1

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Konwekcja swobodna

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gor

ą

ca

ś

cianka

zimny płyn

siła ci

ęż

ko

ś

ci

element
obj

ę

to

ś

ci

płynu

2

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gor

ą

ca

ś

cianka

zimny płyn

siła ci

ęż

ko

ś

ci

element
obj

ę

to

ś

ci

płynu

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gor

ą

ca

ś

cianka

zimny płyn

siła ci

ęż

ko

ś

ci

warstwa
przy

ś

cienna

unosz

ą

cego

si

ę

płynu

3

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

ruch płynu spowodowany jest przez siły wyporu. Liniowa zale

ż

no

ść

g

ę

sto

ś

ci od temperatury uwzgl

ę

dniona jest tylko w równaniu

na składow

ą

x p

ę

du. Aby znale

źć

istotne dla konwekcji naturalnej

liczby bezwymiarowe mo

ż

na zastosowa

ć

analiz

ę

analogiczn

ą

do

tej stosowanej w przypadku konwekcji wymuszonej.

Jedyna ró

ż

nica wynika z modyfikacji równania na składow

ą

x p

ę

du

która przyjmuje posta

ć

2

2

2

2

x

x

x

x

x

y

v

v

v

v

p

v

v

g

x

y

x

x

y

ρ

ρ

ρ

η





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

−

+

+





∂

∂

∂

∂

∂





transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

0

p

g

x

∂ = −

∂

ρ

0

ρ

0

(

)

p

g

g

x

∂

−

−

=

−

∂

ρ

ρ ρ

(

)

p

g

g T

T

x

ρ

βρ

∞

∂

−

−

= −

−

∂

1

p

T

ρ

β

ρ

∂





= −





∂





gradient ci

ś

nienia wynika z ci

ś

nienia hydrostatycznego

g

ę

sto

ść

w rdzeniu płynu

gradient ci

ś

nienia i siła masowa

s

ą

rozpatrywane ł

ą

cznie

0

1

1

T

T

T

∞

−

∆

≈ −

= −

∆

−

ρ ρ

ρ

β

ρ

ρ

obj

ę

to

ś

ciowy

współczynnik
rozszerzalno

ś

ci cieplnej

aproksymacja ró

ż

nicami

sko

ń

czonymi

wynikowa zale

ż

no

ść

na

zale

ż

no

ść

od

temperatury członu
wymuszaj

ą

cego ruch

4

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

2

2

2

2

2

Gr

1

Re

Re

x

x

x

x

x

y

V

V

V

V

V

V

X

Y

X

Y





∂

∂

∂

∂

+

=

+

+





∂

∂

∂

∂





po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych otrzymuje si

ę

2

3

2

(

)

Gr

g

L T T

∞

−

= ρ β

η

Liczba Nusselta powinna by

ć

korelowana w funkcji

Re, Pr

,

i

Gr

Nu

(Re Gr Pr)

f

=

, ,

liczba Grashofa, stosunek sił wyporu i lepko

ś

ci

człon Gr/Re

2

wskazuje na istotno

ść

dwu mechanizmów: konwekcji

swobodnej i wymuszonej. Je

ś

li

2

Gr

16

Re

>

dominuje konwekcja swobodna. Dla

2

Gr

0.3

Re

<

wymuszona

Je

ś

li dominuje konwekcja swobodna, wpływ liczby Reynoldsa jest

nieistotny. Wtedy korelacja powinna mie

ć

posta

ć

Nu

(Gr Pr)

f

=

,

wynik taki mo

ż

na uzyska

ć

tak

ż

e analizuj

ą

c ruch w obr

ę

bie warstwy

przy

ś

ciennej (patrz dodatek)

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

n

C

Pr)

Gr

(

Nu

=

Wzory robocze (empiryczne)

ś

rednia liczba Nusselta (opuszczamy

indeks H)

1/4

0.54

500 do 2 10

7

1/3

0.135

2 10

7

do 10

13

1/8

1.18

10

-3

do 500

0

0.5

<10

-3

n

C

Gr Pr

ruch płynu

słabo rozwini

ę

ty laminarny

laminarny

turbulentny

nieruchomy

H

wymiar pionowy (wysoko

ść

płyty, walca pionowego,

ś

rednica kuli, walca

poziomego) dla powierzchni poziomych długo

ść

krótszego boku. Wła

ś

ciwo

ś

ci

dla

ś

redniej temperatury warstwy przy

ś

ciennej

.

W zakresie turbulentnym, współczynnik wnikania nie zale

ż

y od wymiaru

charakterystycznego. Uproszczony wzór dla powietrza w tym re

ż

ymie

9

3

0

10

Pr

Gr

;

)

28

.

26

6932

.

