1
Wykład IV
Geometria analityczna na
płaszczyźnie
Odległość punktów na płaszczyźnie
Działania na wektorach
Równania prostej
Odległość punktu od prostej
1
Wykład IV
Geometria analityczna na
płaszczyźnie
Odległość punktów na płaszczyźnie
Działania na wektorach
Równania prostej
Odległość punktu od prostej
2
Odległość punktów
Rozważmy prostokątny układ
współrzędnych na płaszczyźnie
XOY. Niech A(x
1
,y
1
) i B(x
2
,y
2
)
oznaczają dwa punkty.
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
x
1
x
2
y
2
y
1
Oznaczenia:
Punkty oznaczamy wielkimi literami, A, B, M,
P, Q, itp. Współrzędne punktów zapisujemy w nawiasach
okrągłych.
Definicja:
Wektorem AB o początku w punkcie A i końcu w punkcie B
nazywamy wektor
[
]
1
2
1
2
,
AB
y
y
x
x
−
−
=
→
→
Uwaga:
Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach
kwadratowych. Wyrażają się one przez różnice odpowiednich
współrzędnych.
x
2
- x
1
y
2
- y
1
3
Działania na wektorach
Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę.
Na wektorach określamy iloczyn skalarny.
Dodawanie
[
]
2
1
2
1
2
1
,
y
y
x
x
+
+
=
+
v
v
r
r
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
AB
AB
y
y
x
x
−
+
−
=
=
→
Odległość punktów AB lub długość wektora AB wyraża się
wzorem (twierdzenie Pitagorasa):
→
Niech
[
]
[
]
2
2
2
1
1
1
,
;
,
y
x
y
x
=
=
v
v
r
r
Odejmowanie
[
]
2
1
2
1
2
1
,
y
y
x
x
−
−
=
−
v
v
r
r
Mnożenie przez liczbę
[
]
ky
kx
k
,
=
⋅
v
r
4
Przykład 1.
Obliczyć długość wektora
[
]
[
]
2
,
1
;
5
,
3
gdzie
;
3
2
2
1
2
1
−
=
−
=
−
v
v
v
v
r
r
r
r
Rozwiązanie:
Niech
[
]
[
] [
]
4
,
3
2
,
1
3
5
,
3
2
3
2
2
1
−
=
−
−
−
=
−
=
v
v
a
r
r
r
Liczymy teraz długość:
(
)
5
25
4
3
2
2
=
=
−
+
=
a
r
Iloczyn skalarny wektorów
2
1
2
1
2
1
y
y
x
x
⋅
+
⋅
=
v
v
r
o
r
Iloczynem skalarnym wektorów
nazywamy liczbę postaci:
[
]
[
]
2
2
2
1
1
1
,
;
,
y
x
y
x
=
=
v
v
r
r
5
Wzajemne położenie wektorów
Wektory
są prostopadłe
wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy
zeru, tzn.
[
]
[
]
2
2
2
1
1
1
,
i
,
y
x
y
x
=
=
v
v
r
r
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+
⇔
=
⇔
⊥
y
y
x
x
v
v
v
v
r
o
r
r
r
Wektory
są równoległe wtedy
i tylko wtedy, gdy
[
]
[
]
2
2
2
1
1
1
,
i
,
y
x
y
x
=
=
v
v
r
r
0
0
||
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
=
⋅
−
⋅
⇔
=
⇔
y
x
y
x
y
x
y
x
v
v
r
r
6
Równanie prostej
Prosta na płaszczyźnie może być także opisana równaniem
kierunkowym postaci:
y
= mx+n
, gdzie
m
=tgα
jest
współczynnikiem kierunkowym prostej, natomiast n wyrazem
wolnym (przecięciem osi OY).
Prosta na płaszczyźnie może być opisana równaniem
ogólnym postaci:
Ax+By+C=0
, gdzie
n=[A,B]
jest wektorem
normalnym prostej (prostopadłym do prostej).
→
Przykład
: Rozważmy prostą
2x-3y+5=0
Istnieje nieskończenie wiele prostych
prostopadłych do wektora normalnego.
Musimy wyznaczyć jeden punkt spełniający
równanie 2x-3y+5=0, np. (-1,1)
[
]
3
,
2 −
=
n
r
n= [2, -3]
Wektor
normalny
7
Dwie proste opisane równaniami kierunkowymi:
y=m
1
x
+n
1
oraz
y=m
2
x
+n
2
są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy
m
1
=
m
2
,
natomiast prostopadłe, gdy
m
1
m
2
=-1.
