Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-1
Wykład 10
10. Zasada zachowania pędu II
10.1
Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się ukła-
dami, których masa zmienia się podczas obserwacji.
Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą
prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek po-
niżej).
Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością v
s
względem Ziemi. Prędkość
chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa
v, zatem prędkość spalin względem rakie-
ty v
wzg.
jest dana zależnością
v
wzgl
= v
s
– v
(10.1)
Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dm
s
z pręd-
kością v
0
to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym
t
m
t
m
s
d
d
d
d
−
=
(10.2)
Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu
t
t
t
spalin
rakiety
d
d
d
d
d
d
p
p
P
+
=
t
m
t
m
t
s
s
d
d
d
)
d(
d
d
v
v
+
=
P
t
m
t
m
t
m
t
s
s
d
d
d
d
d
d
d
d
v
v
v
+
+
=
P
(10.3)
Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak
i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu
jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ.
dm
s
m
v
v
s
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-2
Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do po-
staci
t
m
t
m
t
s
wzgl
zew
d
d
d
d
d
d
v
v
+
=
=
p
F
(10.4)
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ
przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę
siły ciągu
.
Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne F
zew
są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch
odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas F
zew
reprezentuje ciężar
rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się
uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć F
zew
. Np. rakieta Saturn 5 o masie
ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.
Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000
kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem
rakiety jest równa 1500 m/s.
t
M
F
wzgl
d
d
v
=
więc
F = 1500·150 = 2.25·10
5
N
Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skiero-
wana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·10
5
N minus ciężar rakiety (1.5·10
5
N). Po zu-
życiu paliwa wynosi 2.25·10
5
N - 0.5·10
5
N = 1.75·10
5
N.
10.2
Zderzenia
10.2.1 Wstęp
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazy-
wamy
siłami impulsowymi
. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o
ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "doty-
kać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (
4
He) z jądrem jakiegoś
pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia możemy podciągnąć również
reakcje
. Proton w trakcie zderzenia z ją-
drem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpa-
dy cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron:
Σ = π
-
+ n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:
•
można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
•
prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wie-
my o siłach "podczas" zderzenia.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-3
10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia ale wiemy, że musi
być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu
przypadkach stosując te zasady przewidzieć wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy
sprężystym
, jeżeli
nie to
niesprężystym
.
Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między
atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze
w pewnym stopniu niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniu
jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest
cał-
kowicie niesprężyste
. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-
cisk wbija się w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraźmy
sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki.
Masy kul m
1
i m
2
, prędkości przed zderzeniem v
1
i v
2
a po zderzeniu u
1
i u
2
tak jak na
rysunku poniżej.
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
m
1
v
1
+ m
2
v
2
= m
1
u
1
+ m
2
u
2
(10.5)
Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z defi-
nicją). Otrzymujemy więc
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
u
m
u
m
m
m
+
=
+
v
v
(10.6)
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m
1
(v
1
- u
1
) = m
2
(u
2
- v
1
)
(10.7)
a równanie (10.6) w postaci
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
v
v
−
=
−
u
m
u
m
(10.8)
m
1
u
1
m
1
v
1
m
2
u
2
m
2
v
2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-4
Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu
v
1
≠
u
1
i v
2
≠
u
2
)
v
1
+ u
1
= v
2
+ u
2
a po uporządkowaniu
v
1
- v
2
= u
2
- u
1
(10.9)
Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się czą-
stek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u
1
i u
2
. Wy-
starczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
v
v
+
+
+
−
=
m
m
m
m
m
m
m
u
(10.10)
oraz
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
v
v
+
−
+
+
=
m
m
m
m
m
m
m
u
(10.11)
Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:
•
m
1
= m
2
wtedy
u
1
= v
2
oraz
u
2
= v
1
czyli cząstki wymieniły się prędkościami.
•
v
2
= 0
wtedy
1
2
1
2
1
1
v
+
−
=
m
m
m
m
u
oraz
1
2
1
1
2
2
v
+
=
m
m
m
u
•
jeżeli jeszcze dodatkowo m
1
= m
2
wtedy
u
1
= 0
oraz
u
2
= v
1
(wymiana prędkości)
•
natomiast gdy m
2
>> m
1
to wtedy:
u
1
≅
– v
1
oraz
u
2
≅
0
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywają-
cą) np. piłka uderza o ścianę.
•
wreszcie sytuacja odwrotna m
2
<< m
1
.
Wtedy
u
1
≅
v
1
oraz
u
2
≅
2v
1
.
Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-5
tracąc nic z prędkości. Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie np. elektro-
ny to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości. Zatem
trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutro-
nów.
Przy zderzeniach
niesprężystych
energia kinetyczna nie jest zachowana.
Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło
lub energię potencjalną deformacji.
Przykład 1
Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m
1
) w zderzeniu centralnym z jądrem
atomowym (m
2
) będącym w spoczynku?
Początkowa energia kinetyczna:
2
2
1
1
1
v
m
E
k
=
Końcowa energia kinetyczna:
2
2
1
1
2
u
m
E
k
=
Względne zmniejszenie energii kinetycznej:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
v
v
v
u
u
E
E
E
k
k
k
−
=
−
=
−
Ponieważ dla takiego zderzenia:
1
2
1
2
1
1
v
+
−
=
m
m
m
m
u
więc
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)
(
4
1
m
m
m
m
m
m
m
m
E
E
E
k
k
k
+
=
+
−
−
=
−
•
dla ołowiu m
2
= 206 m
1
więc
%)
2
(
02
.
0
1
2
1
=
−
k
k
k
E
E
E
•
dla węgla m
2
= 12 m
1
więc
%)
28
(
8
2
.
0
1
2
1
=
−
k
k
k
E
E
E
•
dla wodoru m
2
= m
1
więc
%)
100
(
1
1
2
1
=
−
k
k
k
E
E
E
Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-
niaczem (a nie ołów).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M, wi-
szącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v,
wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w
nim pociskiem) wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10-6
mv = (m + M)u
Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):
(1/2)(m+M)u
2
= (m + M)gh
Po rozwiązaniu tych dwóch równań otrzymujemy:
gh
m
M
m
2
+
=
v
Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć prędkość
pocisku v.
Na zakończenie sprawdźmy jaka część początkowej energii zostaje zachowana w
tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek – po-
cisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymuje-
my
M
m
m
gh
m
M
m
m
gh
M
m
m
u
M
m
+
=
+
+
=
+
2
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
2
2
2
v
Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek
m/(m+M)
≅
0.025. Oznacza to, że zachowane zostaje tylko 0.25% początkowej energii
kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.
m v
M
h