1 |

S t r o n a

Fizyka - opracowanie na egzamin 30.06.2015

1. Termodynamika

a. Równanie stanu gazu doskonałego i rzeczywistego (równanie Van der Waalsa)

Stan danej masy gazu jest określony przez wartości trzech parametrów: ciśnienia p,
objętości V i temperatury T. Związek między tymi parametrami może być dany w
postaci równania 𝐹(𝑝, 𝑉, 𝑇) = 0, które nazywamy równaniem stanu. Dla gazu
doskonałego równanie stanu (równanie Clapeyrona) ma postać 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, gdzie 𝑛
jest liczbą moli gazu, a 𝑅 stałą gazową. Dla stałej masy gazu równanie to możemy

zapisać w postaci

𝑝𝑉

𝑇

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Wprowadzając wielkość 𝑘 =

𝑅

𝑁

𝐴

, która jest nazywana

stałą Boltzmanna, a 𝑁

𝐴

= 6,023 ∗ 10

23

mol

−1

jest liczbą cząsteczek w jednym molu

gazu (liczba Avogadro), możemy przekształcić równanie Clapeyrona do postaci:

𝑝𝑉 =

𝑚
𝑀

𝑅𝑇 = 𝑛𝑁

𝐴

𝑅

𝑁

𝐴

𝑇 = 𝑛𝑁

𝐴

𝑘𝑇 = 𝑁𝑘𝑇,

gdzie N jest całkowitą liczbą cząsteczek gazu.
W warunkach normalnych (𝑇

0

= 273𝐾 = 0℃, 𝑝

0

= 1,1 ∗ 10

5

𝑃𝑎) objętość 1 mola

każdego gazu jest stała i wynosi

𝑉

0

= 𝑛

𝑅𝑇

0

𝑝

0

= 1 𝑚𝑜𝑙

8,31

𝐽

𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾

273𝐾

1,1 ∗ 10

5

𝑃𝑎

= 22,4 ∗ 10

−3

𝑚

3

= 22,4 l.

Równanie stanu dla gazów rzeczywistych – równanie Van der Waalsa. Wraz ze
wzrostem ciśnienia i ze spadkiem temperatury obserwuje się dla gazu rzeczywistego
odstępstwa równania stanu gazu doskonałego. Wzrost gęstości gazu powoduje, że
dużą

rolę

zaczyna

odgrywać

objętość

cząsteczek

oraz

oddziaływania

międzycząsteczkowe. Zachowanie się gazów rzeczywistych w szerokim zakresie
gęstości opisujące równanie Van der Waalsa. Otrzymuje się je przez wprowadzenie
dwóch poprawek do równania stanu gazu doskonałego. Poprawka 𝑛

2

𝑎 𝑉

2

⁄

charakteryzuje dodatek do ciśnienia zewnętrznego, który wynika ze wzajemnego
przyciągania się cząsteczek gazu. Gaz wywiera na ścianki naczynia ciśnienie 𝑝, które
jest równe ciśnieniu wywieranemu na gaz z zewnątrz. Z powodu przyciągania się
cząsteczek gaz jest jakby ściskany ciśnieniem większym o 𝑝. Ponieważ cząsteczki mają
skończoną objętość, więc przestrzeń dostępna dla ruchu cząsteczek jest w
rzeczywistości mniejsza od objętości naczynia 𝑉. Poprawa 𝑛𝑏 charakteryzuje tę część
objętości, która nie jest dostępna dla ruchu cząsteczek.

(𝑝 +

𝑛

2

𝑎

𝑉

2

) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇

b. Różnice między gazem doskonałym a rzeczywistym

Gaz doskonały definiuje się następująco

 cząsteczki gazu poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach, z których

żaden nie jest uprzywilejowany,

 cząsteczki zderzają się sprężyście ze sobą wzajemnie i ze ściankami naczynia, w

którym znajduje się gaz,

 między cząsteczkami nie działają żadne siły, poza krótką chwilą, w której

następuje zderzenie,

 cząsteczki poruszają się od zderzenia do zderzenia ruchem jednostajnym

prostoliniowym,

2 |

S t r o n a

 suma objętości wszystkich cząsteczek gazu jest dużo mniejsza od objętości

naczynia, w którym znajduje się gaz.

