1 – 2002
1.
Podać definicję liniowej zaleŜności wektorów w
2
R . Dla jakich
C
k
∈
wektory
)
3
,
2
,
1
(
u
−
,
)
8
,
k
,
0
(
v
3
−
,
)
,
,
(
21
1
4
w
są liniowo zaleŜne?
2.
Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):
0
mt
z
4
y
6
x
2
t
3
z
3
y
7
x
2
2
t
z
2
y
4
x
=
+
+
−
−
=
−
−
+
=
−
−
+
.
3.
Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej w przestrzeni.
Znaleźć prostą k przechodzącą przez punkt
)
,
,
(
5
0
1
P
0
i równoległą do płaszczyzn
0
3
z
y
2
x
H
1
=
+
−
+
:
i
0
4
z
2
y
x
3
H
2
=
+
+
+
:
. Obliczyć odległość punktu
)
,
,
(
3
1
2
A
od prostej k.
4.
Podać twierdzenie o osiąganiu wartości optymalnej funkcji celu na zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą graficzną rozwiązać ZPL: znaleźć
)
max(
2
1
x
x
−
przy ograniczeniach
7
x
x
2
1
≤
+
,
3
x
3
x
2
1
≤
−
,
1
x
x
2
2
1
≤
+
−
,
2
x
2
x
2
1
≥
+
,
0
x
1
≥
,
0
x
2
≥
.
Opisać metodę postępowania.
2 – 2002
1.
Wyprowadzić wzór na mnoŜenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór
Moivre’a.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:
)
Im(
)
Re(
i
1
z
i
1
z
4
i
z
z
1
+
≥
+
∧
+
+
≤
−
.
2.
Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić
dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):
6
mt
z
4
y
7
x
3
2
t
3
z
y
5
x
2
4
z
2
y
3
x
=
+
+
−
−
=
−
−
+
=
+
+
.
3.
Wyprowadzić postać kierunkową i parametryczną prostej przechodzącej przez punkt
)
,
,
(
0
0
0
0
z
y
x
P
i równoległej do wektora
)
,
,
(
c
b
a
u
r
.
Znaleźć rzut prostej
2
z
3
y
1
z
x
l
=
+
=
−
,
:
na płaszczyznę
0
z
y
x
2
=
−
+
:
π
.
4.
Podać twierdzenie o zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą sympleks rozwiązać zagadnienie: znaleźć
)
min(
3
2
1
x
x
3
x
+
+
−
przy ograniczeniach
.
,
,
,
,
0
x
0
x
0
x
0
x
1
x
x
3
x
1
x
x
2
x
4
3
2
1
4
2
1
3
2
1
≥
≥
≥
≥
=
+
+
=
+
+
3 – 2009
1.
Wyprowadzić wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej danej w postaci
trygonometrycznej. Wiedząc, Ŝe
i
2
1
2
3
−
jest jednym z pierwiastków szóstego stopnia liczby
zespolonej
z, podać i narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz liczbę z.
2.
Podać definicję liniowej niezaleŜności wektorów w przestrzeni wektorowej. Dla jakich
R
k
∈
wektory
)
0
,
1
,
1
(
−
u
r
,
)
2
,
2
,
1
(
−
v
r
,
)
,
1
,
2
(
k
w
r
są liniowo zaleŜne? Podać zaleŜność między nimi.
3.
Podać definicję płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni
0
)
,
,
(
:
S
=
z
y
x
F
w
punkcie
S
P
∈
0
.
4.
Znaleźć odległość między prostymi równoległymi
1
1
2
2
1
:
−
=
+
=
−
z
y
x
l
i
t
z
t
y
t
x
k
−
=
+
−
=
=
2
,
1
,
2
:
.
5.
Metodą eliminacji Gaussa (doprowadzić do mac. I) rozwiązać układ równań
=
−
6
1
3
5
1
1
0
1
2
2
0
1
z
y
x
.
6.
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1,-3,1) i prostą
0
=
z
+
y
-
3x
0
=
3
+
z
-
2y
+
x
:
l
.
4 – 2007
1.
Podać definicję oraz kilka własności sprzęŜenia liczby zespolonej. Udowodnić twierdzenie o
pierwiastkach zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych.
2.
Wyprowadzić wzór na odległość punktu
0
P do prostej l przechodzącej przez punkt
1
P
i
równoległej do wektora u
r
. Obliczyć odległość między prostymi równoległymi
t
z
t
y
t
x
k
2
1
,
2
1
,
3
:
−
=
+
−
=
+
=
i
2
2
1
1
2
:
−
=
+
=
−
z
y
x
m
.
