Algebra z geometria - przykładowe zadania egzaminacyjne
,
1. Znaleźć rzut prostoka , tny punktu p = (2 , 1 , 6) na prosta , L : x = 2 t + 1, y = 2, z = t + 3, t ∈ R.
2. Znaleźć punkt wspólny p prostej L : x = t, y = 1, z = − 1, t ∈ R i płaszczyzny Π o równaniu x + y + z − 1 = 0.
Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej K leża , cej w płaszczyźnie Π, przechodza , cej przez punkt p i prostopadłej do prostej L.
3. Dane jest przekształcenie liniowe F : R5 → R3; F ([ x, y, z, t, u]) := [ x − y + z − t + u, x + y + z + t + u, x + z + u].
Wyznaczyć wymiar i baze , przestrzeni KerF i ImF .
4. Dane sa , dwa przekształcenia liniowe: F : R3 → R2; F ([ x, y, z]) := [2 x − y + z, 3 x − y] oraz G : R2 → R2; G([ x, y]) := [ x − 2 y, 2 x + y] .
Znaleźć macierz przekształcenia liniowego G ◦ F : R3 → R2 wzgle , dem baz: B = {[1 , 1 , 1] , [0 , 1 , 1] , [0 , 0 , 1] }
i C = {[1 , 0] , [0 , 1] }.
5. Znaleźć podprzestrzenie wektorów własnych macierzy A ∈ M n(R) n
− 1 0
1
A =
5
2
− 2 .
− 1 1
2
Znaleźć nieosobliwa , macierz U taka , , że macierz U− 1 AU jest w postaci kanonicznej Jordana.
6. W przestrzeni R3 znaleźć podprzestrzenie wektorów własnych macierzy
4
− 2 2
A =
2
0
2 .
− 1
1
1
Czy macierz A jest diagonalizowalna? Jeśli tak podać macierz w postaci diagonalnej podobna , do macierzy A.
7. Sprawdzić, że naste , puja , cy układ równań ma rozwia , zanie: x 1
+
x 2
− 2 x 3 −
x 4
=
5
−x 1 +
x 2
+
x 3
+
2 x 4
=
2
x 1
+
3 x 2
− 3 x 3
=
12
Znaleźć wszystkie jego rozwia , zania rzeczywiste.
8. Stosuja , c twierdzenie Kroneckera-Capellego stwierdzić, czy układ równań x
+
y
+
z
+
2 t
=
0
x
+
y
− z + 2 t = 1
x
− y + z − 2 t = 4
−x + y − z + 2 t = 1
ma: (a) tylko jedno rozwia , zanie, (b) nie ma rozwia , zań, (c) ma nieskończenie wiele rozwia , zań.
Znaleźć wszystkie rozwia , zania układu jednorodnego.