Obliczanie powierzchni

Zależnie  od  potrzebnej  dokładności  oraz  rodzaju  posiadanych 
danych,  powierzchnię  można  wyznaczyć  metodą  analityczną, 
graficzną  lub  mechaniczną.  Można  również  zastosować  metodę 
kombinowaną graficzno-analityczną. 
Metoda  analityczna  polega  na  obliczaniu  powierzchni  na 
podstawie 

danych,

uzyskanych  bezpośrednio  w  terenie  lub  obliczonych  na  podstawie 
wielkości  pomierzonych  w  terenie.  Metoda  ta  jest  najdokładniejsza, 
lecz najbardziej pracochłonna.
Metoda  graficzna  polega  na  obliczaniu  powierzchni,  wykorzystując 
te 

same

wzory  jak  w  metodzie  analitycznej,  przy  czym  potrzebne  miary 
wyznacza  się  graficznie  z  mapy.  Dokładność  obliczenia  powierzchni 
metodą graficzną jest mniejsza niż metoda analityczną
Metoda mechaniczna polega na określaniu powierzchni za pomocą 
mapy 

i 

odpowiednich 

przyrządów 

zwanych 

planimetrami. 

Dokładność  obliczenia  powierzchni  metodą  mechaniczną  jest  tego 
samego rzędu jak metodą graficzną.
Metoda  kombinowana,  analityczno-graficzna  polega  na  tym.  że 
część 

miar

przyjmuje  się  z  pomiaru  w  terenie,  część  graficznie  z  mapy. 
Dokładność  tej  metody  jest  pośrednia  między  metodą  analityczną  i 
graficzną.

 

 

Obliczanie powierzchni

 Metoda analityczna obliczania powierzchni
Powierzchnię figur geometrycznych, takich jak trójkąty i 

czworoboki, oblicza się za pomocą wzorów znanych z 
geometrii.

Powierzchnię  dowolnego  wieloboku  można  obliczyć 

mając  dane  współrzędne  prostokątne  wierzchołków  na 
podstawie wzorów.

)

x

x

(

y

P

2

)

y

y

(

x

P

2

1

i

1

i

n

1

i

1

i

1

i

n

1

i





















 

 

Obliczanie powierzchni

 

 

Obliczanie 

powierzchni

Powierzchnia wieloboku na podstawie współrzędnych 
biegunowych
Jeżeli punkty wieloboku określone są współrzędnymi 
biegunowymi r

i

, oraz 

i

;

to powierzchnię tego wieloboku można określić wzorem:

)

sin(

r

r

P

2

i

1

i

1

i

n

1

i

















 

 

Obliczanie powierzchni

Metoda graficzna obliczania powierzchni
Aby  obliczyć  powierzchnię  wieloboku  metodą  graficzną, 

należy  podzielić  go  na  trójkąty  lub  na  trójkąty  i  trapezy. 
Elementy  potrzebne  do  obliczania  powierzchni  wyznaczamy 
graficznie z mapy.

Podział  wieloboku  na  trójkąty  powinien  być  tak  wykonany, 

aby  powstały  trójkąty  foremne.  Najkorzystniejszym,  ze 
względu na dokładność obliczeń, będzie taki trójkąt, w którym 
wysokość  i  podstawa  są  równe.  W  celu  kontroli  obliczenia 
należy  wykonać  dwukrotnie,  Przy  drugim  obliczeniu  należy 
wielobok podzielić na inne figury

 

 

Obliczanie powierzchni

 

 

Obliczanie powierzchni

Metoda graficzno-analityczna obliczania powierzchni
W  niektórych  przypadkach,  a  mianowicie  przy  obliczaniu 

powierzchni  wąskich  i  wydłużonych  działek,  boki  krótkie 
mierzymy  w  terenie,  odcinki  długie  określamy  graficznie  z 
mapy. Powierzchnia obliczona na podstawie tak pozyskanych 
danych  będzie  znacznie  dokładniejsza,  niż  gdybyśmy 
wszystkie  miary  określili  graficznie  z  mapy.  Dokładność 
graficznego  wyznaczania  długości  wynosi  około  0,2  mm  na 
mapie. Jeżeli mapa jest w skali l :2000, to dokładność wynosi 
0,4 m w terenie. W wypadku skali mapy l :5000 wynosi ona w 
terenie  l  m.  Dokładność  ta  jest  taka  sama  zarówno  dla 
odcinków  krótkich,  jak  i  długich.  Jeżeli  działka  ma  20  m 
szerokości i 200 m długości, to błąd 0,4 m przy określaniu jej 
szerokości  spowoduje  80  m

2

  błędu  powierzchni  tej  działki. 

