2009-05-27

1

Metody prognozowania:

Metody prognozowania:

Podstawy logiki rozmytej

Podstawy logiki rozmytej

2

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte, Akademicka Oficyna
Wydawnicza EXIT, Warszawa 1999 r.

D. Rutkowska, M. Pilinski, L. Rutkowski, Sieci neuronowe,
algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, WN PWN (1997),
rozdział 3.

Yager Ronald R.: Podstawy modelowania i sterowania rozmytego.
Warszawa: Wydawnictwo Naukowo-Techniczne 1995

Literatura do wykładu:

Literatura do wykładu:

2009-05-27

2

3

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Nawet eksperci używają sformułowań: „Metoda A jest znacznie

bardziej efektywna niż metoda B”.

Ocenę stanów, rzeczy wykonuje sie w pewnej skali

stopniowania:

mały, duży, wielki, niski, wysoki, bardzo wysoki, wolny, średnio

wolny, szybki, itd...

Trudno jest zatem odróżnić element danej klasy od innych.

Co to jest logika rozmyta ?

Co to jest logika rozmyta ?

4

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Co to jest logika rozmyta ?

Co to jest logika rozmyta ?

2009-05-27

3

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

5

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Co to jest logika rozmyta ?

Co to jest logika rozmyta ?

•

Klasyczna logika bazuje na dwóch wartościach reprezentowanych najczęściej przez: 0 i

1 lub prawda i fałsz. Granica między nimi jest jednoznacznie określona i niezmienna.

•

Logika rozmyta stanowi rozszerzenie klasycznego rozumowania na rozumowanie

bliższe ludzkiemu. Wprowadza ona wartości pomiędzy standardowe 0 i 1; ‘rozmywa’

granice pomiędzy nimi dając możliwość zaistnienia wartościom z pomiędzy tego

przedziału (np.: prawie fałsz, w połowie prawda).

0 – fałsz, 1 – prawda

Klasyczna logika jest specyficznym przypadkiem logiki
wielowartościowej (logiki rozmytej)

Dwuwartościowa logika Arystotelesa: prawda, fałsz.

Platon zauważył że istnieje cos pomiędzy fałszem i prawda.

Jan Łukasiewicz (1930 r.) pracował nad nieostrością stwierdzeń:
wysoki,

stary,

gorący.

Wprowadził

zakres

prawdziwości

z

przedziału

od

0

do

1.

Wartości

te

prezentowały

prawdopodobieństwo prawdziwości danego stwierdzenia.

Max Black (1937 r.) – wprowadził pierwszy bardzo prosty zbiór
rozmyty i zarys wykonywanych na nich operacji.

Lotfi Zadeh (1965 r.) – rozwinął teorie prawdopodobieństwa do
informacji rozmytej w formalny system logiki matematycznej.
Wprowadził zastosowanie dla terminów z języka naturalnego.

Historia

Historia

6

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

2009-05-27

4

Logika konwencjonalna (boolowska) używa ostrego
rozróżniania: albo cos jest elementem klasy, albo nie jest,
np.:

kabel jest długi > 300 m, albo kabel krótki <=300m

Antek jest wysoki, bo ma 181cm (wysoki > 180cm)

Michał jest niski (nie wysoki), bo mierzy 179cm

Logika konwencjonalna

Logika konwencjonalna

7

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Zbiór - podstawowe pojecie w matematyce.

X - zbiór klasyczny, x element zbioru X.

(x

∈

X) – x jest elementem zbioru X. Każdy element, który

przynależy do zbioru ma ustawianą wartość 1.

(x

∉

X) – x nie należy zbioru X. Każdy element, który nie

jest elementem zbioru ma ustawiana wartość 0.

Zbiory w ujęciu klasycznym

Zbiory w ujęciu klasycznym

8

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

2009-05-27

5

Element należy do zbioru rozmytego z pewnym stopniem
przynależności.

