Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 9

9. Zasada zachowania pędu

9.1 Środek masy

Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez-

wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postę-
powego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
• ciało może wirować lub drgać.
• w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej

ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to

środek

masy

. Zajmiemy się ruchem tego punktu.

Zacznijmy od przypomnienia pojęcia

średniej ważonej

. W tym celu rozważmy prosty

układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka
o różnej masie. W jednej mamy n

1

jabłek, każde o masie m

1

, w drugiej n

2

, każde o ma-

sie m

2

. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.

2

2

1

2

1

2

1

1

śred.

m

n

n

n

m

n

n

n

m

+

+

+

=

czyli

2

1

2

2

1

1

śred.

n

n

m

n

m

n

m

+

+

=

To jest

średnia ważona

(wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy

w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.

Natomiast

środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn-

nikiem ważącym przy tworzeniu średniej

.

Np. dla dwóch różnych mas m

1

i m

2

9-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

x

œrm

m

1

m

2

x

1

x

2

x

y

2

2

1

2

1

2

1

1

x

m

m

m

x

m

m

m

x

śrm

+

+

+

=

czyli

2

1

2

2

1

1

m

m

x

m

x

m

x

śrm

+

+

=

Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy

∑

∑

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

n

i

i

n

i

i

i

n

n

n

śrm

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

1

1

2

1

2

2

1

1

.....

.....

ponieważ suma

jest całkowitą masą układu to możemy zapisać

M

m

n

i

i

=

∑

=1

∑

=

=

n

i

i

i

śrm

x

m

Mx

1

Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postę-
pując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc

∑

∑

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

n

i

i

n

i

i

i

n

n

n

śrm

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

1

1

2

1

2

2

1

1

.....

.....

oraz

∑

∑

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

n

i

i

n

i

i

i

n

n

n

śrm

m

y

m

m

m

m

y

m

y

m

y

m

y

1

1

2

1

2

2

1

1

.....

.....

9-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwię-
złe równanie wektorowe

M

m

n

i

i

i

śrm

∑

=

=

1

r

r

(9.1)

Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że

środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych

punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia

(nie zależy od wyboru układu odniesie-

nia).

Przykład 1

Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m

1

= 1kg, m

2

= 2kg i m

3

= 3kg,

umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak
jak na rysunku.

m

1

m

2

x

m

3

3

2

½

x

śrm

= (m

1

x

1

+ m

2

x

2

+ m

3

x

3

)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m

y

śrm

= (m

1

y

1

+ m

2

y

2

+ m

3

y

3

)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·

3

2

m)/6kg =

3

4

m

Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.

9.2 Ruch środka masy

Rozważmy układ punktów materialnych o masach m

1

, m

2

, m

3

..., m

n

i o stałej cał-

kowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać

Mr

śrm

= m

1

r

1

+ m

2

r

2

+.......+ m

n

r

n

gdzie r

śrm

jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (wzglę-

dem czasu) powyższe równanie otrzymamy

t

m

t

m

t

m

t

M

n

n

śrm

d

d

......

d

d

d

d

d

d

2

2

1

1

r

r

r

r

+

+

+

=

9-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

lub

M

v

śrm

= m

1

v

1

+ m

2

v

2

+.....+ m

n

v

n

Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy

t

m

t

m

t

m

t

M

n

n

śrm

d

d

......

d

d

d

d

d

d

2

2

1

1

v

v

v

v

+

+

+

=

lub

Ma

śrm

= m

1

a

1

+ m

2

a

2

+ .......+ m

n

a

n

czyli

Ma

śrm

= F

1

+ F

2

+ ...........+ F

n

Wobec tego możemy napisać

Ma

śrm

= F

zew

(9.2)

Z równania (9.2) wynika, że

środek masy układu punktów materialnych porusza się w

taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły
zewnętrzne nań działały

.

To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
• Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie).
Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
• Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na

środek ciężkości

. W roz-

ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-
liczmy E

k

mierzone w układzie środka masy.

2

)

(

)

(

2

,

,

,

∑

∑

+

+

=

=

wzg

i

śrm

wzg

i

śrm

i

i

calkowita

k

m

m

E

v

v

v

v

2

i

v

gdzie

v

wzgl

jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie

skalarne otrzymamy

∑

∑

∑

+

+

=

2

2

2

,

,

2

,

wzg

i

i

wzg

i

i

śrm

śrm

i

calkowita

k

m

m

m

E

v

v

v

v

Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy pręd-
kość środka masy (M

v

śrm

= m

1

v

1

+ m

2

v

2

+.....+ m

n

v

n

). W układzie środka masy, w któ-

rym mierzymy,

v

śrm

= 0 więc drugi wyraz znika.

Zatem

'

2

2

k

śrm

kcalkowita

E

M

E

+

= v

9-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie E

k

'

jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych

to równanie przyjmuje postać

'

2

2

rot

śrm

kcalkowita

E

M

E

+

= v

gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obro-
tową).

Przykład 2

Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v.

v

Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?

2

2

2

,

2

wzg

rot

kcalkowita

m

m

E

v

v +

=

gdzie

v

rot,wzg

to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator

w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością

v

więc

v

rot,wzg

=

v

.

Stąd

2

2

2

2

2

v

v

v

m

m

m

E

kcalkowita

=

+

=

Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego
się z tą samą prędkością

v

(ale nie obracającego się).

9.3 Pęd układu punktów materialnych

Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości

v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać

t

d

dp

F

=

Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n
punktów materialnych o masach m

1

, ......, m

n

. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje

stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie
miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną
pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia

9-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

P = p

1

+ p

2

+ ......... + p

n

Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem

M

v

śrm

= m

1

v

1

+ m

2

v

2

+.....+ m

n

v

n

to otrzymujemy

P = M

v

śrm

Treść tego równania można wyrazić następująco:

Całkowity pęd układu punktów mate-

rialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy

.

Ponieważ F

zew

= Ma

śrm

, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów material-

nych przyjmuje postać

t

zew

d

d

P

F

=

(9.3)

bo

srm

srm

M

t

M

t

a

P

=

=

d

d

d

d

v

9.4 Zasada zachowania pędu

Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na
podstawie równania (9.3)

.

const

albo

0

d

d

=

=

P

P

t

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest

równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały

.

Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz
pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu - jak wybrać układ i jak stosować zasadę
zachowania pędu.

Przykład 3

Rozważmy dwa ciała o masach m

A

i m

B

połączone nieważką sprężyną umieszczone

na doskonale gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następ-
nie puszczamy swobodnie (rysunek).

Spróbujmy opisać ruch tych ciał.

Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go

obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły po-

9-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

między elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę
zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był rów-
ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może
być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pę-
du ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku
-x). Z zasady zachowania pędu

pęd początkowy = pęd końcowy

0 = m

A

v

A

+ m

B

v

B

Zatem

m

B

v

B

= - m

A

v

A

lub

v

A

= – m

B

v

B

/m

A

Np. gdy m

A

= 2kg i m

B

= 1kg to

v

A

jest równa połowie

v

B

i ma zwrot przeciwny.

Przykład 4

Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy
rozpad promieniotwórczy. Cząstka

α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością

1.4·10

7

m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające począt-

kowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234.
Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę

α (przed rozpadem po prostu jądro

uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed roz-
padem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.

pęd początkowy = pęd końcowy

0 = M

α

v

α

+ M

Th

v

Th

więc

v

Th

= - M

α

v

α

/M

Th

= - 4·1.4·10

7

/234 = -2.4·10

5

m/s

9-7