Pole magnetyczne wywołane

przez przepływ prądu

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Podstawy Fizyki

Halliday, Resnick i Walker Rozdział 30

M.C. Esher grafik holenderski

Belvedere

Niemożliwy sześcian Eschera

Pole elektryczne wywołane

przez rozkład ładunku

2

0

1

dq

dE =

.

4πε r

Element o ładunku dq wytwarza pole
elektryczne o natężeniu dE równym

Aby znaleźć natężenie pola elektrycznego
wytwarzanego przez cały obszar zapełniony
ładunkiem należy obliczyć całkę objętościową.

3

0

1

dq

=

.

4πε r

dE

r

Indukcja magnetyczna wywołana przez

prąd elektryczny

Rozpatrzymy element ds
przewodnika liniowego
przez który płynie prąd o
natężeniu I.
Wprowadzimy wektor

o długości ds i

kierunku zgodnym z
przepływem prądu w
elemencie ds.

ds

Indukcja magnetyczna wywołana przez

element prądu elektrycznego

Definicja elementu prądu:

Jeżeli wyznaczymy wektor
indukcji w punkcie P
o wektorze wodzącym r
pochodzący od elementu
prądu , to sumując
wkłady od innych
elementów prądu
znajdziemy całkowity
wektor indukcji
wytwarzanej przez
przewodnik w punkcie P.

= I

⋅

dI

ds .

dB(r)

dI

Prawo Biota-Savarta

0

0

2

3

µ

µ

Ids sinθ

Ids rsinθ

dB =

,

4π

r

4π

r

⋅

⋅

=

W wyniku doświadczeń ustalono związek pomiędzy
elementem prądu i wektorem wodzącym punktu P. Element
prądu tworzący z wektorem wodzącym punktu
P kąt

θ

, wytwarza pole magnetyczne charakteryzowane przez

wektor indukcji o długości dB

= I

⋅

dI

ds

r

dB

gdzie stała

µ

0

jest nazywana przenikalnością

magnetyczną próżni

-7

0

µ = 4π ×10 T m/A.

⋅

dB jest długością iloczynu wektorowego, który określa
kierunek wektora

dB .

0

3

µ I

(prawo Biota - Savarta).

4π

r

=

ds × r

dB

Jean-Baptiste Biot

Urodzony:

21 kwietnia 1774 w Paryżu

zmarł:

3 lutego 1862 w Paryżu

Felix Savart asystent Biota

urodzony: 30 czerwca 1791 w

Mézières, Francja

zmarł: 16 marca 1841 w Paryżu,

Pole magnetyczne wytworzone przez prąd

płynący w długim przewodzie prostoliniowym

Przewodnik można uznać za nieskończenie długi,
zatem wektor indukcji nie zależy od położenia
elementu ds, a jedynie od jego długości i kąta
pomiędzy wektorami .

i

ds

r

Wektor indukcji magnetycznej jest

prostopadły do płaszczyzny, w której leżą

wektory i skierowany jest za tę

płaszczyznę.

dB

i

ds

r

0

2

µ Ids sinθ

dB =

4π

r

⋅

I

ds

R

r

P

dB

θθθθ

Wektor indukcji magnetycznej

wytwarzany przez element prądu

0

2

ˆ

I

d

.

4

r

µ

×

=

π

ds r

B

0

2

ˆ

Id

4

r

µ

×

=

π

∫

s r

B

Symetria pola magnetycznego nieskończonego

prostoliniowego przewodnika

I

W każdej z płaszczyzn prostopadłych do
przewodnika pole wektorów indukcji jest takie
same. Ma ono symetrię walcową. Dowolny
obrót w płaszczyźnie dookoła przewodnika nie
zmienia obrazu pola wektorów indukcji.

Pole magnetyczne

Pole elektryczne

E

q

B

I

Porównanie pola elektrycznego ładunku

punktowego i pola magnetycznego prądu

B

I

E

q

Obydwa pola mają symetrię kolistą – nie zmieniają
się gdy dokonujemy dowolnego obrotu dookoła osi
przechodzącej przez środek współśrodkowych
okręgów, prostopadłej do płaszczyzny rysunku.

