1 – 2002

1.

Podać definicję liniowej zależności wektorów w

2

R . Dla jakich

C

k

∈

wektory

)

3

,

2

,

1

(

u

−

,

)

8

,

k

,

0

(

v

3

−

,

)

,

,

(

21

1

4

w

są liniowo zależne?

2.

Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):

0

mt

z

4

y

6

x

2

t

3

z

3

y

7

x

2

2

t

z

2

y

4

x

=

+

+

−

−

=

−

−

+

=

−

−

+

.

3.

Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej w przestrzeni.
Znaleźć prostą k przechodzącą przez punkt

)

,

,

(

5

0

1

P

0

i równoległą do płaszczyzn

0

3

z

y

2

x

H

1

=

+

−

+

:

i

0

4

z

2

y

x

3

H

2

=

+

+

+

:

. Obliczyć odległość punktu

)

,

,

(

3

1

2

A

od prostej k.

4.

Podać twierdzenie o osiąganiu wartości optymalnej funkcji celu na zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą graficzną rozwiązać ZPL: znaleźć

)

max(

2

1

x

x

−

przy ograniczeniach

7

x

x

2

1

≤

+

,

3

x

3

x

2

1

≤

−

,

1

x

x

2

2

1

≤

+

−

,

2

x

2

x

2

1

≥

+

,

0

x

1

≥

,

0

x

2

≥

.

Opisać metodę postępowania.

2 – 2002

1.

Wyprowadzić wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór
Moivre’a.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:

)

Im(

)

Re(

i

1

z

i

1

z

4

i

z

z

1

+

≥

+

∧

+

+

≤

−

.

2.

Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić
dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):

6

mt

z

4

y

7

x

3

2

t

3

z

y

5

x

2

4

z

2

y

3

x

=

+

+

−

−

=

−

−

+

=

+

+

.

3.

Wyprowadzić postać kierunkową i parametryczną prostej przechodzącej przez punkt

)

,

,

(

0

0

0

0

z

y

x

P

i równoległej do wektora

)

,

,

(

c

b

a

u

r

.

Znaleźć rzut prostej

2

z

3

y

1

z

x

l

=

+

=

−

,

:

na płaszczyznę

0

z

y

x

2

=

−

+

:

π

.

4.

Podać twierdzenie o zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą sympleks rozwiązać zagadnienie: znaleźć

)

min(

3

2

1

x

x

3

x

+

+

−

przy ograniczeniach

.

,

,

,

,

0

x

0

x

0

x

0

x

1

x

x

3

x

1

x

x

2

x

4

3

2

1

4

2

1

3

2

1

≥

≥

≥

≥

=

+

+

=

+

+

3 – 2009

1.

Wyprowadzić wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej danej w postaci

trygonometrycznej. Wiedząc, że

i

2

1

2

3

−

jest jednym z pierwiastków szóstego stopnia liczby

zespolonej

z, podać i narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz liczbę z.

2.

Podać definicję liniowej niezależności wektorów w przestrzeni wektorowej. Dla jakich

R

k

∈

wektory

)

0

,

1

,

1

(

−

u

r

,

)

2

,

2

,

1

(

−

v

r

,

)

,

1

,

2

(

k

w

r

są liniowo zależne? Podać zależność między nimi.

3.

Podać definicję płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni

0

)

,

,

(

:

S

=

z

y

x

F

w

punkcie

S

P

∈

0

.

4.

Znaleźć odległość między prostymi równoległymi

1

1

2

2

1

:

−

=

+

=

−

z

y

x

l

i

t

z

t

y

t

x

k

−

=

+

−

=

=

2

,

1

,

2

:

.

5.

Metodą eliminacji Gaussa (doprowadzić do mac. I) rozwiązać układ równań





















=









































−

6

1

3

5

1

1

0

1

2

2

0

1

z

y

x

.

6.

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1,-3,1) i prostą







0

=

z

+

y

-

3x

0

=

3

+

z

-

2y

+

x

:

l

.

4 – 2007

1.

Podać definicję oraz kilka własności sprzężenia liczby zespolonej. Udowodnić twierdzenie o
pierwiastkach zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych.

2.

Wyprowadzić wzór na odległość punktu

0

P do prostej l przechodzącej przez punkt

1

P

i

równoległej do wektora u

r

. Obliczyć odległość między prostymi równoległymi

t

z

t

y

t

x

k

2

1

,

2

1

,

3

:

−

=

+

−

=

+

=

i

2

2

1

1

2

:

−

=

+

=

−

z

y

x

m

.

