Obliczenia naukowe – Lista 4
Adrian Kuta 204423

1 Z

ADANIE

1.1 O

PIS PROBLEMU

Napisać funkcję obliczającą ilorazy różnicowe.

1.2 R

OZWIĄZANIE

Funkcja napisana na podstawie algorytmu z książki, „Analiza numeryczna” – D. Kincaid, W.Cheney.

for 𝑖 = 1 to 𝑛

𝑑

𝑖

= 𝑓(𝑖)

end for

for 𝑗 = 1 to 𝑛

for 𝑖 = 𝑛 to 𝑗 step -1

𝑑

𝑖

=

𝑑

𝑖

−𝑑

𝑖−1

𝑥

𝑖

−𝑥

𝑖−𝑗

end for

end for
return 𝑑

2 Z

ADANIE

2.1 O

PIS PROBLEMU

Napisać funkcję obliczającą wartość wielomianu interpolacyjnego stopnia n w postaci Newtona w punkcie.

2.2 R

OZWIĄZANIE

𝑛𝑡 = 𝑓𝑥(𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ(𝑓))
for 𝑖 = 𝑛 − 1 to 1 step -1

𝑛𝑡 = 𝑛𝑡 ∗ (𝑡 − 𝑥[𝑖] + 𝑓𝑥[𝑖])

end for
return 𝑛𝑡

3 Z

ADANIE

3.1 O

PIS PROBLEMU

Napisać funkcję 𝑟𝑦𝑠𝑢𝑗𝑁𝑛𝑓𝑥 która rysuje wielomian interpolacyjny oraz interpolowaną funkcję.

3.2 R

OZWIĄZANIE

W celu rozwiązania zadania wykorzystano funkcje napisane w zadaniach 1 i 2 orazpakiet Winston.
Pierwszym etapem jest wyliczenie wartości funkcji dla węzłów, następnie oblicza ilorazy różnicowe dla tych węzłów.
Ostatni etap to naniesienie interpolowanej funkcji i wielomianu na wykres.

4 Z

ADANIE

4.1 O

PIS PROBLEMU

Przetestować funkcję 𝑟𝑦𝑠𝑢𝑗𝑁𝑛𝑓𝑥() dla podanych funkcji:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑒

𝑥

, 𝑥 ∈ [0, 1], 𝑛 = 5, 10, 15

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

sin 𝑥, 𝑥 ∈ [−1, 1], 𝑛 = 5, 10, 15

4.2 W

YNIKI

𝑒

𝑥

𝑛 = 5

𝑒

𝑥

, 𝑛 = 10

𝑒

𝑥

, 𝑛 = 15

𝑥

2

, 𝑛 = 5

𝑥

2

, 𝑛 = 10

𝑥

2

, 𝑛 = 15

4.3 W

NIOSKI

Widoczny jest brak rozbieżności między wielomianem interpolacyjnym oraz funkcją interpolowaną. Wraz z wzrostem
stopnia wielomianu, przybliżenie rośnie

5 Z

ADANIE

5.1 O

PIS PROBLEMU

Przetestować funkcję 𝑟𝑦𝑠𝑢𝑗𝑁𝑛𝑓𝑥() dla podanych funkcji:

1. 𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑥 ∈ [−1, 1], 𝑛 = 5, 10, 15
2. 𝑓(𝑥) =

1

1+𝑥

2

, 𝑥 ∈ [−5, 5], 𝑛 = 5, 10, 15

5.2 W

YNIKI

|𝑥|, 𝑛 = 5

|𝑥|, 𝑛 = 10

|𝑥|, 𝑛 = 15

1

1+𝑥

2

, 𝑛 = 5

1

1+𝑥

2

, 𝑛 = 10

1

1+𝑥

2

, 𝑛 = 15

5.3 W

NIOSKI

Wykresy funkcji i wielomianów otrzymane w tym zadaniu pokrywają się w mniejszym stopniu niż miało to miejsce
poprzednim zadaniu, największą różnicę można zauważyć na krańcach przedziałów. Różnica między wykresami wzrasta
wraz ze stopniem wielomianu.