Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 22

WZÓR BAYESA. SCHEMAT BERNOULLI'EGO - lista zadań

1. Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Niech A oznacza zdarzenie: „za  pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą”, B - zdarzenie: „iloczyn wylosowanych liczb jest większy od 20”. Obliczyć
   .
   

2. Wybieramy losowo punkt (x, y) kwadratu
   . Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
   a)
   pod warunkiem, że
   ,      b)
   pod warunkiem, że
   .
   

3. Niech zdarzenie A polega na wyciągnięciu z talii 52 kart kiera, zdarzenie B na wyciągnięciu asa. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne.
   

4. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Wprowadźmy zdarzenia: A - wyciągnięto figurę, B - wyciągnięto asa trefl lub dwójkę karo. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne.

5. Rzucamy razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie, że liczba oczek jest podzielna przez 3, zaś zdarzenie B, że liczba wyrzuconych oczek jest mniejsza od 4, Sprawdzić, czy zdarzenia losowe A i B są niezależne
   

6. Zdarzenia A i B są niezależne i rozłączne. Znaleźć
   .
   

7. Pokazać, że jeżeli
   oraz
   , to
   .
   

8. Niech
   oraz P jest prawdopodobieństwem klasycznym. Niech
   ,
   ,
   . Sprawdzić, czy zdarzenia A, B, C są niezależne. Czy są niezależne parami?
   

9. Niech
   oraz P jest prawdopodobieństwem określonym tak, że
   ,
   ,
   . Niech
   ,
   ,
   . Sprawdzić, czy zdarzenia A, B, C są niezależne. Czy są niezależne parami?

10. Rozpatrzmy rodziny posiadające dwoje dzieci. Czy zdarzenia A: „w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka” oraz B: „w rodzinie są dzieci obu płci” są niezależne? Rozwiązać to zadanie w przypadku rodzin z trójką dzieci. Przyjąć, że urodzenie się chłopca i dziewczynki jest jednakowo prawdopodobne.
    

11. W pudełku znajduje się 120 oporników serii A i 80 oporników serii B. Wybieramy losowo jeden opornik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to opornik wadliwy, jeżeli w serii A jest 4% oporników wadliwych,  natomiast w serii B jest ich 5%.
    
    
    

12. Partia komputerów została wyprodukowana przez trzy zakłady: Z₁, Z₂, Z₃ odpowiednio w 25%, 25% oraz  50%. Liczba jednostek niesprawnych w poszczególnych zakładach jest równa 1%, 2%, 1%. Zakupiono  komputer. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) jest on niesprawny? b) pochodzi on z zakładu Z₂, jeżeli okazał się on niesprawny?
    

13. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie pięciu orłów w rzucie 10 monetami?
    

14. Rzucamy 5 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania trzech oczek:
    a) dokładnie dwa razy, b) dokładnie raz, c) ani razu?
    

15. Rzucamy 4 razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła co najmniej 3 razy. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A'.
    

16. Z urny zawierającej 6 kul białych i 9 zielonych losujemy 5 razy po jednej kuli, którą po wylosowaniu wrzucamy z powrotem do urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 3 razy kuli białej.
    

17. Dwie osoby rzucają po 4 razy symetryczną monetę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie uzyskały tę samą liczbę orłów?
    

18. Rzucamy 100 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
    a) orzeł wypadł dokładnie 55 razy,
    b) uzyskaliśmy co najmniej 40, ale nie więcej niż 56 orłów,
    c) uzyskaliśmy co najmniej 60 orłów.
    

19. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,8. Strzelec oddał do celu serię 400 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
    a) trafił do celu dokładnie 325 razy,
    b) liczba trafień mieści się w przedziale
    ,
    c) liczba trafień nie przekracza 310.
    

20. Rzucamy monetą 100 razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy więcej niż 54 orły. Powtórzyć obliczenia i znaleźć prawdopodobieństwo, że otrzymamy więcej niż 540 orłów w 1000 rzutów oraz, że otrzymamy więcej niż 5400 orłów w 10 000 rzutów.
    

21. Prawdopodobieństwo urodzenia sie chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród n = 10 000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?
    

22. Linie lotnicze odnotowały po latach doświadczeń, ze
    pasażerów, którzy mają rezerwację na dany lot, nie zgłasza sie do odprawy. Linie te na pewien lot dokonały 441 rezerwacji przy 420 miejscach w samolocie. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze dla co najmniej 1 pasażera zabraknie miejsca?

Odpowiedzi

1.
. 2. a)
, b)
. 3.
. A i B są niezależne.

4.
. A i B są zależne.

5.
. A i B są niezależne.

6.
,
.

7. Wsk.
.

8.
. Zdarzenia A, B i C są zależne. Parami są niezależne.

9.
,
. Zdarzenia A, B i C są zależne. Parami są również zależne.

10. Dla dwójki dzieci zdarzenia A i B są zależne, dla trójki - niezależne.

11. 0,044. 12.a) 0,0125, b) 0,4. 13.
. 14. a)
, b)
, c)
. 15.
.

16.
. 17.
. 18. a)
, b) 0,8853, c) 0,0287. 19. a) 0,3282, b) 0,9947, c) 0,117.

20. a) 0,1841, b) 0,0062, c) 0,0000. 21. 0,0007. 22. 0,0001.

2

Zadania do wykładu 22: Wzór Bayesa. Schemat Bernoulli'ego.

2

---