3.

Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zależności od
parametru a:

0

5

2

0

3

2

0

2

3

=

+

+

=

−

−

−

=

−

+

az

y

x

z

y

x

z

y

x

.

4.

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór

C

z

∈

spełniający nierówność

i

z

i

+

−

≤













2

2

Im

6

. Czy pierwiastki równania

0

5

4

2

=

+

−

z

z

należą do tego zbioru?

5.

Przekształcić formę kwadratową

xy

z

y

x

z

y

x

f

2

2

4

4

)

,

,

(

2

2

2

−

+

+

=

do postaci kanonicznej

oraz znaleźć wektory własne macierzy formy.

6.

Znaleźć rzut prostej

3

2

,

2

:

=

+

=

−

z

y

z

x

l

na płaszczyznę

6

2

:

=

−

+

π

z

y

x

.

5 – 2006

1.

Wyprowadzić wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór
Moivre’a. Wiedząc, że

i

+

1

jest jednym z pierwiastków ósmego stopnia z liczby zespolonej

z,

narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz zapisać je w postaci
trygonometrycznej. Podać liczbę

z.

2.

Podać definicję macierzy osobliwej. Udowodnić, że dla macierzy osobliwej nie istnieje macierz

odwrotna. Znaleźć rozwiązania równania macierzowego

I

B

B

AX

T

5

−

−

dla













−

−

=

1

1

2

3

A

,





















−

=

2

1

0

3

2

1

B

.

3.

Omówić wzajemne położenie prostych. Wykazać, że proste

t

z

t

y

t

x

k

+

−

=

+

−

=

−

=

3

,

1

,

2

2

:

i

3

,

1

2

:

=

−

=

+

y

x

z

x

l

leżą na jednej płaszczyźnie oraz znaleźć tę płaszczyznę.

4.

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:

2

1

1

Im

3

1

≤













+

∧

+

−

≤

+

−

z

i

i

i

z

.

5.

Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać
układ równań ( a – parametr ):

a

t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

=

+

+

−

=

+

+

−

=

−

−

+

−

=

+

+

−

6

8

5

3

4

5

3

2

3

2

5

3

2

.

6.

Znaleźć wartości własne i wektory macierzy





















=

3

2

0

2

3

0

1

1

2

A

.

7 – 2007

1.

Patrz zadanie 1 z zestawu nr 4.

2.

Patrz zadanie 2 z zestawu nr 4.

3.

Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa
przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zależności od
parametrów a i m:

m

az

y

x

z

y

x

z

y

x

=

+

+

=

−

−

−

=

−

+

5

2

2

3

2

1

2

3

.

4.

Patrz zadanie 4 z zestawu nr 4.

5.

Patrz zadanie 5 z zestawu nr 4.

6 – 2006

1.

a) Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równanie:

0

16

10

2

=

−

+

iz

z

; który z pierwiastków tego

równania spełnia nierówność:

i

z

4

3

+

≤

, zrobić rysunek.

b) Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wektorach:

)

3

,

1

,

2

(

−

u

r

,

)

2

,

1

,

5

(

−

v

r

i

)

1

,

0

,

1

(

−

w

r

.

2.

Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić
dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ):

8

3

2

2

2

2

2

3

=

+

+

=

+

−

−

=

+

+

mz

y

x

z

y

x

z

y

x

.

3.

Omówić postać trygonometryczną liczby zespolonej. Podać wzór Moivre'a. Znaleźć pierwiastki

zespolone równania:

i

i

z

z

2

2

1

2

3

3

18

+















−

=

−

.

4.

Wyprowadzić równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

)

,

,

(

0

0

0

0

z

y

x

P

i prostopadłej do

wektora

)

,

,

(

C

B

A

u

r

. Znaleźć płaszczyznę przechodzącą przez punkt

)

2

,

1

,

3

(

P

równoległą do

prostych

t

z

t

y

t

x

l

3

,

2

,

2

1

:

=

−

=

+

=

i

t

z

t

y

t

x

k

2

3

,

1

,

2

:

+

=

−

=

+

=

.

5.

Podać definicję oraz warunek dostateczny istnienia macierzy odwrotnej. Rozwiązać równanie

macierzowe:

B

B

XA

T

T

=

dla













−

−

=

2

1

5

3

A

,





















−

=

2

1

0

3

2

1

B

.