1

(

>

ϑ

−

=

α

w

t

5

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

1 6

1 2

9 16 8 27

0 387(GrPr)

0 60

Nu

[1 (0 492 Pr)

]

/

/

/

/

.

= . +

+ .

/

6

12

10

PrGr

10

−

<

<

bardziej dokładna korelacja obejmuj

ą

ca wi

ę

kszy zakres ruchu

Churchill & Chu pionowa, izotermiczna płyta

wła

ś

ciwo

ś

ci dla

ś

redniej temperatury warstwy przy

ś

ciennej

.

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

konwekcja swobodna w przestrzeniach zamkni

ę

tych

Traktuje si

ę

jak przewodzenie przy zwi

ę

kszonym, efektywnym współczynniku

przewodzenia

Q

c

T

h

T

)

(

c

h

ef

T

T

L

q

−

λ

=

&

L

6

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

m

ef

k

D

Pr)

Gr

(

=

λ

λ

=

ε

0.2

0.40

10

6

do 10

10

0.3

0.105

10

3

do 10

6

0

1

<1000

m

D

Gr Pr

wymiar charakterystyczny: odległo

ść

mi

ę

dzy

ś

ciank

ą

gor

ą

c

ą

i zimn

ą

.

Własno

ś

ci wyznaczane dla temperatury

ś

redniej mi

ę

dzy temperatur

ą

ś

cianki zimnej i ciepłej.

2

3

2

(

)

Gr

h

c

g

L T

T

−

=

ρ β

η

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

przy pionowych wysokich szczelinach obraz bardziej skomplikowany
tworz

ą

si

ę

wiry. Obliczeniowy obraz pola pr

ę

dko

ś

ci i temperatury

mi

ę

dzy szybami okiennymi

7

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Smukłe szczeliny pionowe wypełnione powietrzem (Jakob)

6

5

9

/

1

333

.

0

5

4

9

/

1

25

.

0

10

11

Gr

10

2

Gr

065

.

0

10

2

Gr

10

2

Gr

18

.

0

⋅

<

<

⋅













δ

=

λ

λ

=

ε

⋅

<

<

⋅













δ

=

λ

λ

=

ε

H

H

ef

k

ef

k

1 3

1

0 0605(Pr Gr)

/

= .

ε

1 3

3

0 293

2

1 36

0 104(Pr Gr)

1

1 [6310 (Pr Gr)]

/

.

.









.





= +









+

/













ε

Bardziej dokładna korelacja El Sherbiny at al.

1

2

3

max(

)

k

ε =

ε ,ε ,ε

0 272

3

Pr Gr

0 242

(

)

H

.





= .





/





ε

δ

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

dodatek

8

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

zakładamy rozkład nadwy

ż

ki

temperatury

2

)

1

(

)

(

δ

−

ϑ

=

ϑ

y

y

w

0

dy

)

(

d

;

)

0

(

=

δ

ϑ

ϑ

=

ϑ

w

spełnia warunki
brzegowe

∞

∞

−

=

ϑ

−

=

ϑ

T

T

T

T

y

w

w

;

)

(

δ

λϑ

=

ϑ

λ

w

2

dy

)

0

(

d

strumie

ń

ciepła na

ś

ciance

współczynnik wnikania

δ

λ

=

α

⇒

αϑ

=

δ

λϑ

⇒

αϑ

=

2

2

w

w

w

q

Rozkład temperatury

y

x

zakładaj

ą

c liniowy rozkład temperatury

otrzymuje si

ę

δ

λ

=

α

nadwy

ż

ka temperatury ponad temperatur

ę

w

nieruchomym rdzeniu płynu

δ

δ

δ

δ

((((

x

))))

w

a

rs

tw

a

p

rz

y

śc

ie

n

n

a

T(y)

∞

T

w

T

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

rozszerzalno

ść

cieplna

βϑ

ρ

=

ρ

−

ρ

⇒

βϑ

−

ρ

=

ρ

0

0

0

)

1

(

0

)

(

d

d

0

2

2

=

ρ

−

ρ

+

η

g

y

w

x













δ

+

δ

−

−

=

2

2

2

2

2

1

dy

d

y

y

A

w

x

wprowadzaj

ą

c g

ę

sto

ść

zale

ż

n

ą

od temperatury

Rozkład pr

ę

dko

ś

ci

równanie p

ę

du

η

βϑ

ρ

=

w

g

A

0

wprowadzaj

ą

c rozkład temperatury

0

d

d

2

2

0

=

+

y

w

g

x

η

βϑ

ρ

gdzie

siła masowa - wypór

0

ρ

g

ę

sto

ść

w

nieruchomym
rdzeniu płynu

y

x

δ

δ

δ

δ

((((

x

))))

w

a

rs

tw

a

p

rz

y

śc

ie

n

n

a

w

x

(y)