Pole wirowe

Pole radialne

Geometria zagadnienia

ds

R

r

P

dB

θθθθ

s

0

ds

Wybierzemy początek układu współrzędnych
w punkcie 0 przewodnika. Element ds dolny i
górny dają taki sam wkład.

0

2

0

0

µ I

sinθ

B = 2

dB =

ds

2π

r

∞

∞

∫

∫

Lecz:

2

2

2

r = s + R .

(

)

2

2

R

sinθ = sin π - θ =

s + R

Obliczenie całki

(

)

(

)

(

)

(

)

0

2

2

2

2

0

0

0

3/2

0

2

2

0

0

1/2

1/2

2

2

2

2

0

2

2

0

0

s

s

µ I

1

R

B = 2

dB =

ds

=

2π

s + R

s + R

µ I

R

ds

=

2π

s + R

µ I

µ I

s

1

=

lim

=

2πR

2πR

s + R

1+ R /s

µ I

µ I

lim 1- R /2s

=

.

2πR

2πR

∞

∞

∞

→∞

∞

→∞

















∫

∫

∫

0

µ I

Ostateczny wynik : B =

2πR

Sprawdzenie poprawności obliczenia całki

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1/2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

2

3/ 2

3/ 2

2

2

2

2

2

2

ds

2s

s + R

s

ds

s + R

dF(s)

1 d

s

1

=

ds

R ds

R

s + R

s + R

2s

s + R

s

2 s + R

s + R

s

1

1

R

.

R

R

s + R

s + R

s + R

⋅

+









= ⋅

=









−

−

⋅

= ⋅

=

[

]

[

]

2

du(x)/dx v(x) - u(x) dv(x)/dx

d

u(x)

=

dx v(x)

v (x)













(

)

(

)

3/ 2

1/2

2

2

2

2

R

s

F(s) = ds

s

R

R s + R

=

+

∫

Pole magnetyczne prostoliniowego

przewodu z prądem

I

Pole magnetyczne

przewodników z prądem

Pojedyncza pętla

Spirala

Reguła prawej dłoni

B

B

I

I

Należy uchwycić przewód prawą dłonią w taki sposób,
aby kciuk wskazywał kierunek płynięcia prądu. Wtedy
palce wskazują kierunek linii pola magnetycznego
wytworzonego przez element przewodnika. Zmiana
kierunku płynięcia prądu powoduje zmianę zwrotów
wektorów.

B

B

B

0 a

a

µ I

B =

2πd

Wielkość wektora indukcji pola magnetycznego
wytwarzanego przez przewód

a

w każdym punkcie

prostej, na której leży drugi przewód (przewód

b

):

Dwa równoległe długie przewody z prądem

Reguła prawej dłoni wskazuje na to, że wektor
indukcji magnetycznej w punktach prostej b jest
prostopadły do płaszczyzny

Π

w której leżą przewody

i skierowany za nią. Siła z którą działa przewód

a

na

odcinek L przewodu

b:

ba

b

b

a

= I

×

F

L

B

Π

Siła z którą przewód a działa na przewód b

Siły działające między dwoma odcinkami

o długości L równoległych, długich

przewodów z prądem

Kierunek siły

ba

:

F

ba

b

b

a

= I

×

F

L

B

a

B

b

L

ba

F



b

o

0 a

0

b a

0 b

ba

b

a

a

b

ab

B

µ I

µ LI I

µ I

F = I L

sin90 =

= I L

= I LB

F

2πd

2πd

2πd

=

0 a

a

µ I

B =

2πd

Oddziaływanie przewodników

liniowych z prądem: wnioski

Dwa równoległe przewody, w których płyną prądy
o jednakowym zwrocie przyciągają się.

Obserwacja :

.

ba

ab

F = -F

a

B

b

L

ba

F

a

L

Gdy zwroty prądów są przeciwne

to a zatem tym razem

siła oddziaływania leży w

płaszczyźnie

Π

i jest siłą

odpychania. Przewód b odpycha

przewód a. Podobnie a odpycha b.

a

b

= -

,

L

L

ba

F

André Marie Ampère

ur: 20 stycznia 1775 w Lyonie,

zm. : 10 czerwca 1836 w Marsylii,

André Marie Ampère

Ampère był francuskim fizykiem,
który położył podwaliny pod rozwój
elektrodynamiki. Zajmował się
matematyką – napisał dzieło
poświęcone teorii gier i rachunkowi
wariacyjnemu, równaniami
różniczkowymi i geometrią
analityczną. Zajmował się także
chemią. Wykładał analizę
matematyczną w paryskiej the Ecole
Polytechnique i w prowadził własne
wykłady w słynnym Collège de
France.