Stwierdzenie może być częściowo prawdziwe lub częściowo
fałszywe.

Przynależność jest liczba rzeczywista z przedziału 0 - 1.

Stopień przynależności stanowi informację, jak daleko element
x jest oddalony od naszego podzbioru X. Określamy go dzięki
funkcji przynależności.

Idea zbiorów rozmytych

Idea zbiorów rozmytych

9

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności

10

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

2009-05-27

6

Stopień przynależności

Stopień przynależności

11

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Zbiór rozmyty

Zbiór rozmyty

12

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

X – zbiór uniwersalny, przestrze

ń

, uniwersum

x – element uniwersum

Logika klasyczna definiuje funkcj

ę

charakterystyczn

ą

zbioru A:

f

A

(x) X -> 0,1 gdzie:

Logika rozmyta definiuje funkcj

ę

przynale

ż

no

ś

ci dla zbioru A z uniwersum X:

µ

A

(x) X -> [0,1], gdzie:

2009-05-27

7

Support – baza zbioru rozmytego A: sup(A)={x

∈

X:

µ

A

(x) >0}

Core (jądro) zbioru rozmytego A: core(A)={x

∈

X:

µ

A

(x)=1}

α

-cut (

α

-cięcie) zbioru rozmytego A: A

α

={x

∈

X:

µ

A

(x)>

α

}

Wysokość: max

µ

A

(x)

≤

1

Def

Defiinicje

nicje

13

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Przykład funkcji przynależności

Przykład funkcji przynależności

14

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

8

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

15

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności

• Zbiorem Y s

ą

osoby, a zbiorem rozmytym Z – osoby wysokie.

• Zbiór Z b

ę

dzie nam mówił, w jakim stopniu dana osoba ze zbioru Y

przynale

ż

y do zbioru osób wysokich.

Z(y) = 0

gdy wzrost < 170 cm

Z(y) = (wzrost – 170)/20

gdy

170 cm > wzrost < 190 cm

Z(y) = 1

gdy wzrost > 190 cm

Osoba Y

Wzrost

Stopień

Przynależności

Darek

193

1

Kamil

139

0

Zbyszek

128

0

Sławek

182

0,6

Karol

175

0,25

Mariusz

179

0,45

Jacek

187

0,85

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

16

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności

• Funkcja przynale

ż

no

ś

ci mo

ż

e mie

ć

bardziej zło

ż

ony kształt

• W zdecydowanej wi

ę

kszo

ś

ci przypadków jako funkcje przynale

ż

no

ś

ci stosuje

si

ę

trójk

ą

ty, ale mog

ą

to by

ć

te

ż

trapezy lub parabole.

2009-05-27

9

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

17

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

18

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności

2009-05-27

10

Niech X to zbiór par {x,

µ

A

(x)} {

element, jego funkcja przynależności

}

A jest podzbiorem X

Dwa sposoby reprezentowania podzbioru A:

Przykład:



wysoki mężczyzna=(0/180, 1/190)



niski mężczyzna=(1/160, 0/170)



średniego wzrostu mężczyzna=(0/165, 1/175, 0/185)

Reprezentacja zbioru rozmytego

Reprezentacja zbioru rozmytego

19

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Operacje na zbiorach klasycznych

Operacje na zbiorach klasycznych

20

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

11

Zbiór klasyczny: Kto/co nie należy do zbioru?

Zbiór rozmyty: Jak bardzo element nie przynależy do zbioru?

Przykład:

wysoki mężczyzna =

(0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 0.75/187, 1/190)

NOT wysoki mężczyzna =

(1/180. 0.75/182.5, 0.5/185, 0.25/187, 0/190)

Dopełnienie

Dopełnienie

21

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Zbiór klasyczny: Który zbiór należy do innych zbiorów?

Zbiór rozmyty: Który zbiór rozmyty należy do innych zbiorów
rozmytych?