9

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

2

)

1

(

)

(

δ

−

ϑ

=

ϑ

y

y

w

rozkład temperatury w warstwie przy

ś

ciennej













δ

+

δ

−

−

=

2

2

2

2

2

1

dy

d

y

y

A

w

x

η

βϑ

ρ

=

w

g

A

0

gdzie

równanie ró

ż

niczkowe na pr

ę

dko

ść

z uproszczonego równania p

ę

du

z uwzgl

ę

dnieniem rozszerzalno

ś

ci

cieplnej płynu

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

0

)

(

;

0

)

0

(

=

δ

=

x

x

w

w

warunki brzegowe

dwukrotnie całkuj

ą

c rozkład pr

ę

dko

ś

ci

2

1

2

4

3

2

12

3

2

c

y

c

y

y

y

A

w

x

+

+













δ

+

δ

−

−

=

stałe

c

1

c

2

`

wyznacza si

ę

warunków brzegowych

0

;

4

2

1

=

δ

=

c

A

c

zale

ż

no

ść

pr

ę

dko

ś

ci od współrz

ę

dnej













δ

−

δ

+

−

δ

=

2

4

3

2

12

3

2

4

y

y

y

y

A

w

x

zawiera nieznan

ą

grubo

ść

warstwy przy

ś

ciennej

maksymalna pr

ę

dko

ść

dla

y=0.386

δ

10

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

nieznan

ą

grubo

ść

warstwy przy

ś

ciennej wyznacza si

ę

z bilansu masy i energii

η

δ

βϑ

ρ

=













δ

−

δ

+

−

δ

δ

=

δ

=

∫

∫

δ

δ

40

d

12

3

2

4

1

d

)

(

1

2

0

0

2

4

3

2

0

w

x

x

g

y

y

y

y

y

A

y

y

w

w

ś

rednia pr

ę

dko

ść

na dowolnej wysoko

ś

ci

ś

rednia temperatura

3

/

1

1

d

)

(

1

2

0

w

o

w

y

y

y

ϑ

=













δ

−

ϑ

δ

=

ϑ

δ

=

ϑ

∫

∫

δ

δ

strumie

ń

masy

η

δ

βϑ

ρ

=

δ

ρ

=

40

3

2
0

0

S

g

S

w

m

w

x

S

szeroko

ść ś

ciany

δ

η

δ

βϑ

ρ

=

d

40

3

d

2

2
0

S

g

m

w

przyrost masy ze wzrostem grubo

ś

ci warstwy

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

rozpisuj

ą

c ró

ż

niczki

ilo

ść

ciepła na podgrzanie dodatkowej masy = przyrost entalpii tej masy

I

Q

d

d

=

δ

η

δ

βϑ

ρ

ϑ

=

ϑ

δ

λ

d

40

d

2

2

2

0

S

g

c

S

x

w

w

p

w

Q

d

I

I

d

+

I

S

x

S

x

Q

S

g

c

S

g

c

m

c

I

w

w

w

w

p

w

p

p

d

2

d

d

d

40

d

40

3

d

d

2

2
0

2

2
0

ϑ

δ

λ

=

αϑ

=

δ

η

δ

βϑ

ρ

ϑ

=

δ

η

δ

βϑ

ρ

ϑ

=

ϑ

=

z bilansu energii – równanie ró

ż

niczkowe zwi

ą

zek grubo

ś

ci warstwy ze

współrz

ę

dn

ą

x

δ

λη

δ

βϑ

ρ

=

d

80

d

3

2

0

w

p

g

c

x

x

d

po scałkowaniu

3

4

2

0

320

c

g

c

x

w

p

+

λη

δ

βϑ

ρ

=

0

0

)

0

(

3

=

⇒

=

=

δ

c

x

z warunku brzegowego

4

2

0

23

.

4

w

p

g

c

x

βϑ

ρ

λη

=

δ

11

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

4

2

0

3

473

.

0

2

η

βϑ

ρ

λ

=

δ

λ

=

α

x

g

c

w

p

współczynnik wnikania

lokalna liczba Nusselta

25

.

0

4

4

2

3

2

0

Pr)

Gr

(

473

.

0

473

.

0

Nu

x

p

w

x

c

x

g

x

=

λ

η

η

ρ

βϑ

=

λ

α

=

lokalna liczba Grashofa

liczba Prandtla

2

3

2

0

Gr

η

ρ

βϑ

=

x

g

w

x

Ś

rednia liczba Nusselta

λ

η

=

p

c

Pr

25

.

0

0

Pr)

Gr

(

63

.

0

d

Nu

1

Nu

H

H

x

H

x

H

=

=

∫

2

3

2

0

Gr

Nu

η

ρ

βϑ

=

λ

α

=

H

g

H

w

H

H