Zadania z geometrii

Z

ESTAW

4

Zadania 1 - 23 dotycz ˛

a przestrzeni afinicznej E(R

2

) ze zwykłym iloczynem skalarnym.

1.

Dane s ˛

a równania boków trójk ˛

ata AB : 2X −Y + 2 = 0, BC : X −Y = 0, AC : X +Y − 2 = 0. Wyznacz współrz˛edne

wierzchołków.

2.

Wyznacz równania boków trójk ˛

ata o wierzchołkach: A = (1, −1), B = (3, 5), C = (−1, 11).

3.

Dane s ˛

a równania dwóch boków równoległoboku: 8X + 3Y + 1 = 0, 2X + Y − 1 = 0 i równanie jednej z jego

przek ˛

atnych 3X + 2Y + 3 = 0. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.

4.

Dane s ˛

a dwa boki równoległoboku: 2X −Y = 0, X − 3Y = 0 i punkt przeci˛ecia si˛e przek ˛

atnych P = (2, 3). Wyznacz

równania przek ˛

atnych.

5.

W trójk ˛

acie ABC dane s ˛

a: wierzchołek A = (0, −3), ´srodek S = (8, −1) boku AB i wektor

−→

BC

= [−7, 8]. Wyznacz

równanie prostej AC.

6.

Przez punkt A = (2, 1) poprowadzi´c prost ˛

a tak, by punkt A był ´srodkiem odcinka zawartego mi˛edzy prostymi

2X +Y = 0, X −Y − 2 = 0.

7.

W trójk ˛

acie ABC dane s ˛

a: wierzchołek A = (2, −4) i równania trzech jego ´srodkowych: 4X +Y − 6 = 0,

2X +Y − 2 = 0, X − 2 = 0. Wyznacz równania boków tego trójk ˛

ata.

8.

Dane s ˛

a równania dwóch ´srodkowych trójk ˛

ata 4X + 5Y = 0, X − 3Y = 0 i wierzchołek (2, −5). Wyznacz równania

boków i pozostałe wierzchołki.

9.

Dane s ˛

a wierzchołki trójk ˛

ata A = (1, 1), B = (3, 5), C = (−1, 3). Napisz równanie prostej przechodz ˛

acej przez

´srodek boku AB i równoległej do boku BC.

10.

Dla jakiej warto´sci parametru m proste (m − 1)X + mY − 5 = 0, mX + (2m − 1)Y − 10 = 0 przecinaj ˛

a si˛e w punkcie

le˙z ˛

acym na osi OX ?

11.

Przez punkt przeci˛ecia si˛e prostych 2X − 7Y − 8 = 0, 3X + 2Y + 5 = 0 poprowad´z prost ˛

a równoległ ˛

a do prostej

2X + 3Y − 7 = 0.

12.

Dane s ˛

a dwie proste 2X −3Y +5 = 0, X = 1. Dla jakich warto´sci parametrów a, b prosta aX +bY +1 = 0 przechodzi

przez punkt przeci˛ecia si˛e tych prostych?

13.

Dla jakich warto´sci parametrów a, b ∈ R proste aX − 4Y + b = 0, 4X − aY + 1 = 0 s ˛

a prostopadłe?

14.

W trójk ˛

acie ABC dane s ˛

a: wierzchołek B = (0, 5) i wektory

−→

AB

= [4, 12],

−→

CB

= [−8, 7]. Wyznacz równanie wysoko-

´sci tego trójk ˛

ata opuszczonej z wierzchołka C.

15.

Wyznacz równania boków trójk ˛

ata znaj ˛

ac jeden wierzchołek A = (3, −4) i równania dwóch wysoko´sci

7X − 2Y − 1 = 0, 2X − 7Y − 6 = 0.

16.

Wyka˙z, ˙ze wysoko´sci trójk ˛

ata przecinaj ˛

a si˛e w jednym punkcie.

17.

Dane s ˛

a dwa wierzchołki trójk ˛

ata A = (−4, 4), B = (4, 0) i punkt przeci˛ecia si˛e wysoko´sci H = (3, 4). Wyznacz

współrz˛edne trzeciego wierzchołka.

18.