Przykład:



wysoki mężczyzna = (0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 0.75/187, 1/190)



bardzo wysoki mężczyzna = (0/180, 0.06/182.5, 0.25/185, 0.56/187, 1/190)

Zawieranie się

Zawieranie się

22

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

12

Zbiór klasyczny: Który element należy do obu zbiorów? (AND)

Zbiór rozmyty: Jak bardzo element przynależy do obu zbiorów
rozmytych?

Iloczyn

Iloczyn

23

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Przykład:



wysoki m

ęż

czyzna = (0/165, 0/175, 0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190)

 ś

redni m

ęż

czyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0/185, 0/190)



wysoki m

ęż

czyzna

∩

ś

redni m

ęż

czyzna = (0/180, 0.25/182.5, 0/185)

Zbiór klasyczny: Który element należy do „jednego z” lub obu
zbiorów? (OR)

Zbiór rozmyty: Jak bardzo element przynależy do „jednego z” i
obu zbiorów?

Przykład:



wysoki mężczyzna = (0/165, 0/175, 0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190)



średni mężczyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0/185, 0/190)



wysoki mężczyzna

∪

średni mężczyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190 )

Suma

Suma

24

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

13

Przemienność:
wysoki OR niski = niski OR wysoki

Łączność:

wysoki OR (niski OR średni) = (wysoki OR niski) OR średni

Rozdzielczość:

Cechy zbiorów rozmytych

Cechy zbiorów rozmytych

25

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Inne:

Gdzie X – zbiór ze stopniem przynależności 1
0 – zbiór pusty

Cechy zbiorów rozmytych

Cechy zbiorów rozmytych

26

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

14

Podwójne zaprzeczenie:

Przechodniość:

Prawo de Morgana:

Cechy zbiorów rozmytych

Cechy zbiorów rozmytych

27

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Operacje:

dopełnienie,

zawieranie sie,

przecięcie,

unia.

Cechy:

przemienność,

łączność,

rozdzielność OR względem AND i AND względem OR,

podwójne zaprzeczenie,

przechodniość,

prawo de Morgana.

Operacje i cechy zbiorów rozmytych

Operacje i cechy zbiorów rozmytych

28

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

15

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

29

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

System oparty na logice rozmytej składa si

ę

z trzech podstawowych elementów: blok

fuzyfikacji, blok wnioskowania i blok defuzyfikacji.

Blok fuzyfikacji -> dane wej

ś

ciowe podlegaj

ą

rozmyciu.

Blok wnioskowania -> na podstawie reguł obliczane s

ą

stopnie aktywacji zawartych

tam przesłanek.

Bloku defuzyfikacji -> w wyniku zastosowania jednej z metod defuzyfikacji podlega
wyostrzeniu i obliczana jest warto

ść

wyj

ś

ciowa regulatora.

Budowa systemu rozmytego

Budowa systemu rozmytego

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

30

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Fuzyfikacja

Fuzyfikacja (rozmywanie)

(rozmywanie)

Pierwszym blokiem na jaki trafiaj

ą

dane wej

ś

ciowe, jest blok fuzyfikacji. W tym

miejscu ulegaj

ą

one rozmyciu, czyli zostaje okre

ś

lony stopie

ń

przynale

ż

no

ś

ci

do poszczególnych zbiorów rozmytych.

Ka

ż

dy z tych zbiorów jest okre

ś

lony zmienn

ą

lingwistyczn

ą

.

Zmienne lingwistyczne:

Jan jest wysoki.
Jan przyjmuje lingwistyczna warto

ść

(term) wysoki.

[Wzrost jest zmienn

ą

lingwistyczn

ą

]

2009-05-27

16

Zbiór zmiennych lingwistycznych dla zmiennej prędkość:

{wolno, średnio, szybko}

Operacje można podzielić na grupy:

uniwersalne: bardzo, całkiem, ekstremalnie;

dla wartości prawda, fałsz: prawie prawdziwe, w większości fałszywe;

prawdopodobieństwo: prawdopodobnie, niezbyt prawdopodobnie;

typu: większość, kilka, niewiele;

możliwości: prawie niemożliwe, całkiem możliwe.