Ampère
i Arago
powtarzają
doświadczenie
Ørsteda

Prawo Ampère’a – magnetyczny

odpowiednik prawa Gaussa

(

) ( )

1

3

0

= 4πε

dq

/ r .

−

dE

r

W przypadku elektrostatyki ładunek elementu dq daje
wkład do natężenia pola elektrycznego:

Po wykonaniu na ogół skomplikowanego całkowania
można znaleźć pole elektryczne rozkładu ładunków.
W szczególnych przypadkach jednak można było
zastosować całkowe twierdzenie Gaussa.

(

)(

)

3

0

µ / 4π

I

/r

=

dB

ds × r

Istnieje twierdzenie całkowe, które pozwala znaleźć
wypadkowe pole magnetyczne układu prądów bez
używania wzoru i całkowania.

Prawo Ampère’a

(Jemesa Clerka Maxwella)

Kontur C obejmuje przewody (na sąsiednim
rysunku dwa, nie obejmuje trzeciego).

C

prąd przed płaszczyznę

prąd za
płaszczyz-
nę

Prawo Ampère’a: Całka z wektora indukcji po

konturze zamkniętym obejmującym przewodni-

ki liniowe jest proporcjonalna do całkowitego

natężenia prądu I

P

przepływającego przez

powierzchnię płaszczyzny ograniczonej

konturem:

0 p

µ I .

=

∫

C

Bds



C

prąd przed płaszczyznę

prąd za
płaszczyz-
nę

Ułóż prawą dłoń wzdłuż

konturu, tak aby palce

wskazywały kierunek

obiegu konturu. Jeżeli

prąd płynie w

przewodniku

przecinającym

płaszczyznę konturu i

jest skierowany w

kierunku kciuka –

przypiszemy mu znak

„+”, jeżeli w kierunku

przeciwnym – znak „-”.

Sumę algebraiczną

prądów

przepływających przez

kontur oznaczymy

przez I

P

.

Prąd I

3

nie przecina obszaru

ograniczonego przez kontur

I

P

=I

1

-I

2

.

C

+I

3

Wyznaczenie znaku prądu:

reguła prawej dłoni

Przez długi prostoliniowy
przewód płynie prąd przed
płaszczyznę rysunku.

Wtedy pole magnetyczne ma
symetrię walcową i B ma tę
samą wartość we wszystkich
punktach współśrodkowych
okręgów. Obieg konturu

jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wektory
są w każdym punkcie okręgu styczne do okręgu i równoległe
do siebie, zatem

θ

= 0, cos

θ

= cos0 = 1.

ds , B

Pole magnetyczne na zewnątrz długiego

prostoliniowego przewodnika z prądem

0 p

0 p

B

ds cos0

B

ds

2πrB µ I

µ I / 2πr.

B

⋅

=

=

=

⇒

=

∫

∫

C

C





Uwaga

Zwrot wektora nie jest określony. Gdybyśmy
otrzymali ujemną wartość B, to należałoby zmienić
kierunek obiegu konturu.

B

Pole magnetyczne wewnątrz długiego

prostoliniowego przewodu z prądem

Zastosujemy prawo
Ampère’a do wyznaczenia
pola magnetycznego
wewnątrz prostoliniowego
przewodu o przekroju
kołowym, R jest jego
promieniem. Przez przewód
płynie prąd elektryczny o
natężeniu I i stałej gęstości.
Kontur całkowania w
kształcie okręgu o promieniu
r znajduje się wewnątrz
przewodu (r<R).

Pole magnetyczne wewnątrz długiego

prostoliniowego przewodu z prądem

Ze względu na równomierny rozkład prądu w przewodzie
towarzyszące pole magnetyczne musi mieć symetrię walcową.
Lewa strona wzoru reprezentującego prawo Ampère’a
przyjmuje postać:

B

ds

2πrB.

