Wykład 10

10. Zasada zachowania pędu II

1. Układy o zmiennej masie

Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się układami, których masa zmienia się podczas obserwacji.

Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek poniżej).

Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością v_s względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety v_wzg. jest dana zależnością

v_wzgl = v_s - v (10.1)

Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dm_s z prędkością v₀ to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym

(10.2)

Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu

(10.3)

Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do postaci

(10.4)

Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę siły ciągu.

Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne F_zew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas F_zew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć F_zew. Np. rakieta Saturn 5 o masie ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.

Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000 kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem rakiety jest równa 1500 m/s.

więc

F = 1500·150 = 2.25·10⁵ N

Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skierowana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·10⁵ N minus ciężar rakiety (1.5·10⁵ N). Po zużyciu paliwa wynosi 2.25·10⁵ N - 0.5·10⁵ N = 1.75·10⁵ N.

2. Zderzenia

1. Wstęp

Co rozumiemy poprzez zderzenie?

Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazywamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "dotykać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (⁴He) z jądrem jakiegoś pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym. Pod zderzenia możemy podciągnąć również reakcje. Proton w trakcie zderzenia z jądrem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron: Σ = π^- + n.

Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:

• można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"

• prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wiemy o siłach "podczas" zderzenia.

1. Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia ale wiemy, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu przypadkach stosując te zasady przewidzieć wynik zderzenia.

Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy sprężystym, jeżeli nie to niesprężystym.

Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze w pewnym stopniu niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniu jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem gdy pocisk wbija się w klocek.

Rozpatrzmy teraz zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraźmy sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki. Masy kul m₁ i m₂, prędkości przed zderzeniem v₁ i v₂ a po zderzeniu u₁ i u₂ tak jak na rysunku poniżej.


Z zasady zachowania pędu otrzymujemy

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ (10.5)

Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z definicją). Otrzymujemy więc


(10.6)

Przepisujemy równanie (10.5) w postaci

m₁(v₁ - u₁) = m₂(u₂ - v₁) (10.7)

a równanie (10.6) w postaci


(10.8)

Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu v₁ ≠ u₁ i v₂ ≠ u₂)

v₁ + u₁ = v₂ + u₂

a po uporządkowaniu

v₁ - v₂ = u₂ - u₁ (10.9)

Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu.

Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u₁ i u₂. Wystarczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy


(10.10)

oraz


(10.11)

Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:

• m₁ = m₂

wtedy u₁ = v₂ oraz u₂ = v₁

czyli cząstki wymieniły się prędkościami.

• v₂ = 0

wtedy


oraz


• jeżeli jeszcze dodatkowo m₁ = m₂

wtedy u₁ = 0 oraz u₂ = v₁ (wymiana prędkości)

• natomiast gdy m₂ >> m₁ to wtedy:

u₁ ≅ - v₁ oraz u₂ ≅ 0

Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywającą) np. piłka uderza o ścianę.

• wreszcie sytuacja odwrotna m₂ << m₁.

Wtedy u₁ ≅ v₁ oraz u₂ ≅ 2v₁.

Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia.

Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości. Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie np. elektrony to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości. Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów.

Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana.

Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło lub energię potencjalną deformacji.

Przykład 1

Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m₁) w zderzeniu centralnym z jądrem atomowym (m₂) będącym w spoczynku?

Początkowa energia kinetyczna:


Końcowa energia kinetyczna:


Względne zmniejszenie energii kinetycznej:




Ponieważ dla takiego zderzenia:




więc




• dla ołowiu m₂ = 206 m₁ więc
  

• dla węgla m₂ = 12 m₁ więc
  

• dla wodoru m₂ = m₁ więc
  

Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowalniaczem (a nie ołów).

Przykład 2

Wahadło balistyczne.

Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M, wiszącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v, wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w nim pociskiem) wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.

Z zasady zachowania pędu otrzymujemy

mv = (m + M)u


Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):

(1/2)(m+M)u² = (m + M)gh

Po rozwiązaniu tych dwóch równań otrzymujemy:




Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć prędkość pocisku v.

Na zakończenie sprawdźmy jaka część początkowej energii zostaje zachowana w tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek - pocisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymujemy




Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek m/(m+M) ≅ 0.025. Oznacza to, że zachowane zostaje tylko 0.25% początkowej energii kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

9-9

10-1










---