1

Płaszczyzna w przestrzeni R

3

• Równanie normalne płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny

π

przechodzącej przez punkt

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

)

i prostopadłej do wektora

~

n = [A, B, C] 6= ~0

ma postać:

π :

A (x − x

0

) + B (y − y

0

) + C (z − z

0

) = 0

Równanie to nosi nazwę równania normalnego płaszczyzny. Wektor

~

n

nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny.

2

• Równanie ogólne płaszczyzny:

Każde równanie postaci

π :

A x + B y + C z + D = 0,

gdzie

A

2

+ B

2

+ C

2

> 0

, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna

ta ma wektor normalny

~

n = [A, B, C] 6= ~0

i przecina oś

OZ

w

punkcie

z = −

D

C

o ile

C 6= 0

.

Równanie to nosi nazwę równania ogólnego płaszczyzny.

• Równanie odcinkowe płaszczyzny:

3

Równanie płaszczyzny

π

odcinającej na osiach

OX, OY, OZ

układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane)

a, b, c 6= 0

ma postać:

π :

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1.

Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

• Równanie parametryczne płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny

π

przechodzącej przez punkt

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

)

i rozpiętej na dwóch nierównoległych i niezerowych wektorach

~a = [a

1

, a

2

, a

3

]

i

~b = [b

1

, b

2

, b

3

]

ma postać:

4

π :







































































x = x

0

+ a

1

t + b

1

s

y = y

0

+ a

2

t + b

2

s

z = z

0

+ a

3

t + b

3

s

gdzie

s, t ∈ R

są parametrami.

Równanie to nosi nazwę równania parametrycznego płaszczyzny.

Przykład Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek

odcinka

AB

, gdzie

A(3, 2, −1)

,

B(5, 0, 7)

i prostopadłej do tego

odcinka.

Przykład Zbadać, czy punkty

P

1

(1, 2, −3)

,

P

2

(2, 3, 4)

,

P

3

(0, 5, 4)

,

P

4

(1, 6, 11)

należą do jednej płaszczyzny. Jeśli tak, wyznacz równanie

parametryczne i ogólne tej płaszczyzny.

5

Prosta w przestrzeni R

3

• Równanie parametryczne prostej:

Równanie prostej

l

przechodzącej przez punkt

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

)

i

wyznaczonej przez niezerowy wektor

~a = [a

1

, a

2

, a

3

]

ma postać:

l :







































































x = x

0

+ a

1

t

y = y

0

+ a

2

t

z = z

0

+ a

3

t

gdzie

t ∈ R

jest parametrem.

Wektor

~a = [a

1

, a

2

, a

3

]

nazywamy wektorem kierunkowym prostej

6

l

a równanie powyższe nosi nazwę równania parametrycznego

prostej.

Uwaga: Powyższe równanie będzie opisywać półprostą lub odcinek,

jeżeli parametr

t ∈ [α, +∞)

(

t ∈ (−∞, β]

) lub

t ∈ [α, β]

.

• Równanie kierunkowe prostej:

Równanie prostej

l

przechodzącej przez punkt

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

)

i

wyznaczonej przez niezerowy wektor

~a = [a

1

, a

2

, a

3

]

ma postać:

l :

x − x

0

a

1

=

y − y

0

a

2

=

z − z

0

a

3

.

7

Równanie to nosi nazwę równania kierunkowego prostej.

Uwaga: Aby nie ograniczać zakresu stosowania równania kierunkowego

prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków

mogą wystąpić zera.

Przykład

Napisz równanie parametryczne prostej przechodzącej

przez punkty

P (1, 2, 3)

i

Q(3, 2, 1)

.

• Równanie krawędziowe prostej:

Prosta

l

, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych

płaszczyzn

π

1

:

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

i

π

2

:

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

, będziemy zapisywać

w postaci:

8

l :











































A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.

Przykład

Napisać równanie parametryczne prostej:

l :











































x + y + z + 4 = 0

3 x + y − z + 2 = 0

9

Fakt

Wektor kierunkowy prostej

l :











































A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

ma postać:

~a = [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

].

10

Rzut punktu na płaszczyznę

Definicja

Rzutem prostokątnym punktu

P

na płaszczyznę

π

nazywamy punkt

P

0

tej płaszczyzny spełniający warunek:

P P

0

⊥ π.

Jak wyznaczamy rzut punktu na płaszczyznę:

• piszemy równanie prostej

l

, prostopadłej do płaszczyzny

π

i

przechodzącej przez punkt

P

• wyznaczamy rzut

P

0

jako punkt wspólny płaszczyzny

π

i

prostej

l

.

Przykład Znaleźć równanie płaszczyzny wiedząc, że punkt

P (3, −6, 2)

jest rzutem prostokątnym początku układu współrzędnych na tę

płaszczyznę.

11

Odległość punktu od płaszczyzny

Definicja Odległość punktu

P /

∈ π

od płaszczyzny

π

definiujemy

jako długość odcinka

P P

0 , gdzie punkt

P

0

jest rzutem prostokątnym

punktu

P

na płaszczyznę

π

.

