u)du,
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić: u =
g(x).
Przykład 1. Korzystając z wł. 1-2 i powyżej wprowadzonych wzorów mamy:
R
5x
2
− 6x + 3 −
2
x
+
5
x
2
dx = 5
R
x
2
dx − 6
R
xdx + 3
R
dx − 2
R
dx
x
+ 5
R
dx
x
2
=
5
3
x
3
− 3x
2
+ 3x −
2 ln |x| −
5
x
+ C
Przykład 2. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części obliczamy:
R
xe
x
dx =
u = x
v
0
= e
x
u
0
= 1
v = e
x
= xe
x
−
R
1 · e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C.
Przykład 3. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie obliczamy:
R
sin
5
x cos xdx =
sin x = t
cos xdx = dt
=
R
t
5
dt =
t
6
6
+ C =
t = sin x
=
1
6
sin
6
x + C.
Więcej przykładów z rozwiązaniami w:
W. Krysicki, L. Włodarski: „Analiza Matematyczna w Zadaniach. Część I”.
2