1

Wykład IV

Geometria analityczna na

płaszczyźnie

Odległość punktów na płaszczyźnie

Działania na wektorach

Równania prostej

Odległość punktu od prostej

2

Odległość punktów

Rozważmy prostokątny układ
współrzędnych na płaszczyźnie
XOY. Niech A(x

1

,y

1

) i B(x

2

,y

2

)

oznaczają dwa punkty.

A(x

1

,y

1

)

B(x

2

,y

2

)

x

1

x

2

y

2

y

1

Oznaczenia:

Punkty oznaczamy wielkimi literami, A, B, M,

P, Q, itp. Współrzędne punktów zapisujemy w nawiasach
okrągłych.

Definicja:

Wektorem AB o początku w punkcie A i końcu w punkcie B
nazywamy wektor

[

]

1

2

1

2

,

AB

y

y

x

x

−

−

=

→

→

Uwaga:

Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach

kwadratowych. Wyrażają się one przez różnice odpowiednich
współrzędnych.

x

2

- x

1

y

2

- y

1

3

Działania na wektorach

Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę.
Na wektorach określamy iloczyn skalarny.

Dodawanie

[

]

2

1

2

1

2

1

,

y

y

x

x

+

+

=

+

v

v

r

r

(

)

(

)

2

1

2

2

1

2

AB

AB

y

y

x

x

−

+

−

=

=

→

Odległość punktów AB lub długość wektora AB wyraża się
wzorem (twierdzenie Pitagorasa):

→

Niech

[

]

[

]

2

2

2

1

1

1

,

;

,

y

x

y

x

=

=

v

v

r

r

Odejmowanie

[

]

2

1

2

1

2

1

,

y

y

x

x

−

−

=

−

v

v

r

r

Mnożenie przez liczbę

[

]

ky

kx

k

,

=

⋅

v

r

4

Przykład 1.

Obliczyć długość wektora

[

]

[

]

2

,

1

;

5

,

3

gdzie

;

3

2

2

1

2

1

−

=

−

=

−

v

v

v

v

r

r

r

r

Rozwiązanie:

Niech

[

]

[

] [

]

4

,

3

2

,

1

3

5

,

3

2

3

2

2

1

−

=

−

−

−

=

−

=

v

v

a

r

r

r

Liczymy teraz długość:

(

)

5

25

4

3

2

2

=

=

−

+

=

a

r

Iloczyn skalarny wektorów

2

1

2

1

2

1

y

y

x

x

⋅

+

⋅

=

v

v

r

o

r

Iloczynem skalarnym wektorów
nazywamy liczbę postaci:

[

]

[

]

2

2

2

1

1

1

,

;

,

y

x

y

x

=

=

v

v

r

r

5

Wzajemne położenie wektorów

Wektory

są prostopadłe

wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy
zeru, tzn.

[

]

[

]

2

2

2

1

1

1

,

i

,

y

x

y

x

=

=

v

v

r

r

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

=

+

⇔

=

⇔

⊥

y

y

x

x

v

v

v

v

r

o

r

r

r

Wektory

są równoległe wtedy

i tylko wtedy, gdy

[

]

[

]

2

2

2

1

1

1

,

i

,

y

x

y

x

=

=

v

v

r

r

0

0

||

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

=

⋅

−

⋅

⇔

=

⇔

y

x

y

x

y

x

y

x

v

v

r

r

6

Równanie prostej

Prosta na płaszczyźnie może być także opisana równaniem
kierunkowym postaci:

y

= mx+n

, gdzie

m

=tgα

jest

współczynnikiem kierunkowym prostej, natomiast n wyrazem
wolnym (przecięciem osi OY).

Prosta na płaszczyźnie może być opisana równaniem
ogólnym postaci:

Ax+By+C=0

, gdzie

n=[A,B]

jest wektorem

normalnym prostej (prostopadłym do prostej).

→

Przykład

: Rozważmy prostą

2x-3y+5=0

Istnieje nieskończenie wiele prostych
prostopadłych do wektora normalnego.
Musimy wyznaczyć jeden punkt spełniający
równanie 2x-3y+5=0, np. (-1,1)

[

]

3

,

2 −

=

n

r

n= [2, -3]

Wektor
normalny

7

Dwie proste opisane równaniami kierunkowymi:

y=m

1

x

+n

1

oraz

y=m

2

x

+n

2

są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy

m

1

=

m

2

,

natomiast prostopadłe, gdy

m

1

m

2

=-1.