Ich zadanie to koncentracja lub rozszerzanie wartości funkcji
przynależności (np. mniej więcej wysoki mężczyzna ma szersze
znaczenie niż wysoki mężczyzna).

Operacje na zmiennych lingwistycznych

Operacje na zmiennych lingwistycznych

31

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Osoba o wzroście 184 cm przynależy do zbioru wysoki w stopniu
0.4, natomiast do zbioru bardzo wysoki w stopniu 0.1.

Przykład

Przykład

32

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

17

Przykłady

Przykłady

33

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Przykład

Przykład

34

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Tomek nale

ż

y do zbioru m

ęż

czyzna

wysoki w stopniu 0,86.

2009-05-27

18

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

35

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Fuzyfikacja

Fuzyfikacja (rozmywanie)

(rozmywanie)

Załó

ż

my,

ż

e mamy dwie zmienne wej

ś

ciowe: x

1

, i x

2

. Maj

ą

one funkcje

przynale

ż

no

ś

ci A1, A2 i B1, B2:

Sposób okre

ś

lania stopnia przynale

ż

no

ś

ci:

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

36

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Fuzyfikacja

Fuzyfikacja (rozmywanie)

(rozmywanie)

Ogólnie działanie bloku fuzyfikacji mo

ż

na przedstawi

ć

nast

ę

puj

ą

co:

Warto

ś

ci obliczone w wyniku fuzyfikacji trafiaj

ą

na blok wnioskowania.

2009-05-27

19

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

37

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

• W oparciu o baz

ę

reguł rozmytych, zostanie obliczona wynikowa funkcja

przynale

ż

no

ś

ci.

• Na baz

ę

reguł składa si

ę

zbiór instrukcji warunkowych (przesłanek).

Powstaj

ą

one na bazie do

ś

wiadczenia osoby zajmuj

ą

cej si

ę

danym

procesem.

Przykłady reguł rozmytych:

IF wiatr jest silny
THEN

ż

aglowanie jest dobre

IF czas projektu jest długi
THEN ryzyko uko

ń

czenia wysokie

IF pr

ę

dko

ść

wysoka

THEN droga hamowania długa

Wielu poprzedników:

IF czas projektu długi
AND liczba pracowników duża
AND fundusze są nieodpowiednie
THEN ryzyko duże

IF jedzenie dobre
OR obsługa miła
THEN napiwek wysoki

Wielokrotna konsekwencja:

IF temperatura powietrza wysoka
THEN temperatura wody jest obniżona;
THEN zwiększana jest zimna woda.

Reguły złożone

Reguły złożone

38

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

20

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

39

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

Warunki bazy reguł można ogólnie zapisać w poniższy sposób [2]:

- przesłanka prosta:

JE

ś

ELI ( x

1

= A

1

) TO ( y = C

1

)

- przesłanka złożona:

JE

ś

ELI ( x

1

= A

1

) I ( x

2

= B

1

) TO ( y = C

1

)

- inna przesłanka złożona:

JE

ś

ELI ( x

1

= A

1

)I( x

2

= B

1

) LUB ( x

1

= A

1

) I ( x

2

= B

1

) TO ( y = C

1

)

gdzie A

i

są zmiennymi lingwistycznymi pierwszej zmiennej wejściowej, B

i

są

zmiennymi lingwistycznymi drugiej zmiennej wejściowej, C

q

są zmiennymi

lingwistycznymi danej wyjściowej.

Logika klasyczna: Jeżeli poprzednik (IF) jest prawda to i
implikacja jest prawdziwa.