Napisz równanie prostej przechodz ˛

acej przez punkt przeci˛ecia si˛e prostych 4X − 3Y + 1 = 0, 7X + 2Y − 22 = 0 i

prostopadłej do prostej 3X − 5Y = 1.

19.

Wyznacz taki punkt, ˙ze jego odległo´sci od punktów (2, 3), (4, 2), (−1, 0) s ˛

a równe.

20.

Na prostej 4X + 3Y − 12 = 0 wyznacz punkt równoodległy od punktów (−1, −2), (1, 4).

21.

Dwa boki równoległoboku le˙z ˛

a na prostych X + Y = 1, 3X − Y = 4, a przek ˛

atne przecinaj ˛

a si˛e w punkcie (3, 3).

Wyznacz równania prostych na których le˙z ˛

a dwa pozostałe boki tego równoległoboku.

22.

Punkty (2, 1), (2, 5) s ˛

a wierzchołkami trójk ˛

ata równobocznego. Wyznacz trzeci wierzchołek.

23.

Wyznacz długo´sci boków i miary k ˛

atów wewn˛etrznych trójk ˛

ata ABC, je´sli: A = (2, 1), B = (3, 1), C = (1, 2);

Zadania 24 - 47 dotycz ˛

a przestrzeni afinicznej E(R

3

) ze zwykłym iloczynem skalarnym.

24.

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkty: (0, 0, 2), (4, 0, 1), (2, 1, 2).

25.

Dla jakich warto´sci parametrów m, k płaszczyzny 4X − 3Y + 6kZ − 8 = 0, 2mX +Y − 4Z + 4 = 0 s ˛

a równoległe?

26.

Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt (−1, 5, 7) i równoległej do płaszczyzny

2X −Y + 5Z − 1 = 0.

27.

Dany jest czworo´scian o wierzchołkach A = (5, 1, 3), B = (1, 6, 2), C = (5, 0, 4), D = (4, 0, 6). Napisz równanie
płaszczyzny przechodz ˛

acej przez kraw˛ed´z AB i równoległej do kraw˛edzi CD.

1

28.

Dane s ˛

a równania trzech ´scian równoległo´scianu: X − 3Y + 4Z − 12 = 0, Y + 2Z − 5 = 0, X + 4 = 0 i jeden z jego

wierzchołków (4, −3, 2). Wyznacz równania pozostałych ´scian i równania kraw˛edzi.

29.

Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt (0, 0, 0) i przez wspóln ˛

a kraw˛ed´z płaszczyzn:

X

+ 3Y − Z + 1 = 0, 2X −Y + 2Z + 5 = 0.

30.

Przez wspóln ˛

a kraw˛ed´z płaszczyzn 6X − Y + Z = 0, 5X + 3Z − 10 = 0 poprowad´z płaszczyzn˛e równoległ ˛

a do osi

OX

.

31.

Napisz równanie kanoniczne prostej przechodz ˛

acej przez punkt (2, 1, −2) i równoległej do prostej

(1, 0, 1) + lin ([−1, 2, 1]).

32.

Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt A = (1, 3, −2) maj ˛

ac dany wektor prostopadły do tej

płaszczyzny α = [3, −1, 2].

33.

Znajd´z równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez kraw˛ed´z wspóln ˛

a płaszczyzn X − 2Y + Z = 1, X − Z = 2 i pro-

stopadłej do prostej af((0, 1, 2), (1, 3, 1)).

34.

Znajd´z równanie kanoniczne prostej przechodz ˛

acej przez punkt (1, 0, 1), równoległej do płaszczyzny

X

− 2Y + Z = 1 i prostopadłej do prostej af((1, 2, 0), (2, 2, 1)).

35.

Znajd´z równanie kanoniczne prostej przechodz ˛

acej przez punkt (1, 0, 0), le˙z ˛

acej w płaszczy´znie X − Y + Z = 1 i

prostopadłej do prostej af((1, 1, 1), (2, 1, 0)).

36.

Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R płaszczyzny 7X − 2Y − Z = 0, mX +Y − 3Z = 1 s ˛

a wzajemnie prostopadłe?

37.

Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt (2, −1, 1) prostopadłej do płaszczyzn

2X − Z = −1, Y = 0.

38.

Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkty (2, −1, 4), (1, −1, 5) i prostopadłej do płaszczyzny

X

− 2Y + Z = 1.

39.

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt A = (2, −1, 1) i prostopadłej do prostej

(

X

− 2Y + Z − 3 = 0

X

+Y − Z + 2 = 0

.

40.

Dane s ˛

a trzy punkty A = (4, 1, −2), B = (2, 0, 0), C = (−2, 3, 8). Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecho-

dz ˛

acej przez punkt B i przecinaj ˛

acej prost ˛

a AC pod k ˛

atem prostym.

41.

Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecinaj ˛

acej proste af((1, 1, 2), (2, 3, 3)), af((0, 1, 9), (2, 2, 10)) pod k ˛

atem

prostym.

42.

Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecinaj ˛

acej proste

X

1

=

Y

+4

1

=

Z

−3

−1

,

X

−1
2

=

Y

+3

−1

=

Z

−4

5

i prostopadłej do

płaszczyzny Y = 0.

43.

Wyznacz miar˛e k ˛

ata:

(a) pomi˛edzy prostymi af((1, 2, −4), (4, 0, −10)) oraz af((2, 6, −2), (−2, 6, 8));

(b) pomi˛edzy prostymi L

1

= Sol(



3X − 4Y − 2Z = 0
2X +Y − 2Z = 0

) oraz L

2

= Sol(



4X +Y − 6Z = 2

Y

− 3Z = −2

);

(c) pomi˛edzy prost ˛

a af((5, 1, 2), (11, −2, 3)) a płaszczyzn ˛

a Sol(7X + 2Y − 3Z = −5);

(d) pomi˛edzy prost ˛

a Sol(



X

+Y − Z = 0

2X − 3Y + Z = 0

), a płaszczyzn ˛

a af((1, −1, 0), (−2, 0, −1), (−1, 1, 1));

(e) pomi˛edzy płaszczyznami Sol(X −

√

2Y + Z = 1) oraz Sol(X +

√

2Y − Z = 3);

(f) pomi˛edzy ka˙zd ˛

a par ˛

a spo´sród płaszczyzn af((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)), af((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)),

af((−1, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, 1)).

44.

Oblicz k ˛

at pomi˛edzy ´scian ˛

a a przek ˛

atn ˛

a sze´scianu oraz k ˛

at pomi˛edzy kraw˛edzi ˛

a a przek ˛

atn ˛

a sze´scianu.

45.

Wyznacz:

(a) równanie płaszczyzny zawieraj ˛

acej prost ˛

a (0, 0, 0) + lin([1, 0, 0]) i tworz ˛

acej z płaszczyzn ˛

a

Sol(X −Y = 0) k ˛

at o mierze

π
3

;

(b) równanie płaszczyzny przechodz ˛

acej przez punkt (0, 0, 0), prostopadłej do płaszczyzny

Sol(5X − 2Y + 5Z = 10) i tworz ˛

acej z płaszczyzn ˛

a Sol(X − 4Y − 8Z = −12) k ˛

at o mierze

π
4

.

46.

Wyznacz:

(a) odległo´s´c punktu (1, 0, 1) od prostej af((−1, 2, 1), (1, 5, 7)),

(b) odległo´s´c punku (1, 1, 1) od płaszczyzny af((−1, 2, 0), (−2, 5, −1), (0, 3, −3)),

(c) odległo´s´c pomi˛edzy ka˙zd ˛

a par ˛

a spo´sród prostych

X

−2
3

=

Y

+1

4

=

Z

2

, X = Y = Z,

X

1

=

Y

−1

2

=

Z

−2

−1

.

47.

Wyznacz odległo´s´c G od H je´sli G = af((7, 8, 9), (8, 8, 10)), H = af((9, 7, 7), (10, 9, 7)).

——————————————————————————————————

2

48.

W przestrzeni euklidesowej (E(R

2

), ξ), gdzie q

ξ

([x, y]) = x

2

− 4xy + 5y

2

wyznacz pole równoległoboku rozpi˛etego

na wektorach [1, 1], [2, 1] i zaczepionego w punkcie (1, 1).

49.