Fakt

Odległość punktu

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

)

od płaszczyzny

π :

A x + B y + C z + D = 0

wyraża się wzorem:

d(P, π) =

| A x

0

+ B y

0

+ C z

0

+ D |

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

12

Rzut punktu na prostą

Definicja Rzutem prostokątnym punktu

P

na prostą

l

nazywamy

punkt

P

0

tej prostej spełniający warunek:

P P

0

⊥ l.

Jak wyznaczamy rzut punktu na prostą:

• piszemy równanie płaszczyzny

π

, prostopadłej do prostej

l

i

przechodzącej przez punkt

P

• wyznaczamy rzut

P

0

jako punkt wspólny płaszczyzny

π

i

prostej

l

.

Przykład

Znaleźć punkt symetryczny do punktu

P (4, 3, 10)

względem prostej

l :

x−1

2

=

y−2

4

=

z−3

5

.

13

Odległość punktu od prostej

Definicja

Odległość punktu

P /

∈ l

od prostej

l

definiujemy jako

długość odcinka

P P

0 , gdzie punkt

P

0

jest rzutem prostokątnym

punktu

P

na prostą

l

.

Przykład Obliczyć odległość punktu

P

z poprzedniego przykładu

od prostej

l

.

14

Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

• Dwie płaszczyzny

π

1 i

π

2 są równoległe, jeżeli wektory normalne

tych płaszcyzn

~

n

1 i

~

n

2 są równoległe.

Równania ogólne płaszczyzn równoległych można zapisać w postaci:

π

1

:

A x + B y + C z + D

1

= 0

π

2

:

A x + B y + C z + D

2

= 0

Odległość płaszczyzn równoległych wyraża się wówczas wzorem:

d(π

1

, π

2

) =

| D

1

− D

2

|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

15

• Dwie płaszczyzny nierównoległe przecinają się. Częścia wspólną

tych płaszczyzn jest wówczas prosta - krawędź płaszczyzn.

Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt między ich wektorami

normalnymi.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

• Prosta

l

jest równoległa do płaszczyzny

π

wtedy i tylko

wtedy, gdy jej wektor kierunkowy

~a

jest prostopadły do wektora

normalnego

~

n

płaszczyzny

π

.

Odległość prostej równolegej do płaszczyzny od tej płaszczyzny

określamy jako odległość dowolnego punktu prostej

l

od płaszczyzny

π

.

16

• Prosta

l

nierównoległa do płaszczyzny

π

przebija tę płaszczyznę

w punkcie, który nazywamy punktem przebicia płasczyzny przez

prostą.

Kątem nachylenia prostej

l

do płasczyzny

π

nazywamy kąt

ϕ

=

π

2

− α

, gdzie

α

jest kątem ostrym między wektorem

normalnym płaszczyzny

~

n

a wektorem kierunkowym prostej

~a

.

Przykład

Zbadać wzajemne położenie prostej i płasczyzny:

l :

x

2

=

y − 5

2

=

z + 1

−1

π :

4 x + y + z − 3 = 0.

Podać punkt przebicia płaszczyzny

π

przez prostą

l

oraz kąt

nachylenia prostej

l

do płaszczyzny

π

.

17

Wzajemne położenie dwóch prostych

• Proste

leżące

w

jednej

płaszczyźnie

nazywamy

prostymi

współpłaszczyznowymi.

Na to, aby dwie proste

l

1 i

l

2 , przechodzące odpowiednio przez

punkty

P

1 i

P

2 i równoległe do wektorów

~a

1 i

~a

2 , leżały w

jednej płaszczyźnie potrzeba i wystarcza, by

( ~a

1

× ~a

2

) ◦

~

P

1

P

2

= 0.

Proste leżące w jednej płaszczyźnie mogą być

– równoległe (w szczególności pokrywające się)

– przecinające się (w szczególności prostopadłe)

18

– odległość dwóch prostych równoległych definiujemy jako odległość

dowolnego punktu z jednej prostej od drugiej prostej

– kąt przecięcia dwóch prostych jest kątem między ich wektorami

kierunkowymi.

• Proste nie będące prostymi współpłaszczyznowymi nazywamy

prostymi skośnymi.

Załóżmy, że proste

l

1 i

l

2 są skośne. Niech

π

będzie płasczyzną

zawierającą jedną z prostych (np. prostą

l

1 ) i równoległą do

drugiej prostej (

l

2 ). Odległość prostych skośnych definiujemy

jako odległość dowolnego punktu z prostej

l

2 od płasczyzny

π

.

Przykład

Zbadać wzajemne położenie dwóch prostych. Jeżeli

proste przecinają się, znaleźć punkt przeciącia prostych oraz kat

19

między prostymi, jeżeli proste są równoległe lub skośne znaleźć odległość

między nimi:

a)

l

1

:







































































x = 1

y = −2 + 3 t

z = t

l

2

:











































3 x − y − 2 z = 0

x + y − 2 z = 0

b)

l

1

:

x − 9

4

=

y + 2

−3

=

z

1

l

2

:

x

−2

=

y + 7

9

=

z − 2

2