Przyk ladowe zadania na klas´

owk¸

e

1. Wyznaczy´

c ´

srodek ci¸e˙zko´

sci figury D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

≤ 1, y ≥ 0, },

kt´

orej g¸esto´

s´

c jest dana wzorem f (x, y) = 2 + xy.

Rozw. Tak jak by lo na zaj¸

eciach - do policzenia ca lki

M =

Z

Z

D

f (x, y) dxdy,

M

x

=

Z

Z

D

x·f (x, y) dxdy

oraz

M

y

=

Z

Z

D

y·f (x, y) dxdy.

Aby policzy´

c te ca lki, trzeba mie´

c opis zbioru D. Jest to - we wsp´

o lrz¸

ednych biegunowych

- zbi´

or (x, y) takich, ˙ze x = r ·cosα, y = r ·sinα, gdzie r ∈ [0, 1], α ∈ [

−π

2

,

π

2

]. Pami¸

etamy,

˙ze dxdy = rdrdα. ( DLACZEGO TAK JEST? ) W´

owczas

Z

Z

D

f (x, y)dxdy =

Z

1

0

Z

π

2

−π

2



(2 + r

2

cos α · sin α) · r



dαdr =

Z

1

0

Z

π

2

−π

2



2r + r

3

·

1

2

sin(2α)



dαdr

=

Z

1

0

n

2r · α + r

3

·

−1

4

cos(2α)






π/2

α=−π/2

o

dr

=

Z

1

0

n

2r

π

2

−

r

3

4

· cos(π) − 2r ·

−π

2

+

r

3

4

· cos(−π)

o

dr =

Z

1

0

2rπdr = πr

2





1

r=0

= π .

Analogicznie liczymy M

x

i M

y

i wychodzi ´

srodek ci¸

e˙zko´

sci (x

0

, y

0

) = (M

x

/M , M

y

/M ).

2. Wyznaczy´

c ca lk¸

e

Z

1

0

Z

1

y

2

y · e

x

2

dxdy .

Rozw.

Trzeba zmieni´

c kolejno´

s´

c ca lkowania, bo inaczej nie wyjdzie. Rysujemy

uklad wspolrzednych z osi¸

a x poziomo i osi¸

a y pionowo. Obszar D jest taki, ˙ze y ∈ [0, 1],

x ∈ [y

2

, 1].

Teraz, ˙zeby zamieni´

c kolejno´

s´

c ca lkowania rysujemy ten sam obszar D w ukladzie

wspolrzednych z osi¸

a x pionowo i osi¸

a y poziomo. Otrzymamy x ∈ [0, 1] , y ∈ [0,

√

x].

W´

owczas ta nasza ca lka b¸

edzie r´

owna

Z

1

0

Z

√

x

0

ye

x

2

dydx =

Z

1

0



Z

√

x

0

ye

x

2

dy



dx =

Z

1

0

e

x

2

·

1

2

y

2





√

x

y=0

dx

=

Z

1

0

e

x

2

·

1

2

·



(

√

x)

2

− 0

2



dx =

1

2

Z

1

0

xe

x

2

dx .

Robimy podstawienie t = x

2

i otrzymujemy xdx =

1
2

dt, t ∈ [0, 1] oraz

1

2

Z

1

0

xe

x

2

dx =

1

2

Z

1

0

1

2

e

t

dt =

1

4

· e

t





1

t=0

=

1

4

· (e

1

− e

0

) .

.

1

3. Obliczy´

c pole powierzchni opisanej funkcj¸

a f (x, y) = x

2

+ y

2

, gdzie D = {(x, y) :

x

2

+ y

2

≤ 1} jest dziedzin¸

a f .

Rozw.

Jakie jest pole powierzchni paraboloidy narysowanej nad ko lem jednos-

tkowym? Trzeba liczy´

c

Z

Z

D

q

1 + (f

0

x

(x, y))

2

+ (f

0

y

(x, y))

2

dxdy

Ta calka jest r´

owna

Z

Z

D

q

1 + 4x

2

+ 4y

2

dxdy .

Korzystaj¸

ac z podstawie´

n biegunowych x = r · cos α , y = r · sin α, gdzie r ∈ [0, 1],

α ∈ [0, 2π] otrzymujemy dxdy = rdrdα. W´

owczas nasza ca lka ma posta´

c

Z

2π

0

Z

1

0

nq

1 + 4(r cos α)

2

+ 4(r sin α)

2

· r

o

drdα =

Z

2π

0



Z

1

0

np

1 + 4r

2

· r

o

dr



dα.

Stosuj¸

ac podstawienie 1 + 4r

2

= t otrzymamy rdr =

1
8

dt oraz t ∈ [1, 5], bo r ∈ [0, 1].

Otrzymamy

Z

2π

0



Z

5

1

√

t ·

1

8

dt



dα =

Z

2π

0



1

8

·

2

3

t

3
2





5

t=1



dα =

Z

2π

0

1

12

· (5

3
2

− 1

3
2

) dα

=

5

√

5 − 1

12

· α





2π

α=0

= π ·

5

√

5 − 1

6

.

2