Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 23

ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE I CIĄGŁE. DYSTRYBUANTA - lista zadań

1. Narysować histogram zmiennej losowej X , dla której
   ,
   .
   

2. Zmienna losowa X ma następujący rozkład prawdopodobieństwa podany w tabelce:

	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4

Obliczyć:
Sporządzić histogram rozkładu.

3. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie danym za pomocą tabelki:
   

	0	1	2	3

Sprawdzić, że jest to rozkład pewnej zmiennej losowej. Sporządzić histogram. Wyznaczyć analitycznie i narysować dystrybuantę zmiennej  losowej X.

4. Zmienna losowa X ma następujący rozkład prawdopodobieństwa podany w tabelce:

	-5	-2	0	1	3	8
	0,1	0,2	0,1	0,2	c	0,1

a)   wyznaczyć stałą c, b) narysować wykres prawdopodobieństwa, c)  wyznaczyć i narysować dystrybuantę, d) korzystając z funkcji prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty obliczyć P(X = 1), P(X = 2), P(X < 3), P(X ≥ 0), P(-2 ≤ X <3). Zaznaczyć prawdopodobieństwa na wykresie.


5. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:
   

x	(-∞, 1]	(1, 3]	(3, 6]	(6, ∞)
F(x)	0	0,3	0,6	1

Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. Sporządzić wykres dystrybuanty oraz naszkicować histogram.

6. Rzucono trzema symetrycznymi monetami. Niech X oznacza zmienna przyjmującą wartości równe liczbie wyrzuconych orłów. Przedstawić w postaci tabelki rozkład tej zmiennej. Sporządzić histogram i wykres dystrybuanty.
   

7. Rzucono dwukrotnie monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w pojedynczym rzucie wynosi
   . Niech X oznacza zmienna przyjmującą wartości równe liczbie wyrzuconych orłów. Przedstawić w postaci tabelki rozkład tej zmiennej. Sporządzić histogram i wykres dystrybuanty.
   

8. Z talii 24 kart losujemy dwie karty. Niech X oznacza zmienna przyjmującą wartości równe liczbie wylosowanych asów. Przedstawić w postaci tabelki rozkład tej zmiennej. Sporządzić histogram i wykres dystrybuanty.
   

9. Ze zbioru liczb { 1, 2, 3, 4} losujemy dwie liczby. Niech X oznacza zmienna przyjmującą wartości równe większej z wylosowanych liczb. Przedstawić w postaci tabelki rozkład tej zmiennej. Sporządzić histogram i wykres dystrybuanty.
   

10. Wyznaczyć stałą A tak, aby funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X jeżeli:
    a) 
      b)
    c)
    .
    Sporządzić wykres otrzymanej funkcji.
    

11. Niech X będzie zmienną losowa o gęstości
    
    Sprawdzić, że f jest   gęstością i sporządzić jej wykres. Wyznaczyć dystrybuantę i sporządzić jej wykres.
    

12. Gęstość zmiennej losowej X ma postać:
    
    Obliczyć stałą a. Wyznaczyć dystrybuantę.
    
    

13. Dana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:
                        
    
    Znaleźć stałą a. Wyznaczyć dystrybuantę. Naszkicować wykres gęstości i dystrybuanty.
    

14. Wyznaczyć gęstość zmiennej X o dystrybuancie:
    
    Obliczyć
    .

15. Dana jest funkcja gęstości zmiennej X:
    
    Wyznaczyć dystrybuantę i obliczyć na jej podstawie
    .

16. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:  
    
    Obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa X przyjmuje wartości należące do przedziału (0; 1).
    

17. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
    
    a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X. b) Obliczyć
    .
    
    

18. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:  
    
    Wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej X. Naszkicować wykres gęstości i dystrybuanty. Obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem zmienna X przyj­mie wartości należące do przedziału (2; 3). Zaznaczyć to prawdopodobieństwo na wykresie gęstości i wykresie dystrybuanty.
    

Odpowiedzi

2. a)
, b)
, c)
. 3.
4. a)
, d)











10. a)
, b)
, c)
. 11.


12.
,
13.
,


14.



15.

.

16.
. 17. a)
b)


18.

.

2

Zadania do wykładu 23: Zmienne losowe skokowe i ciągłe. Dystrybuanta.

2

5.

	1	3	6
	0,3	0,3	0,4

6.

	0	1	2	3

8.

	0	1	2

7.

	0	1	2

9.

	2	3	4