3.
Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zaleŜności od
parametru a:
0
5
2
0
3
2
0
2
3
=
+
+
=
−
−
−
=
−
+
az
y
x
z
y
x
z
y
x
.
4.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór
C
z
∈
spełniający nierówność
i
z
i
+
−
≤
2
2
Im
6
. Czy pierwiastki równania
0
5
4
2
=
+
−
z
z
naleŜą do tego zbioru?
5.
Przekształcić formę kwadratową
xy
z
y
x
z
y
x
f
2
2
4
4
)
,
,
(
2
2
2
−
+
+
=
do postaci kanonicznej
oraz znaleźć wektory własne macierzy formy.
6.
Znaleźć rzut prostej
3
2
,
2
:
=
+
=
−
z
y
z
x
l
na płaszczyznę
6
2
:
=
−
+
π
z
y
x
.
5 – 2006
1.
Wyprowadzić wzór na mnoŜenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór
Moivre’a. Wiedząc, Ŝe
i
+
1
jest jednym z pierwiastków ósmego stopnia z liczby zespolonej
z,
narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz zapisać je w postaci
trygonometrycznej. Podać liczbę
z.
2.
Podać definicję macierzy osobliwej. Udowodnić, Ŝe dla macierzy osobliwej nie istnieje macierz
odwrotna. Znaleźć rozwiązania równania macierzowego
I
B
B
AX
T
5
−
−
dla
−
−
=
1
1
2
3
A
,
−
=
2
1
0
3
2
1
B
.
3.
Omówić wzajemne połoŜenie prostych. Wykazać, Ŝe proste
t
z
t
y
t
x
k
+
−
=
+
−
=
−
=
3
,
1
,
2
2
:
i
3
,
1
2
:
=
−
=
+
y
x
z
x
l
leŜą na jednej płaszczyźnie oraz znaleźć tę płaszczyznę.
4.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:
2
1
1
Im
3
1
≤
+
∧
+
−
≤
+
−
z
i
i
i
z
.
5.
Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać
układ równań ( a – parametr ):
a
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
=
+
+
−
=
+
+
−
=
−
−
+
−
=
+
+
−
6
8
5
3
4
5
3
2
3
2
5
3
2
.
6.
Znaleźć wartości własne i wektory macierzy
=
3
2
0
2
3
0
1
1
2
A
.
7 – 2007
1.
Patrz zadanie 1 z zestawu nr 4.
2.
Patrz zadanie 2 z zestawu nr 4.
3.
Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zaleŜności od
parametrów a i m:
m
az
y
x
z
y
x
z
y
x
=
+
+
=
−
−
−
=
−
+
5
2
2
3
2
1
2
3
.
4.
Patrz zadanie 4 z zestawu nr 4.
5.
Patrz zadanie 5 z zestawu nr 4.
6 – 2006
1.
a) Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równanie:
0
16
10
2
=
−
+
iz
z
; który z pierwiastków tego
równania spełnia nierówność:
i
z
4
3
+
≤
, zrobić rysunek.
b) Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wektorach:
)
3
,
1
,
2
(
−
u
r
,
)
2
,
1
,
5
(
−
v
r
i
)
1
,
0
,
1
(
−
w
r
.
2.
Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić
dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):
8
3
2
2
2
2
2
3
=
+
+
=
+
−
−
=
+
+
mz
y
x
z
y
x
z
y
x
.
3.
Omówić postać trygonometryczną liczby zespolonej. Podać wzór Moivre'a. Znaleźć pierwiastki
zespolone równania:
i
i
z
z
2
2
1
2
3
3
18
+
−
=
−
.
4.
Wyprowadzić równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
)
,
,
(
0
0
0
0
z
y
x
P
i prostopadłej do
wektora
)
,
,
(
C
B
A
u
r
. Znaleźć płaszczyznę przechodzącą przez punkt
)
2
,
1
,
3
(
P
równoległą do
prostych
t
z
t
y
t
x
l
3
,
2
,
2
1
:
=
−
=
+
=
i
t
z
t
y
t
x
k
2
3
,
1
,
2
:
+
=
−
=
+
=
.
5.
Podać definicję oraz warunek dostateczny istnienia macierzy odwrotnej. Rozwiązać równanie
macierzowe:
B
B
XA
T
T
=
dla
−
−
=
2
1
5
3
A
,
−
=
2
1
0
3
2
1
B
.