W przestrzeni euklidesowej (E(R

2

), ξ), gdzie q

ξ

([x, y, z]) = x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

wyznacz pole równoległoboku rozpi˛e-

tego na wektorach [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] i zaczepionego w punkcie (0, 0, 0) oraz pole trójk ˛

ata o wierzchołkach

(1, 0), (2, 1), (3, 3).

50.

W przestrzeni euklidesowej (E(R

3

), ξ), gdzie q

ξ

([x, y, z]) = x

2

+ 2xy + 3y

2

+ z

2

wyznacz:

(a) odległo´s´c punktu (1, 1, 1) od prostej af(1, 2, 1), (2, 2, 1),

(b) odległo´s´c punktu (1, 1, 1) od płaszczyzny Sol(2X −Y − Z = 1),

(c) odległo´s´c prostych L

1

= Sol(



2X

1

+ X

2

+ 3X

3

= 5

3X

1

+ 2X

2

+ X

3

= 4

), L

2

= Sol(



X

1

+ X

2

− 2X

3

= 2

5X

1

+ 3X

2

+ 4X

3

= 8

).

51.

W przestrzeni euklidesowej E(R

5

) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz długo´sci boków trójk ˛

ata o wierzchoł-

kach (2, 4, 2, 4, 2), (6, 4, 4, 4, 6), (5, 7, 5, 7, 2).

52.

W przestrzeni euklidesowej E(R

5

) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznacz długo´sci boków i miary k ˛

atów

wewn˛etrznych trójk ˛

ata ABC, je´sli:

(a) A = (2, 4, 2, 4, 2), B = (6, 4, 4, 4, 6), C = (5, 7, 5, 7, 2);

(b) A = (1, 2, 3, 2, 1), B = (3, 4, 0, 4, 3), C = (1 +

5

26

√

78, 2 +

5

13

√

78, 3 +

10
13

√

78, 2 +

5

13

√

78, 1 +

5

26

√

78).

53.

W przestrzeni euklidesowej E dane s ˛

a proste L

1

= P+lin(α) oraz L

2

= Q+lin(β). Wyka˙z, ˙ze cosinus k ˛

ata pomi˛edzy

tymi prostymi jest równy

cos(

∠{L

1

, L

2

}) =

|< α, β >|

k α k · k β k

.

54.

W przestrzeni euklidesowej E dane s ˛

a hiperpłaszczyzny H

1

= P + α

⊥

oraz H

2

= Q + β

⊥

. Wyka˙z, ˙ze cosinus k ˛

ata

pomi˛edzy tymi hiperpłaszczyznami jest równy

cos(

∠{H

1

, H

2

}) =

|< α, β >|

k α k · k β k

.

55.

W przestrzeni euklidesowej E dana jest prosta L = P + lin(α) oraz hiperpłaszczyzna H = Q + β

⊥

. Wyka˙z, ˙ze miara

k ˛

ata pomi˛edzy pomi˛edzy prost ˛

a L a płaszczyzn ˛

a H jest równa

| ∠{L, H} |=

π

2

− ϕ, gdzie cos ϕ =

|< α, β >|
k α kk β k

.

56.

W przestrzeni euklidesowej E(R

4

) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz odległo´s´c punktu P od podprzestrzeni

H

:

(a) P = (2, 4, 0, −1), H = Sol(



2X

1

+ 2X

2

+ X

3

+ X

4

= 0

2X

1

+ 4X

2

+ 2X

3

+ 4X

4

= 0

),

(b) P = (3, 3, −1, −1), H = Sol(2X

1

+ 2X

2

+ 3X

3

− 2X

4

= 0).

57.

W przestrzeni euklidesowej E(R

4

) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz odległo´s´c G od H je´sli:

G

= af((3, 4, 10, 6), (5, 6, 12, 8)), H = af((5, 4, 12, 7), (3, 6, 10, 8)).

58.

W przestrzeni euklidesowej E(R

4

) ze zwykłym iloczynem skalarnym przek ˛

atne af(P, R) i af(Q, S) przecinaj ˛

a si˛e w

punkcie T = (

−68

11

,

70
11

,

470

11

,

310

11

), za´s

−→

PR

= [

−147

11

,

30
11

,

874

11

,

576

11

],

−→

QS

= [

−101

11

,

18
11

,

582

11

,

384

11

]. Oblicz pole równoległoboku

PQRS

.

3