Logika rozmyta: Jeżeli poprzednik jest w pewnym stopniu
prawdziwy, to i wniosek jest w pewnym stopni prawdziwy.

IF wzrost wysoki
THEN waga ciężka

Wnioskowanie z reguł

Wnioskowanie z reguł

40

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

21

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

41

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

Przesłanki bazy reguł stanowi

ą

zbiór wytycznych, według których nale

ż

y

post

ę

powa

ć

. Mówi

ą

nam jak ma si

ę

zachowywa

ć

obiekt w momencie

zaistnienia danego przypadku na wej

ś

ciu. Przypadki te mog

ą

zosta

ć

zapisane za pomoc

ą

wzorów lub w postaci tabeli kombinacji wej

ś

ciowych

zbiorów rozmytych.

1: JE

ś

ELI ( x

1

= A

1

) I ( x

2

= B

1

) TO ( y = C

1

)

2: JE

ś

ELI ( x

1

= A

1

) I ( x

2

= B

2

) TO ( y = C

2

)

3: JE

ś

ELI ( x

1

= A

2

) I ( x

2

= B

1

) TO ( y = C

2

)

4: JE

ś

ELI ( x

1

= A

2

) I ( x

2

= B

2

) TO ( y = C

3

)

A1

A2

B1

C1

C2

B2

C2

C3

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

42

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

Na podstawie danych wejściowych bloku wnioskowania wykonywane są

obliczenia zawarte w warunkach bazy reguł. Wynikiem tych obliczeń są

stopnie spełnienia tych przesłanek. W celu otrzymania wynikowej

wynikowej

wynikowej

wynikowej funkcji

funkcji

funkcji

funkcji

przynależności

przynależności

przynależności

przynależności stosujemy poniższy wzór:

µ

wyn

(y) = MAX [

µ

C1

(y);

µ

C2

(y);

µ

Cq-1

(y);

µ

Cq

(y); ]

Funkcja ta stanowi wyjście bloku wnioskowania i przekazywana jest na

kolejny blok.

2009-05-27

22

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

43

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

W wypadku stosowania przesłanek zło

ż

onych trzeba wykorzysta

ć

odpowiednie operatory logiczne.

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

44

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie

Wnioskowanie (interferencja)

(interferencja)

1: µ

C

1

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,3

2:

µ

C

2

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,7

3:

µ

C

2

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,2

4:

µ

C

3

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,2

2009-05-27

23

Wnioskowanie rozmyte

Wnioskowanie rozmyte

45

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

46

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

Jest to ostatni blok układu sterowania rozmytego. Na jego wej

ś

cie trafia

wynikowa funkcja przynale

ż

no

ś

ci. Jest to wynik działania systemu

przedstawiony w postaci rozmytej.

ś

eby móc go wyprowadzi

ć

na obiekt sterowany, zamieniany jest na

konkretn

ą

warto

ść

liczbow

ą

(ostrzenie, defuzyfikacj

ą

).

2009-05-27

24

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

47

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

Wyró

ż

niamy kilka metod defuzyfikacji. Do najpopularniejszych nale

żą

:

1)

metoda pierwszego maksimum

2)

metoda ostatniego maksimum

3)

metoda

ś

rodka maksimum

4)

metoda

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci

5)

metoda wysoko

ś

ci

Pierwsze trzy metody s

ą

bardzo proste do obliczenia. Niestety na wynik

defuzyfikacji ma wpływ jedynie najbardziej zaktywowany zbiór rozmyty
zmiennej wyj

ś

ciowej.

metod

ą

pierwszego maksimum

ostatniego maksimum

ś

rodkowego maksimum

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

48

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

metod

ą

pierwszego maksimum: y

ad1

= 8,5;

ostatniego maksimum : y

ad3

= 10;

ś

rodkowego maksimum: y

ad2

= 11,5;

2009-05-27

25

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

49

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

Metoda

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci: w celu otrzymania ostrej warto

ś

ci wynikowej

wymaga obliczenia dwóch całek, metoda ta uwzgl

ę

dnia wszystkie

zaktywowane zbiory rozmyte dzi

ę

ki czemu otrzymujemy płynne zmiany na

wyj

ś

ciu (ci

ą

gło

ść

sterowania).