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

B

B

A

A

0

B

A

B

A

B

A

B

A

=

⇔

=

⋅

−

⋅

=

Dwie proste:

A

1

x

+B

1

y

+C

1

=0

oraz

A

2

x

+B

2

y

+C

2

=0

są

równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory normalne są
równoległe, tzn.

n

1

=[A

1

,B

1

] || n

2

=[A

2

,B

2

],

czyli

→

→

Wzajemne położenie prostych

1

B

A

B

A

0

B

B

A

A

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

−

=

⋅

⇔

=

⋅

+

⋅

=

n

n

r

o

r

-m

1

-m

2

Dwie proste:

A

1

x

+B

1

y

+C

1

=0

oraz

A

2

x

+B

2

y

+C

2

=0

są

prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy wektory normalne są
prostopadłe, tzn.

n

1

=[A

1

,B

1

]

⊥

n

2

=[A

2

,B

2

],

czyli

8

P(2,2)

Q(4,3)

2

4

3

2

[

]

B

A,

=

n

r

Uwaga.

Dowolne dwa punkty

płaszczyzny wyznaczają

prostą.

Znajdziemy równanie ogólne oraz
kierunkowe prostej przechodzącej
przez dwa punkty P(2,2) i Q(4,3).

A

2

B

0

B

A

2

PQ

−

=

⇔

=

+

=

→

o

r

n

Wstawiając do równania Ax+By+C=0 dostajemy Ax-2Ay+C=0.
Wstawiając do równania jeden z punktów, np. punkt P(2,2) dostajemy:
2A-4A+C=0 czyli C=2A. Ostatecznie otrzymujemy: Ax-2Ay+2A=0 /:A
mamy

x

-2y+2=0.

Rozwiązanie:

Znajdziemy najpierw równanie ogólne. Ponieważ wektor
normalny n jest prostopadły do prostej, to jest on także
prostopadły do wektora PQ. Ponieważ PQ=[4-2,3-2]=[2,1],
więc

→

→

→

9

Aby wyznaczyć nieznane parametry m i n, wstawimy punkty
P i Q do równania y=mx+n uzyskując układ równań:

Znajdziemy teraz równanie w postaci kierunkowej: y=mx+n

2

1

2

1

4

3

2

2

=

⇒

−

=

−

⇒







+

=

+

=

−

m

m

n

m

n

m

1

2

1

1

2

2

1

2

+

=

⇒

=

⇒

=

+

⋅

x

y

n

n

Wstawiając rozwiązanie do pierwszego równania
dostajemy:

Uwaga.
Łatwo zauważyć, że równanie

x

-2y+2=0

jest równoważne

1

2

1

+

=

x

y

10

Odległość punktu od prostej

2

2

0

0

B

A

C

B

A

+

+

+

=

y

x

d

Odległość punktu P(x

0

,y

0

) od prostej zadanej równaniem w

postaci ogólnej Ax+By+C=0 określa wzór:

Przykład 3.

Obliczyć odległość punktu P(2,-4)

od prostej l

1

:2x-3y+5=0 i l

2

: y=2x-3.

b) Odległość od prostej y=2x-3, czyli 2x-y-3=0

(

)

(

)

13

13

21

13

21

13

5

4

3

2

2

3

2

5

3

2

2

2

0

0

1

=

=

+

−

⋅

−

⋅

=

−

+

+

−

=

y

x

d

Rozwiązanie:

a) Odległość od prostej 2x-3y+5=0:

( )

(

)

5

5

5

5

3

4

1

2

2

1

2

3

2

2

2

0

0

2

=

=

−

−

⋅

−

⋅

=

−

+

−

−

=

y

x

d

11

Zadania różne

Ostatecznie, równanie prostej ma posta

ć

:

2x-y-8=0.

Zadanie 1.

Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)

oraz prostopadłą do wektora

.

[

]

1

,

2 −

=

a

r

Rozwiązanie:

Poniewa

ż

prosta ma by

ć

prostopadła do wektora a =[2,-1]

wi

ę

c jego składowe s

ą

współczynnikami w równaniu prostej,

tzn. 2x-y+C=0. Wstawiaj

ą

c punkt P otrzymujemy: 4+4+C=0 czyli C=-8.

Ostatecznie równanie prostej ma postać:

x

+2y+6=0

.

Zadanie 2.

Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)

oraz równoległą do wektora

.

[

]

1

,

2 −

=

a

r

Rozwiązanie:

Poniewa

ż

prosta ma by

ć

równoległa do wektora a =[2,-1]

wi

ę

c wektor normalny tej prostej musi by

ć

do niego prostopadły:

[

]

[

]

A

2

B

0

B

A

2

0

B

A,

1

,

2

=

⇒

=

−

⇔

=

⇔

=

⊥

−

=

n

a

n

a

r

o

r

r

r

Równanie prostej ma posta

ć

:

Ax+2Ay+C=0.

Wstawiamy punkt P(2,-4):

2A-8A+C=0

⇒

C=6A. Równanie prostej ma posta

ć

:Ax+2Ay+6A=0/:B