PROBABILISTYKA
TEST PRÓBNY
1) Załóżmy, że
0
)
(
6
,
0
)
(
4
,
0
)
(
=
∩
=
=
B
A
P
B
P
A
P
.
a) Zdarzenia A, B są niezależne
b) Zdarzenia A, B są wykluczające
c)
4
,
0
)
(
=
B
A
P
2) Doświadczenie polega na rzucie monetą. Niech
X
będzie liczbą
wyrzuconych orłów.
a)
X
ma rozkład 0-1
b)
(
)
0
2
0
=
<
<
X
P
c)
0
2
=
X
D
3) Zmienna losowa
X
ma funkcję prawdopodobieństwa:
...
,
2
,
1
2
1
)
(
=
=
=
k
k
X
P
k
a)
)
2
(
)
(
lim
2
X
X
t
F
t
F
=
−
→
b)
2
1
2
5
=
X
F
c)
2
=
EX
4) Zmienna losowa X ma gęstość:
+
−
=
8
)
1
(
exp
2
2
1
)
(
2
x
x
f
π
a)
1
−
=
EX
b)
4
=
DX
c)
1
5
,
0
=
x
.
5) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest:
>
≤
=
1
1
1
0
)
(
t
dla
t
dla
t
F
X
a)
1
=
EX
b)
0
2
=
X
D
c)
0
)
1
2
(
=
−
−
X
D
6) Dany jest rozkład zmiennej losowej
x
(
]
1
;
∞
−
( ]
5
;
1
( ]
15
;
5
(
)
∞
;
15
( )
x
F
0
1/4
3/4
1
a) Do=15
b) Me=5
c) EX=5
7) Załóżmy, że
X
i
Y
to zależne zmienne losowe. Wtedy:
a)
Y
X ,
są skorelowane
b)
EY
EX
Y
X
E
⋅
≠
⋅
)
(
c)
Y
D
X
D
Y
X
D
2
2
2
)
(
+
=
+
8) Zmienna losowa
X
przyjmuje wartości ze zbioru
{
}
2
1
0 ,
,
, każdą z
prawdopodobieństwem 1/3. Zmienna losowa
Y
jest wartością bezwzględną
różnicy pomiędzy
X
i 3.
a) Podać rozkład wektora losowego
(
)
Y
X ,
.
b) Wyznaczyć współczynnik korelacji oraz ocenić siłę i kierunek badanej
zależności
X
i
Y
c) Obliczyć
( )
3
2,
F
d) Obliczyć
(
)
3
=
Y
|
X
P
9) Dana jest funkcja
( )
≤
≤
≤
≤
=
x
y
x
Cy
y
,
x
f
pozost.
dla
0
1
0
,
1
0
dla
.
a) Wyznaczyć
C
tak, aby
( )
y
,
x
f
była gęstością wektora
(
)
Y
X ,
b) Wyznaczyć
( )
y
|
x
f
c) Obliczyć
2
1
Y
F
d) Obliczyć
EY