Temat III – geometria 3D (π i linie)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

Na zaj¸

eciach rozwi¸

ażemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwi¸

azane na tablicy należy przerobić

samemu w domu.

Zadanie 1.

Sprawdź, czy płaszczyna π : 2x

− 3y + 4z − 5 − 0 zawiera punkty A(1, −1, 0), B(2, 7, 3).

Zadanie 2.

Sprawdź, czy płaszczyna π :



















x

=

−1 + t + 2s

y

=

2 − 3s

z

=

s

+ 3t

zawiera punkty A(2,

−1, 3), B(2, 7, 3).

Zadanie 3.

Znajdź dwa dowolne punkty należ¸ace do płaszczyzny π : 2x

− 2y − 4z + 5 = 0.

Zadanie 4.

Napisz równania ogólne, parametryczne i odcinkowe płaszczyzny π, która:

a) przechodzi przez punkt P = (1,

−2, 0) i jest prostopadła do wektora ~

n

= [0, −3, 2],

b) przechodzi przez punkty P

1

= (0, 0, 0), P

2

= (1, 2, 3) oraz P

3

= (−1, −3, 5),

c) przechodzi przez punkty P

1

= (1, −3, 4), P

2

= (2, 0, −1) i jest prostopadła do płaszczyzny OXZ,

d) przechodzi przez punkt P = (1,

−1, 3) i jest równoległa do wektorów ~

a

= [1, 1, 0], ~b = [0, 1, 1],

e) przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) i jest równoległa do płaszczyzny π : 3x

− y + 2 = 0,

f) przechodzi przez punkt P = (2, 1,

−3) i jest prostopadła do płaszczyzn π : x + y = 0, γ : y − z = 0,

g) zawiera dwie proste: l :

x−9

4

=

y−2

−3

=

z
1

oraz k :

x

−2

=

y+7

9

=

z−2

2

.

Wykonaj osobny rysunek do każdego równania odcinkowego.

Zadanie 5.

Oblicz obj¸etość czworościanu ograniczonego przez płaszczyzn¸e π : x + 2y + 3z

− 6 = 0 oraz płasz-

czyzny układu współrz¸ednych.

Zadanie 6.

Oblicz współrz¸edne punktu w którym płaszczyzna π :



















x

=

−1 + 2s − 7t

y

=

2 + 3s + 2t

z

=

−3 − s + t

przecina oś OX.

Zadanie 7.

Oblicz k¸aty pod jakimi przecinaj¸a si¸e płaszczyzny:

a) π

1

: 2x + 2y + 2z = 3, π

2

: 2x − 2y − z − 5 = 0,

b) π

1

: x + y − 1 = 0, π

2

: 2x + y − 2z = 2,

c) π

1

: 5x + y − z = 0, π

2

: x − 2y + 3z = −1,

Zadanie 8.

Sprawdź, czy płaszczyzny s¸a równoległe: π

1

: 2x + 3y − 5z + 30 = 0, π

2

:



















x

=

−5 + t

y

= 2 + 5s + t

z

= 1 + 3s + t

.

Zadanie 9.

Skonstruuj równanie parametryczne i kierunkowe prostej l, która:

Temat III – geometria 3D (π i linie)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

a) przechodzi przez punkty A = (5,

−2, 4), B = (2, 6, 1),

b) przechodzi przez punkt P = (

−4, −1, −2) i jest prostopadła do π : 2x − 8y + 3z + 4 = 0,

c) przechodzi przez punkt P = (1, 1, 4) i jest prostopadła do osi OY oraz do prostej l

1

:

x−5

4

=

y+1

−2

=

z−1

−1

,

d) przechodzi przez punkt P = (0, 0, 0) i jest równoległa do l

1

:







3x + y = 0

x − 2z + 5 = 0

,

e) przechodzi przez punkt P = (3,

−2, 1) i jest równoległa do l

1

:



















x

= 1 + 2t

y

= 2 − t

z

= 3t

,

f) przechodzi przez punkt P = (0, 0,

−2) i jest prostopadła do wektorów ~

u

= [0, 1, −5], ~v = [2, −1, 3],

g) leży na przeci¸eciu płaszczyzn: π

1

: x + 2z − 4 = 0 oraz π

2

: x − y + 6 = 0.

Zadanie 11.