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
B
B
A
A
0
B
A
B
A
B
A
B
A
=
⇔
=
⋅
−
⋅
=
Dwie proste:
A
1
x
+B
1
y
+C
1
=0
oraz
A
2
x
+B
2
y
+C
2
=0
są
równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory normalne są
równoległe, tzn.
n
1
=[A
1
,B
1
] || n
2
=[A
2
,B
2
],
czyli
→
→
Wzajemne położenie prostych
1
B
A
B
A
0
B
B
A
A
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
−
=
⋅
⇔
=
⋅
+
⋅
=
n
n
r
o
r
-m
1
-m
2
Dwie proste:
A
1
x
+B
1
y
+C
1
=0
oraz
A
2
x
+B
2
y
+C
2
=0
są
prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy wektory normalne są
prostopadłe, tzn.
n
1
=[A
1
,B
1
]
⊥
n
2
=[A
2
,B
2
],
czyli
8
P(2,2)
Q(4,3)
2
4
3
2
[
]
B
A,
=
n
r
Uwaga.
Dowolne dwa punkty
płaszczyzny wyznaczają
prostą.
Znajdziemy równanie ogólne oraz
kierunkowe prostej przechodzącej
przez dwa punkty P(2,2) i Q(4,3).
A
2
B
0
B
A
2
PQ
−
=
⇔
=
+
=
→
o
r
n
Wstawiając do równania Ax+By+C=0 dostajemy Ax-2Ay+C=0.
Wstawiając do równania jeden z punktów, np. punkt P(2,2) dostajemy:
2A-4A+C=0 czyli C=2A. Ostatecznie otrzymujemy: Ax-2Ay+2A=0 /:A
mamy
x
-2y+2=0.
Rozwiązanie:
Znajdziemy najpierw równanie ogólne. Ponieważ wektor
normalny n jest prostopadły do prostej, to jest on także
prostopadły do wektora PQ. Ponieważ PQ=[4-2,3-2]=[2,1],
więc
→
→
→
9
Aby wyznaczyć nieznane parametry m i n, wstawimy punkty
P i Q do równania y=mx+n uzyskując układ równań:
Znajdziemy teraz równanie w postaci kierunkowej: y=mx+n
2
1
2
1
4
3
2
2
=
⇒
−
=
−
⇒
+
=
+
=
−
m
m
n
m
n
m
1
2
1
1
2
2
1
2
+
=
⇒
=
⇒
=
+
⋅
x
y
n
n
Wstawiając rozwiązanie do pierwszego równania
dostajemy:
Uwaga.
Łatwo zauważyć, że równanie
x
-2y+2=0
jest równoważne
1
2
1
+
=
x
y
10
Odległość punktu od prostej
2
2
0
0
B
A
C
B
A
+
+
+
=
y
x
d
Odległość punktu P(x
0
,y
0
) od prostej zadanej równaniem w
postaci ogólnej Ax+By+C=0 określa wzór:
Przykład 3.
Obliczyć odległość punktu P(2,-4)
od prostej l
1
:2x-3y+5=0 i l
2
: y=2x-3.
b) Odległość od prostej y=2x-3, czyli 2x-y-3=0
(
)
(
)
13
13
21
13
21
13
5
4
3
2
2
3
2
5
3
2
2
2
0
0
1
=
=
+
−
⋅
−
⋅
=
−
+
+
−
=
y
x
d
Rozwiązanie:
a) Odległość od prostej 2x-3y+5=0:
( )
(
)
5
5
5
5
3
4
1
2
2
1
2
3
2
2
2
0
0
2
=
=
−
−
⋅
−
⋅
=
−
+
−
−
=
y
x
d
11
Zadania różne
Ostatecznie, równanie prostej ma posta
ć
:
2x-y-8=0.
Zadanie 1.
Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)
oraz prostopadłą do wektora
.
[
]
1
,
2 −
=
a
r
Rozwiązanie:
Poniewa
ż
prosta ma by
ć
prostopadła do wektora a =[2,-1]
wi
ę
c jego składowe s
ą
współczynnikami w równaniu prostej,
tzn. 2x-y+C=0. Wstawiaj
ą
c punkt P otrzymujemy: 4+4+C=0 czyli C=-8.
Ostatecznie równanie prostej ma postać:
x
+2y+6=0
.
Zadanie 2.
Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)
oraz równoległą do wektora
.
[
]
1
,
2 −
=
a
r
Rozwiązanie:
Poniewa
ż
prosta ma by
ć
równoległa do wektora a =[2,-1]
wi
ę
c wektor normalny tej prostej musi by
ć
do niego prostopadły:
[
]
[
]
A
2
B
0
B
A
2
0
B
A,
1
,
2
=
⇒
=
−
⇔
=
⇔
=
⊥
−
=
n
a
n
a
r
o
r
r
r
Równanie prostej ma posta
ć
:
Ax+2Ay+C=0.
Wstawiamy punkt P(2,-4):
2A-8A+C=0
⇒
C=6A. Równanie prostej ma posta
ć
:Ax+2Ay+6A=0/:B