Przyk ladowe zadania na klas´
owk¸
e
1. Wyznaczy´
c ´
srodek ci¸e˙zko´
sci figury D = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
≤ 1, y ≥ 0, },
kt´
orej g¸esto´
s´
c jest dana wzorem f (x, y) = 2 + xy.
Rozw. Tak jak by lo na zaj¸
eciach - do policzenia ca lki
M =
Z
Z
D
f (x, y) dxdy,
M
x
=
Z
Z
D
x·f (x, y) dxdy
oraz
M
y
=
Z
Z
D
y·f (x, y) dxdy.
Aby policzy´
c te ca lki, trzeba mie´
c opis zbioru D. Jest to - we wsp´
o lrz¸
ednych biegunowych
- zbi´
or (x, y) takich, ˙ze x = r ·cosα, y = r ·sinα, gdzie r ∈ [0, 1], α ∈ [
−π
2
,
π
2
]. Pami¸
etamy,
˙ze dxdy = rdrdα. ( DLACZEGO TAK JEST? ) W´
owczas
Z
Z
D
f (x, y)dxdy =
Z
1
0
Z
π
2
−π
2
(2 + r
2
cos α · sin α) · r
dαdr =
Z
1
0
Z
π
2
−π
2
2r + r
3
·
1
2
sin(2α)
dαdr
=
Z
1
0
n
2r · α + r
3
·
−1
4
cos(2α)
π/2
α=−π/2
o
dr
=
Z
1
0
n
2r
π
2
−
r
3
4
· cos(π) − 2r ·
−π
2
+
r
3
4
· cos(−π)
o
dr =
Z
1
0
2rπdr = πr
2
1
r=0
= π .
Analogicznie liczymy M
x
i M
y
i wychodzi ´
srodek ci¸
e˙zko´
sci (x
0
, y
0
) = (M
x
/M , M
y
/M ).
2. Wyznaczy´
c ca lk¸
e
Z
1
0
Z
1
y
2
y · e
x
2
dxdy .
Rozw.
Trzeba zmieni´
c kolejno´
s´
c ca lkowania, bo inaczej nie wyjdzie. Rysujemy
uklad wspolrzednych z osi¸
a x poziomo i osi¸
a y pionowo. Obszar D jest taki, ˙ze y ∈ [0, 1],
x ∈ [y
2
, 1].
Teraz, ˙zeby zamieni´
c kolejno´
s´
c ca lkowania rysujemy ten sam obszar D w ukladzie
wspolrzednych z osi¸
a x pionowo i osi¸
a y poziomo. Otrzymamy x ∈ [0, 1] , y ∈ [0,
√
x].
W´
owczas ta nasza ca lka b¸
edzie r´
owna
Z
1
0
Z
√
x
0
ye
x
2
dydx =
Z
1
0
Z
√
x
0
ye
x
2
dy
dx =
Z
1
0
e
x
2
·
1
2
y
2
√
x
y=0
dx
=
Z
1
0
e
x
2
·
1
2
·
(
√
x)
2
− 0
2
dx =
1
2
Z
1
0
xe
x
2
dx .
Robimy podstawienie t = x
2
i otrzymujemy xdx =
1
2
dt, t ∈ [0, 1] oraz
1
2
Z
1
0
xe
x
2
dx =
1
2
Z
1
0
1
2
e
t
dt =
1
4
· e
t
1
t=0
=
1
4
· (e
1
− e
0
) .
.
1