Sprawdź, czy:

a) punkty A = (1,

−2, 5) oraz B = (3, −2, 11) należ¸

a do prostej l :

x−1

−1

=

y+2

0

=

x−5

−3

,

b) prosta l :



















x

= 1 + t

y

= −2t

z

= 3 + 3t

należy do płaszczyzny π : 3x + 3y + z

− 6 = 0,

c) proste l :



















x

= t

y

= −2t

z

= 3t

oraz k :



















x

= −1 + s

y

= 2 − s

z

= −3 + 4s

maj¸a wspólny punkt. Jeżeli tak — znajdź go.

d) prosta l :

x+5

−2

=

y
1

=

z−3

−1

jest równoległa do π : x + y

− z + 15 = 0.

Zadanie 12.

Znajdź punkt przeci¸ecia prostych l :

x−1

−1

=

y+3

2

=

z−1

3

oraz k :

x−1

2

=

y−2

1

=

z−3

−4

.

Zadanie 13.

Znajdź punkt przeci¸ecia prostej l z płaszczyzn¸a π:

a) l :



















x

= 1 + t

y

= −3t

z

= 4 − t

, π : x + 2y

− 3z − 7 = 0,

b) l :

x−1

0

=

y+2

3

=

z−4

−1

, π :



















x

= s + t

y

= 1 + s + 2t

z

= 3 + 2s + 4t

Zadanie 14.

Sprawdź, czy punkty A = (0, 0, 5) oraz B = (1, 2, 3) naleź¸a do płaszczyzny π :



















x

= −1 + s + t

y

= 2 + 3s − t

z

= 3 − s + 2t

Zadanie 15.

Znajdź płaszczyzn¸e przechodz¸ac¸a przez linie l oraz k:

a) l : x = y = z, k : 2x = y =

−z,

Temat III – geometria 3D (π i linie)

- wILIŚ -

A. Patyk-Łońska, CNMiKnO PG

b) l :

x−3

1

=

y−1

−1

=

z+1

−2

, k :

x+1

1

=

y

−1

=

z

−2

.

Zadanie 16.

Znajdź równanie płaszczyzny π przechodz¸acej przez punkt P = (2, 0,

−7), która jest prostopadła

do płaszczyzny γ : x + 5z = 0 oraz równoległa do prostej l :

x
4

=

y+6

−1

=

z+4

2

.

Zadanie 17.

Oblicz odległość pomi¸edzy:

a) punktem P = (1, 0,

−5) i płaszczyzn¸

a π : 3x

− 12y + 4z + 8 = 0,

b) płaszczyznami π : 2x

− y + 3z = 0, γ : −4x + 2y − 6z + 8 = 0,

c) punktem P = (0, 0, 0) i prost¸a l :

x−1

2

=

y+1

−1

=

z−3

−2

,

d) prostymi równoległymi l :

x−1

1

=

y−2

2

=

z−3

3

oraz k :

x
2

=

y
4

=

z
6

,

e) prost¸a l :

x

−1

=

y+1

2

=

z
1

i płaszczyzn¸a π : x + y

− z + 7 = 0.

Zadanie 18.

Oblicz k¸aty pomi¸edzy:

a) prost¸a l :

x+2

−3

=

y+1

−2

=

z
1

i płaszczyzn¸a π : 2x

− 3y − 5 = 0,

b) płaszczyznami π :



















x

= 1 − s + t

y

= 6 + 2s + t

z

= 7 + t

oraz γ :



















x

= 3 + t

y

= 4 + s

z

= 5 − 3s − 2t

,

c) dwiema prostymi: l :







x

+ y − 1 = 0

y − z + 3

, k :







x − 2y + z = 0

−x + 3y + 2z = 0

.

Zadanie 19.

Znajdź rzut prostok¸atny:

a) punktu P = (1, 0,

−3) na prost¸

a l :

x
2

=

y−1

−1

=

z+1

2

,

b) punktu P = (0, 0, 1) na płaszczyzn¸e π : x + y

− 2z + 4 = 0,

c) prostej l : x = y = z na płaszczyzn¸e π : x + 2y + 3z

− 6 = 0.

Zadanie 20.

Znajdź punkt symetryczny do punktu P = (0, 1, 3) wzgl¸edem:

a) punktu S = (1, 0, 1),

b) prostej l :

x+1

−2

=

y
1

=

z−5

3

,

c) płaszczyzny π : x + y + z = 0