Analiza Matematyczna - I Rok Inf. Lic.

LISTA 1

Indukcja matematyczna

Zadanie 1. Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi wzór: 1 + 2 + ... + n =

n(n+1)

2

.

Zadanie 2. Pokazać, że 1

2

+ 2

2

+ ... + n

2

=

n(n+1)(2n+1)

6

dla dowolnego n ∈ N.

Zadanie 3. Udowodnić, że 1

3

+ 2

3

+ ... + n

3

= (1 + 2 + ... + n)

2

dla dowolnego n ∈ N.

Zadanie 4. Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N liczba 8

n

+ 6 jest podzielna przez 7.

Zadanie 5. Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N liczba n

3

− n jest podzielna przez 6.

Zadanie 6. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x ­ −1 oraz dla dowolnej liczby

n ∈ N prawdziwa jest nierówność Bernoulliego:

(1 + x)

n

­ 1 + nx.

Zadanie 7. Udowodnić, że dla dowolnej liczby n ∈ N takiej, że n ­ 6 zachodzi nierówność

n! <



n

2



n

.

Zadanie 8. Udowodnić, że dla dowolnej liczby n ∈ N takiej, że n ­ 5 zachodzi 2

n

> n

2

.

Zadanie 9. Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi tożsamość:

sin

π

3

+ sin

2π

3

+ ... + sin

nπ

3

= 2 sin

nπ

6

sin

n + 1

6

π.

Zadanie 10. Udowodnić, że dla dowolnego n ∈ N oraz x ∈ R mamy: | sin(nx)| ¬ n| sin x|.

Zadanie 11. Udowodnić, że dowolną kwotę pieniędzy złożoną z n złotych (n ­ 4)można

wypłacić monetami 2 i 5 złotowymi.

Zadanie 12. Wyznaczyć liczbę odcinków łączących n punktów na płaszczyźnie, z których

żadne trzy nie są współliniowe.

Zadanie 13. Udowodnić, że suma

n

3

6

+

n

2

2

+

n

3

jest liczbą naturalną dla każdego n ∈ N.

1