Wady:
• w przypadku zaktywowania tylko jednego zbioru rozmytego, niezale

ż

nie od

stopnia jego aktywacji, układ podaje nam ten sam wynik.
• zaw

ęż

anie zakresu defuzyfikacji (w przypadku aktywacji którego

ś

z

brzegowych zbiorów rozmytych (nawet gdy jest ona maksymalna) nie
otrzymamy warto

ś

ci maksymalnej (minimalnej)).

y

c

= 9,56;

Wnioskowanie nie jest korzystne obliczeniowe, ponieważ należy
wyznaczyć centra dwuwymiarowych figur.

50

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta



Jest intuicyjny.



Metoda szeroko

wykorzystywana i
akceptowana.



Dobrze dopasowana

do wej

ść

opisywanych

przez człowieka.

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

2009-05-27

26

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

51

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

Metoda wysoko

ś

ci: w przeciwie

ń

stwie do pozostałych metod, na warto

ść

wyj

ś

ciow

ą

maj

ą

wpływ wszystkie aktywowane przesłanki, a nie tylko te które

maj

ą

najwi

ę

kszy wpływ na dany zbiór rozmyty zmiennej wyj

ś

ciowej.

W metodzie tej zbiory rozmyte zmiennej wyj

ś

ciowej zamieniane s

ą

na zbiory

jednoelementowe (singletony). Znajduj

ą

si

ę

one w miejscu, dla którego dany

zbiór rozmyty przyjmuje warto

ść

1. Wa

ż

ne jest aby odpowiednio dobra

ć

funkcje przynale

ż

no

ś

ci

ż

eby nie mie

ć

problemów z okre

ś

leniem poło

ż

enia

singletonów (np. funkcja trapezoidalna).

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

52

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

1:

µ

C

1

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,3

2:

µ

C

2

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,7

3:

µ

C

2

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,2

4:

µ

C

3

(x

1

*

, x

2

*

) = 0,2

2009-05-27

27

pojedyncze

wartości

(singletony)

jako

funkcje

przynależności

znalezionych konsekwencji. Maja one wartości różne od zera tylko w
jednym punkcie.

53

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Efektywny obliczeniowo

Pracuje poprawnie z
technikami liniowymi

Jest wydajny dla technik
optymalizacji i adaptacji.

Gwarantuje ci

ą

gło

ść

płaszczyzny wyj

ś

ciowej.

Dopasowany do analiz
matematycznych.

Defuzyfikacja

Defuzyfikacja (ostrzenie)

(ostrzenie)

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

54

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Wnioskowanie typu

Wnioskowanie typu Mamadani

Mamadani

Model rozmyte oparte na wnioskowaniu typu Mamdaniego opieraj

ą

si

ę

na

bazie reguł i stosowaniu operatorów lingwistycznych

Jest to podej

ś

cie najbardziej neutralne z punktu widzenia logiki rozmytej i

przez to szeroko stosowne.

Stosowane w układach regulacji, gdzie reguły i wyra

ż

enia lingwistyczne

strategii sterowania opieraj

ą

si

ę

na wiedzy eksperckiej i zdrowym rozs

ą

dku

2009-05-27

28

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

55

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Wnioskowanie typu

Wnioskowanie typu Takagi

Takagi -- Sugeno

Sugeno

Wada modeli lingwistycznych: nie zawieraj

ą

one w jawnej postaci

obiektywnej wiedzy o systemie (nie mo

ż

e by

ć

wcielona w ramy zbiorów

rozmytych)

Wiedza ta cz

ę

sto jest dost

ę

pna i mo

ż

e stanowi

ć

doskonał

ą

podstaw

ę

do

modelowania rozmytego.