Natomiast błąd 0,4 m przy określaniu jej długości spowoduje 
tylko
8  m

2

  błędu  jej  powierzchni.  Widzimy  więc,  że  błąd  krótkich 

wymiarów  działek  jest  bardziej  szkodliwy  dla  dokładności 
powierzchni niż błąd odcinków długich.

 

 

Obliczanie powierzchni

Po pierwszym obliczeniu powierzchni wykonuje się podział na 
inne  trójkąty  i  oblicza  powierzchnię  powtórnie.  Za  wynik 
ostateczny przyjmuje się średnią arytmetyczną.

 

 

Obliczanie powierzchni

Mechaniczne wyznaczanie powierzchni
Przyrządy  do  pomiaru  powierzchni  figur  ograniczonych 

prostymi  lub  krzywymi  liniami  nazywamy  planimetrami. 
Istnieje kilka typów planimetrów. Najbardziej powszechny jest 
planimetr biegunowy kompensacyjny.

Planimetr  składa  się  z  dwóch  ramion:  biegunowego  i 

wodzącego, połączonych ze sobą przegubowo. Ramię wodzące 
przesuwa  się  w  pochwie,  przez  co  jego  długość  może  się 
zmieniać.  Z  jednej  strony  zakończone  jest  ostrzem  wodzącym 
oraz  podpórką,  z  drugiej  ma  kółko  zwane  całkującym  z 
licznikiem obrotów oraz kółko podpórkowe. Ramię biegunowe 
zakończone  jest  z  jednej  strony  ciężarkiem  z  igłą  u  spodu  - 
biegunem,  z  drugiej  poprzez  przegub  połączone  jest  z 
ramieniem  wodzącym.  Na  boku  kółka  całkującego  naniesiony 
jest  podział  na  100  części,  służący  do  określania  wielkości 
obrotu  kółka.  Do  dokładnego  odczytu  na  podziale  służy 
umieszczony obok kółka noniusz. 

 

 

Obliczanie powierzchni

Pełne  obroty  kółka  całkującego  rejestruje  licznik  obrotów  w 
postaci  poziomej  tarczy.  Całkowity  odczyt  jest  liczbą 
cztcrocyfrową.  Pierwszą  cyfrę  odczytujemy  z  tarczy,  dwie 
następne  z  kółka,  czwartą  zaś  z  noniusza.  Pomiar  powierzchni 
planimetrem  wykonujemy  w  sposób  następujący.  Ustawiamy 
biegun  planimetru  nieruchomo,  po  czym  za  pomocą  wodzika 
oprowadzamy  mierzony  obiekt  dookoła,  ściśle  po  linii  jego 
konturu.  Przy  oprowadzaniu  figury  danego  obiektu  kółko 
całkujące  częściowo  toczy  się  po  papierze,  częściowo  zaś  ślizga 
się, co jest zależne od kierunku poruszania się kółka całkującego 
po  papierze.  Powierzchnia  mierzonej  figury  jest  funkcją  liczby 
obrotów  wykonanych  przez  kółko  całkujące  przy  oprowadzaniu 
wodzikiem po linii konturu mierzonej figury.

 

 

Obliczanie powierzchni

 

 

Pomiary wysokościowe

Do  pomiarów  wysokościowych  należą  czynności  związane  z 
ustalaniem  wysokości  albo  różnic  wysokości  punktów 
znajdujących  się  na  powierzchni  Ziemi.  Do  pomiarów 
sytuacyjno-wysokościowych  zaliczamy  takie,  które  umożliwiają 
jednoczesne  wyznaczenie  położenia  i  wysokości  punktów 
terenowych,  Jeżeli  wyobrazimy  sobie  teoretyczną  powierzchnię 
mórz i oceanów przedłużoną pod lądem, to poszczególne punkty 
globu ziemskiego będą położone w różnych odległościach od tej 
powierzchni. 
Teoretyczną  powierzchnia  mórz  i  oceanów  nazywamy 
poziomem względnym lub poziomem bezwzględnego zera. 
a odległość punktów od tej powierzchni- ich wysokościami 
bezwzględnymi.
Wysokość danego punktu jest to odległość tego punktu od 
poziomu 

bezwzględnego, 

mierzona 

w 

linii 

pionu 

przechodzącego  przez  ten  punkt.  Liczbę  wyrażającą 
wysokość nazywamy rzędną H danego punktu. 

