LISTA ZADA ´

N Z INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

1. Udowodnij indukcyjnie, ˙ze

(a)

P

n
k

=1

k

=

n

(n+1)

2

,

(b)

P

n
k

=1

k

2

=

1
6

n

(n + 1)(1 + 2n),

(c)

P

n
k

=1

k

3

=

1
4

n

2

(n + 1)

2

= (

P

n
k

=1

k

)

2

.

2. Udowodnij, ˙ze 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + (n − 1) · n =

(n−1)n(n+1)

3

.

3. Wyka˙z, ˙ze 1

2

+ 3

2

+ . . . + (2n − 1)

2

=

n

3

(4n

2

− 1).

4. Wyka˙z, ˙ze 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n

2

.

5. Uzasadnij, ˙ze 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1.

6. Udowodnij, ˙ze:

(a) 6 | n

3

− n,

(b) 6 | 10

n

− 4,

(c) 3 | n

3

+ 2n,

(d) 133 | 11

n

+2

+ 12

2n+1

,

(e) 9 | n

3

+ (n + 1)

3

+ (n + 2)

3

.

7. Udowodnij, ˙ze cos α · cos 2α · cos 4α · · · cos 2

n

α

=

sin 2

n

+1

α

2

n

+1

sin α

dla α 6=

kπ, k

∈ Z. Wsk. sin 2α = 2 sin α cos α. Inny spos´ob mo˙ze polega´c na

przemno˙zeniu obu stron r´

owno´sci przez sin α i ponownym wielokrot-

nym wykorzystaniu formu ly sin 2α = 2 sin α cos α.

8. Poka˙z, ˙ze (przy stosownych za lo˙zeniach)

(a) sin x + sin 2x + sin 3x + . . . + sin nx =

sin

n

+1

2

x·sin

nx

2

sin

x

2

,

(b) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx =

cos

n

+1

2

x·sin

nx

2

sin

x

2

.

Wsk. wykorzystaj wzory na sumy funkcji trygonometrycznych typu
sin x + sin y = 2 sin

x

+y

2

cos

x−y

2

.

Mo˙zesz r´ownie˙z spr´obowa´c obliczy´c

sume

‘

P

n
k

=1

e

ikx

i popatrze´c na jej cze

‘

´s´c urojona

‘

i rzeczywista

‘

.

9. Udowodnij, ˙ze

n

X

k

=1

1

k

(k + 1)

= 1 −

1

n

+ 1

dwoma sposobami:

1

(a) indukcyjnie,

(b) wykorzystuja

‘

c to˙zsamo´s´c

1

k

(k+1)

=

1
k

−

1

k

+1

.

10. Poka˙z, ˙ze dla n > 1

1

n

+ 1

+

1

n

+ 2

+

1

n

+ 3

+ · · · +

1

2n

>

13
24

.

Wsk.

1

2k+1

+

1

2k+2

−

1

k

+1

=

1

2(k+1)(2k+1)

.

11. Udowodnij indukcyjnie, ˙ze dla n ≥ 3 zachodzi 2

n

>

2n + 1.

12. Udowodnij indukcyjnie, ˙ze dla n ≥ 5 zachodzi 2

n

> n

2

.

13. Udowodnij nier´

owno´s´c Bernoulliego: (1 + α)

n

>

1 + nα dla n > 1 i

α >

−1, α 6= 0.

14. Wyka˙z, ˙ze dla n > 1 zachodzi

1

√

1

+

1

√

2

+

1

√

3

+ · · · +

1

√

n

>

√

n.

15. Udowodnij, ˙ze (a + b)

n

<

2

n−1

(a

n

+ b

n

) dla a, b > 0, a 6= b i n > 1.

16. Za l´

o˙zmy, ˙ze liczby x

1

, x

2

, . . . , x

n

sa

‘

tego samego znaku i ˙ze wszystkie

sa

‘

wie

‘

ksze od −1. Udowodnij, ˙ze

(1 + x

1

)(1 + x

2

) . . . (1 + x

n

) ≥ 1 + x

1

+ x

2

+ . . . + x

n

.

17. Niech {F

n

}

n∈N

be

‘

dzie cia

‘

giem Fibonacciego zdefiniowanym rekuren-

cyjnie za pomoc¸a wzor´

ow F

0

= 0, F

1

= 1, F

n

= F

n−1

+ F

n−2

(n ≥ 2).

Udowodnij indukcyjnie, ˙ze

(a) F

1

+ F

3

+ . . . + F

2n−1

= F

2n

,

(b) F

2

+ F

4

+ . . . + F

2n

= F

2n+1

− 1,

(c) F

1

− F

2

+ F

3

− F

4

+ . . . + (−1)

n

+1

F

n

= (−1)

n

+1

F

n−1

+ 1,

(d)



1 1
1 0



n

=



F

n

+1

F

n

F

n

F

n−1



dla n ≥ 1.

2