Sugeno i współpracownicy zaproponowali alternatywny system
wnioskowania oparty na bazie reguł specjalnego formatu, który odznacza
si

ę

nast

ę

pnikami typu funkcyjnego u

ż

ywanymi w miejsce nast

ę

pników

rozmytych (jak w modelu lingwistycznym)

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

56

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

Wnioskowanie typu

Wnioskowanie typu Takagi

Takagi -- Sugeno

Sugeno

2009-05-27

29

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

57

Metody Prognozowania: Wprowadzenie

ANFIS

ANFIS

Wymagane w regułach rozmytych zale

ż

no

ś

ci funkcyjne bardzo cz

ę

sto nie s

ą

znane, i powstaje problem ich estymacji.

ANFIS (Adaptive Network Fuzzy Inference System) – pozwala na
zbudowanie modelu rozmytego o parametrach dobieranych przez sie

ć

neuronow

ą

.

A.

Czynności wstępne:

1.

Określenie reguł rozmytych.

2.

Określenie funkcji przynależności do wartości wejść i wyjść.

B.

Główne kroki:

1.

Rozmycie wejść poprzez użycie funkcji przynależności (fuzyfikacja).

2.

Łączenie rozmytych przesłanek (wejść) poprzez rozmyte reguły by
uzyskać rozmyte konsekwencje (z wielu reguł).

3.

Łączenie wniosków (konsekwencji), by otrzymać ostateczny
rozkład wyjścia.

4.

Defuzyfikacja wyjścia (wyostrzenie) – musimy uzyskać
jednoznaczna odpowiedz.

Etapy w modelu rozmytym

Etapy w modelu rozmytym

58

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

30

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

59

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Przykład 1

Przykład 1

Zadanie: okre

ś

lenie wielko

ś

ci napiwku w restauracji

•

ś

redni napiwek w USA to 15% od kwoty rachunku - jego wielko

ść

zale

ż

y od

jako

ś

ci obsługi oraz jedzenia;

Wej

ś

cie:

• jako

ść

obsługi: 0 (słaba ) - 10 (rewelacyjna);

• jedzenie: 0 (nie

ś

wie

ż

e) - 10 (wy

ś

mienite);

Wyj

ś

cie:

• wielko

ść

napiwku:

Cel: zbudować rozmyty system ekspertowy wspomagający
wnioskowanie o operacjach wydobycia na podstawie:

•

cen ropy i

•

wykazanych rezerw korporacji.

Dane są:

•

zbiory rozmyte dla cen ropy (wejście 1),

•

zbiory rozmyte dla wykazanych rezerw korporacji (wejście 2),

•

Zbiory rozmyte zaangażowania w operacje wydobycia (wyjście).

•

Reguły postępowania przy zadanych wejściach.

Przykład 2

Przykład 2

60

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

31

Wejście 1: rezerwy korporacji.

Wejście 2: cena ropy:

Przykład 2

Przykład 2

61

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Wyjście: zaangażowania w operację zwiększenia wydobycia.

Przykład (3)

Przykład (3)

62

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

32

Reguła 1:
IF cena ropy jest wysoka
AND wykazane rezerwy są niskie
THEN zwiększenie operacji wydobycia wysoce wskazane.

Przykład (4)

Przykład (4) –

– reguły rozmyte

reguły rozmyte

63

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

64

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

33

Wykorzystuje sie, w zależności od reguły, operatory zdefiniowane
dla zbiorów rozmytych takie jak: suma (MAX), iloczyn (MIN) do
składania wejść. W wyniku obliczeń powstaje zbiór rozmyty, tzw.
konsekwencja.

Różnorodność operatorów sum i iloczynów prowadzi do różnych
rozwiązań.