 

 

Pomiary wysokościowe

Na niewielkich obszarach, szczególnie tam, gdzie nawiązanie do 
punktów o znanej wysokości względnej wymaga dużego nakładu 
pracy,  można  wyznaczać  wysokości  względne  Wysokości  te 
odnosi się do dowolnej powierzchni odniesienia, obranej tak, aby 
nie  otrzymywać  wysokości  ujemnych.  Wysokości  względne 
nazywane  są  też  lokalnymi.  Dla  obszaru  państwa  polskiego 
przyjęło  za  poziom  bezwzględny  -  średni  poziom  Morza 
Bałtyckiego  w  Kronsztadzie  w  Zatoce  Fińskiej.  O  wysokościach 
wyznaczanych  od  tego  poziomu  mówimy,  że  są  w  układzie 
państwowym.  Wysokości  poszczególnych  punktów  określamy 
przez  pomiar  różnic  wysokości.  Pomiar  tych  różnic  nazywamy 
niwelacja. Różnice wysokości można mierzyć kilkoma metodami.
Wyróżniamy  następujące  rodzaje  niwelacji:  barometryczną, 
trygonometryczną,
geometryczną i niwelację metodą GPS.

 

 

Pomiary

 

wysokościowe

 

 

Pomiary wysokościowe

Niwelacja  barometryczna  polega  na  określaniu  różnic 
wysokości  między  punktami,  na  podstawie  pomiaru  ciśnienia 
atmosferycznego  w  tych  punktach.  Dokładność  niwelacji 
barometrycznej 

wynosi 

około 

2-3 

m. 

Niwelację 

barometryczną  stosuje  się  do  określania  przybliżonych 
wysokości  punktów  w  terenach  górskich,  przy  dużych 
różnicach  wysokości.  Dokładność  jej  w  tych  wypadkach  jest 
wystarczająca. 

W 

pracach 

związanych 

z 

inżynierią 

środowiska niwelacja barometryczną nie ma zastosowania.

Niwelacja trygonometryczna polega na określeniu różnicy 
wysokości dH jako przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, 
w którym zmierzono kąt ostry  naprzeciwko tej 

przyprostokątnej oraz jeden z boków przyległych do kąta - 
przeciwprostokątną d' lub przyprostokątną d (rys.). 
Obliczenie dH odbywa się przez realizację zależności  
trygonometrycznych  zachodzących w trójkącie 
prostokątnym.

 

 

Pomiary wysokościowe

Niwelacja  geometryczna  polega  na  wyznaczaniu  różnicy 
wysokości między dwoma sąsiednimi punktami terenowymi 
za pomocą celowania wzdłuż poziomej linii - osi celowej do 
pionowo  ustawionych  na  tych  punktach  łat  niwelacyjnych 
(rys.). 

Na 

łatach 

odczytuje

się  odcinki  od  terenu  do  linii  celowania  –  w  i  p.  Różnica 
wysokości punktów 1 i 2 wynosi:

2

1

1

2

2

1

dH

H

H

p

w

dH













Dodając 

do 

wysokości 

punktu  l  obliczoną  różnicę, 
otrzymujemy 

wysokość 

punktu 2, 

 

 

Pomiary wysokościowe

Poziome 

poło

ż

enie 

osi 

celowej 

w 

trakcie 

pomiaru

jest  dla  niwelacji  geometrycznej  warunkiem  zasadniczym. 
Zachowanie tego warunku sprawia, 

ż

e niwelacja geometryczna 

jest  niezwykle  prosta,  a  jednocześnie  bardzo  dokładna  w 
porównaniu z innymi metodami pomiarów niwelacyjnych.

Niwelacja  metoda  GPS.  Przy  pomiarach  GPS  uzyskujemy  3 

współrzędne punktu w układzie globalnym WGS'84. Pozwala to 
wyliczyć  wysokość  danego  punktu,  pod  warunkiem  że  znamy 
położenie  względem  siebie  geoidy  i  elipsoidy  WGS'84. 
Powierzchnie  tych  figur  nie  są  do  siebie  równoległe,  Zadanie 
można rozwiązać wykonując pomiary GPS na kilku punktach o 
znanych  wysokościach  nad  geoidą.  Punkty  te  powinny 
znajdować  się  na  obwodzie  obszaru  przewidzianego  do 
wykonywania  pomiarów  wysokościowych  GPS.  Na  tej 
podstawie  można  obliczyć  odstęp  między  geoidą  i  elipsoidą  w 
innych  punktach  położonych  na  tym  obszarze.  Przy 
wykonywaniu  pomiarów  GPS  sposobem  RTK,  w  terenie 
otwartym można uzyskać dokładność wyznaczanych wysokości 
punktów  w  granicach  ±(2-3  cm).  Jest  to  całkowicie 
wystarczające do niwelacji powierzchniowej terenu.