Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa I,

7 września 2005.

Czas: 2h30m, każde zadanie piszemy na osobnej kartce, na której powinno

się znaleźć nazwisko i imię oraz numer indeksu zdającego.

1. Rzucamy nieskończenie wiele razy asymetryczną monetą, na której orzeł

wypada z prawdopodobieństwem

1

4

. Niech

A

n

oznacza zdarzenie „tyle samo

orłów co reszek po

n rzutach”.

a)Wyznaczyć

P (A

n

),

n = 1, 2, . . .

b)Wykazać, że prawie na pewno zachodzi skończenie wiele spośród zdarzeń

A

n

.

2. Zmienne losowe

X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy

z parametrem 1.

a)Wyznaczyć rozkład wektora losowego (

X, X + Y )(podać dystrybuantę

lub gęstość, jeśli istnieje).

b)Zbadać niezależność

X i X + Y .

3. Zmienne losowe

X, Y są niezależne, mają ten sam rozkład i przyjmują

wyłącznie wartości całkowite nieujemne. Suma

X + Y ma rozkład Poissona z

parametrem 2. Co mozna powiedzieć o rozkładzie

X (i Y )?

4. Zmienne losowe

X

i

,

i = 1, 2, . . . są niezależne i mają wspólny rozkład:

P (X

i

= 1) =

1

4

,

P (X

i

=

−1)=

3

4

. Zbadać zbieżność ciągu o wyrazach

Z

n

=

X

1

+ . . . +

X

n

.

5. W celu oszacowania, jaki procent wyborców popiera kandydata X na

prezydenta, przeprowadza się ankietę wśród

n losowo wybranych obywateli.

a)Jakie powinno być

n, żeby z prawdopodobieństwem α = 0,95 błąd osza-

cowania nie przekroczył

ε = 0,01?

b)Wiadomo, że jeden z kandydatów nie ma szans na poparcie większe niż

20%. Czy można wykorzystać tę informację przy wyznaczaniu

n? Zakładamy,

że

α i ε są takie, jak w poprzednim punkcie.

Ciekawostka. Oto niektóre wartości dystrybuanty standardowego rozkładu

normalnego: Φ(1

, 96)= 0, 975, Φ(2)= 0, 977.

1