„Odpalenie” reguł

„Odpalenie” reguł

65

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

66

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

34

Jest to proces łączenia wszystkich reguł wyjściowych w jeden
zbiór rozmyty.

Najczęściej wykorzystuje sie operator MAX.

Agregacja reguł (akumulacja)

Agregacja reguł (akumulacja)

67

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

68

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Przykład

Przykład –

– aproksymacja funkcji

aproksymacja funkcji

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-10

-5

0

5

10

-0.5

0

0.5

1

dokladny wykres funkcji

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-10

-5

0

5

10

-0.5

0

0.5

1

wykres funkcji aproksymowanej

2009-05-27

35

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

69

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Zastosowanie

Zastosowanie logiki rozmytej ?

logiki rozmytej ?

•

Logika rozmyta jest stosowana wszędzie tam, gdzie użycie klasycznej logiki stwarza

problem ze względu na trudność w zapisie matematycznym procesu lub gdy wyliczenie

lub pobranie zmiennych potrzebnych do rozwiązania problemu jest niemożliwe.

•

Ma szerokie zastosowanie w różnego rodzaju sterownikach. Sterowniki te mogą

pracować w urządzeniach tak pospolitych jak lodówki czy pralki, jak również mogą być

wykorzystywane do bardziej złożonych zagadnień jak przetwarzanie obrazu,

rozwiązywanie problemu korków ulicznych czy unikanie kolizji.

•

Sterowniki wykorzystujące logikę rozmytą są również używane na przykład w połączeniu

z sieciami neuronowymi.

Wszędzie tam, gdzie trudno jest utworzyć matematyczny model,
ale daje sie opisać sytuacje w sposób jakościowy, za pomocą
reguł rozmytych:



Kontrolery rozmyte w przemyśle – kontrola procesów.



Inteligentne lodówki, pralki, windy, opiekacze do grzanek,

aparaty fotograficzne.



Zastosowania medyczne:

nieprecyzyjny język daje sie przełożyć na reguły rozmyte.

Zastosowanie

Zastosowanie

70

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

36



Synteza jądrowa.



Ustalanie drogi przelotu samolotu.



Sterowanie procesem spalania paliw w elektrowniach.



Kontrola prędkości ciężarówki.



Sterowanie procesem produkcji penicyliny.



Kontrola ruchu ulicznego.



Mikrokontrolery (68HC12 MCU ).

Zastosowania techniczne

Zastosowania techniczne

71

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

Sterowanie dźwigiem dopasowując ciężar i drogę, tak by
elementy nie huśtały sie na linach.

Przykłady (1)

Przykłady (1)

72

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

37

ABS (Antilock-Bracking System)

Dynamika

pojazdu i

hamowanie

jest

złożonym

systemem

i

zachowuje

sie

silnie

nieliniowo.

Logika

rozmyta

jest

zatem

świetnym rozwiązaniem.

Główne komponenty ABS:



Electronic control units (ECUs) – przetwarza informacje z sensora i

reguluje odpowiednio hamulcami;



Sensor prędkości kół – wysyła impulsy do ECU z



częstotliwością proporcjonalna do prędkości kół;



modulator hamulców.

Przykłady (2)

Przykłady (2)

73

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta



Inwestycje bankowe.



Ocena ryzyka kredytowego.



Ocena ryzyka ubezpieczenia.



Określenie strategii inwestycyjnych.



Określenie profilu klienta.



Kontroler jakości.



Przewidywanie długości pobytu w szpitalu.



Wyszukiwanie powtarzających sie danych w bazach.



Prognozowanie giełdowe.



Wyznaczanie ramówek dla reklam telewizyjnych.

Zastosowania w biznesie i finansach

Zastosowania w biznesie i finansach

74

Metody Prognozowania: Logika
rozmyta

2009-05-27

38

dr. inż. Sebastian Skoczypiec

75

Metody Prognozowania: Logika rozmyta

Dziękuje za uwagę

Dziękuje za uwagę