GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE
Niech dane będą dwa punkty P x , y i P x , y w przestrzeni XOY. Odległość
2 ( 2
2 )
1 ( 1
1 )
tych punktów ( długość odcinka o końcach P i P ) wyraża się wzorem 1
2
d ( P , P =
x − x
+ y − y
.
1
2 )
( 1
)2
2
( 1
)2
2
Współrzędne środka S odcinka o końcach P i P wyrażają się wzorami 1
2
x + x
y + y
1
2
x =
,
1
2
y =
.
S
2
S
2
Współrzędne punktu K dzielącego odcinek o końcach P i P w stosunku k, tzn.
1
2
d ( K, P = k d ( P , K wyrażają się wzorami 2
)
1 )
x
y 1 + k y
1 + k x
x =
2 ,
y
=
2 .
K
1 + k
K
1 + k
Prosta na płaszczyźnie
Równanie ogólne prostej
Ax + By + C = 0 ,
gdzie
2
2
A + B > 0 .
Równanie kierunkowe prostej
Jeżeli w równaniu ogólnym prostej B ≠ 0 (tzn. prosta nie jest prostopadła do osi 0X), to A
C
obliczając y z równania ogólnego i oznaczając m = −
, b = −
, otrzymujemy równanie
B
B
kierunkowe prostej
y = mx + b .
Parametr m nazywany jest współczynnikiem kierunkowym prostej i jest on równy tangensowi kąta nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi 0X. Ponadto b jest rzędną punktu przecięcia prostej z osią 0Y.
Prosta o danym współczynniku kierunkowym m i przechodząca przez dany punkt P x , y
ma równanie
0 ( 0
0 )
y − y = m x − x .
0
(
0 )
Prosta nie prostopadła do osi 0X i przechodząca przez punkty P x , y i P x , y ma
2 ( 2
2 )
1 ( 1
1 )
równanie
138
2
1
y − y =
x − x .
1
(
1 )
x − x
2
1
Równanie odcinkowe prostej ma postać x
y
+ = 1,
a
b
gdzie a i b są odpowiednio odciętą i rzędną punktów przecięcia tej prostej z osiami 0 X i 0 Y
układu współrzędnych.
Uwaga. Równania odcinkowe mają te proste, które z każdą osią układu mają dokładnie jeden punkt wspólny, różny od początku układu.
Kąt ostry α , pod którym przecinają się powyższe proste, wyznaczamy z wzoru m − m
2
1
tg α =
.
1 + m ⋅ m
1
2
Z powyższego wzoru wynika:
a) warunek równoległości prostych l i l , który ma postać 1
2
m = m ,
1
2
b) warunek prostopadłości prostych l i l , który ma postać 1
2
m ⋅ m = −1 .
1
2
Odległość punktu P x , y
od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 obliczamy z wzoru 0 ( 0
0 )
Ax + By + C
0
0
d =
.
2
2
A + B
Okrąg
Okrąg o środku S ( a, b) i promieniu r ma równanie ( x − a)2 + ( y − b)2
2
= r .
Wykonując potęgowanie po lewej stronie równania i wprowadzając oznaczenie 2
2
2
c = a + b − r , możemy zapisać 2
2
x + y − 2 ax − 2 by + c = 0 .
Powyższe równanie przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy 2
2
a + b − c > 0 .
Biorąc pod uwagę prostą l i okrąg o środku w punkcie S ( a, b) i promieniu r, możemy mieć do czynienia z trzema przypadkami:
139
a) prosta l ma z okręgiem jeden punkt wspólny (jest styczna do okręgu), gdy d ( S, l) = r ; b) prosta l ma dwa punkty wspólne z okręgiem, gdy d ( S, l) < r ; c) prosta l nie ma punktów wspólnych z okręgiem, gdy d ( S, l) > r .
140