⋅

=

∫

∫

C

C

B ds =





Należy obliczyć natężenie prądu płynącego przez kontur:
gęstość prądu j = I/(

π

R

2

). Prąd przez kontur I

C

=j

π

r

2

=I (r/R)

2

.

2

0

0

2

2

µ I

r

2πrB = µ I

B =

r .

R

2πR

⇒

Gdy r=R otrzymujemy znany wynik:

0

0

2

µ I

µ I

B =

R =

.

2πR

2πR

Solenoidy

Solenoid, w którym płynie prąd I.
Oś solenoidu leży w płaszczyźnie

Π

.

П

L

2R

Warunek: L>>R

Linie pola magnetycznego w solenoidzie

Przekrój solenoidu i wytworzonego w nim pola
magnetycznego otrzymany przy pomocy
płaszczyzny П przechodzącej przez oś solenoidu.

W punktach
bliskich zwojom
pole magnetycz-
ne jest bliskie
polu przewodów
prostoliniowych.

W tych punktach linie sił pola elektrycznego są
współśrodkowymi okręgami. Wewnątrz solenoidu i na
zewnątrz w punktach odległych od zwojów linie sił
pola magnetycznego są niemal równoległe. Gęste
wewnątrz (duży gradient B) i rozrzedzone na zewnątrz
(mały gradient B).

L

2R

Linia sił pola magnetycznego

wewnątrz rzeczywistego solenoidu

Silnie zmienne
pole magnetyczne

Słabo zmienne
pole magnetyczne

Idealny solenoid

W przypadku idealnego, długiego solenoidu całe
pole magnetyczne skoncentrowane jest wewnątrz
niego. Na zewnątrz solenoidu pole znika.

Zastosujemy twierdzenie Ampère’a. Wybierzemy
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek
zegara. Długość boku prostokąta || do granicy
solenoidu wynosi h. Kontur obejmuje obszar na
zewnątrz solenoidu – bez pola i obszar w jego
wnętrzu, gdzie B≠0.

Kontur całkowania

Pole magnetyczne wewnątrz

idealnego, długiego solenoidu

b

c

d

a

a

b

c

d

.

+

∫

∫

∫

∫

∫

Bds =

Bds

Bds +

Bds +

Bds



Na odcinku ab:

Bds.

⇒

B || ds

Bds =

Na odcinku bc:

0.

⊥

⇒

⋅

B

ds

B ds =

Na odcinku cd:

0.

⇒

⋅

B = 0

0 ds =

Na odcinku da:

w solenoidzie :

, po za solenoidem

0.

⊥

⇒

⋅

B

ds

B = 0

B ds =

Ostatecznie:

b

a

Bh

=

∫

∫

Bds =

Bds



Przyjmijmy, że gęstość zwojów wynosi n m

-1

.

Wybrany kontur obejmuje nh zwojów. Natężenie
prądów I

P

przechodzących przezeń równe jest Inh.

Z twierdzenia Ampère’a otrzymujemy

0 0

0

0

Bh = µ I = µ nhI

B = µ nI (idealny solenoid).

⇒

Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole
magnetyczne jest jednorodne i nie zależy od jego
średnicy ani od długości.

b

a

Bh

=

∫

∫

Bds =

Bds



Solenoid nawinięty na okrąg nazywa się toroidem.

Toroid - wybór konturu Ampèra

B ds

B(2πr).

=

∫

∫

Bds =





W każdym punkcie konturu:

|| d .

B

s

W twierdzeniu Ampère’a należy uwzględnić
wszystkie zwoje. Niech N będzie ich liczbą

0

0 P

0

µ N I

2πrB = µ I = µ N I

B =

(idealny toroid) .

2πr

⋅

⋅

⇒

Przekrój idealnego toroidu. Linie sił pola B tworzą
współśrodkowe okręgi. Wybierzemy kierunek
przepływu prądu tak, aby linie sił pola skierowane
były przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Niech konturem całkowania będzie okrąg o
promieniu r, współśrodkowy z liniami sił pola.