Każdy gaz rzeczywisty pod odpowiednio małym ciśnieniem (dostatecznie
rozrzedzony) ma własności zbliżony do gazu doskonałego.

c. Przemiany termodynamiczne gazów

 W trakcie przemiany izobarycznej spełniony jest warunek 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, a więc z

równania stanu gazu doskonałego wynika zależność 𝑉 𝑇

⁄ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 lub

𝑉

1

𝑇

1

⁄

= 𝑉

2

𝑇

2

⁄ (prawo Gay-Lussaca). W czasie przemiany izobarycznej gaz

pobiera ciepło i wykonuje pracę. Ilość ciepła potrzeba do ogrzania n moli gazu
od temperatury T do temperatury 𝑇 + ∆𝑇 w przemianie izobarycznej wyraża
się wzorem

𝑄 = 𝑛𝐶

𝑝

∆𝑇,

gdzie zakładamy, że 𝐶

𝑝

− ciepło molowe pod stałym ciśnieniem jest stałe.

Praca W wykonana przez gaz w przemianie izobarycznej wyraża się wzorem

𝑊 = 𝑝∆𝑉.

Pierwsza zasada termodynamiki dla tej przemiany ma więc postać

𝑛𝐶

𝑝

∆𝑇 = ∆𝑈 + 𝑝∆𝑉

 Przemiana izochoryczna gazu doskonałego zachodzi przy warunku 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

który jest równoważny warunkowi 𝑝 𝑇

⁄ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 lub 𝑝

1

𝑇

1

⁄

= 𝑝

2

𝑇

2

⁄ (prawo

Charlesa). W czasie przemiany izochorycznej gaz nie wykonuje pracy
𝑊 = 𝑝∆𝑉 = 0, gdyż ∆𝑉 = 0. Ilość ciepła potrzebna do ogrzania 𝑛 moli gazu od
temperatury 𝑇 do temperatury 𝑇 + ∆𝑇 wynosi 𝑄 = 𝑛𝐶

𝑉

∆𝑇, gdzie 𝐶

𝑉

jest

ciepłem molowym przy stałej objętości. Pierwsza zasada termodynamiki dla tej
przemiany ma postać

𝑛𝐶

𝑉

∆𝑇 = ∆𝑈.

Powyższy wzór w postaci różniczkowej 𝑑𝑈 = 𝑛𝐶

𝑉

𝑑𝑇 wyraża zmianę energii

wewnętrznej 𝑛 moli gazu przy zmianie temperatury o 𝑑𝑇 w dowolnym
procesie termodynamicznym.

 W przemianie izotermicznej gazu doskonałego warunek 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 jest

równoważny

warunkowi

𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

lub

𝑝

1

𝑉

1

= 𝑝

2

𝑉

2

(prawo

Boyle’a−Mariotte’a). W przemianie izotermicznej zmiana energii wewnętrznej
jest równa zeru, gdyż temperatura gazu nie zmienia się 𝑑𝑈 = 𝑛𝐶

𝑉

𝑑𝑇 = 0. Gdy

gaz pobiera ciepło, to jest ono całe zużyte na wykonanie przez gaz pracy
𝑄 = 𝑊. Pracę wykonaną przez gaz w przemianie izotermicznej obliczamy ze
wzoru

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 ln

𝑉

2

𝑉

1

.

 Przemiana adiabatyczna jest to proces, podczas którego nie zachodzi wymiana

ciepła z otoczeniem. Można to uzyskać poprzez oddzielenie układu od
otoczenia dobrymi izolatorami cieplnymi lub jeżeli proces przeprowadzimy
dostatecznie szybko. Z pierwszej zasady termodynamiki 𝑑𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝑑𝑊
wynika, że ponieważ 𝑑𝑄 = 0, to 𝑑𝑈 + 𝑑𝑊 = 0. Czyli w przemianie
adiabatycznej praca wykonana przez układ równa jest ubytkowi energii
wewnętrznej układu, a więc 𝑑𝑊 = −𝑑𝑈. Przyrost energii wewnętrznej układu
powoduje wzrost jego temperatury. Ten wzrost temperatury powoduje
dodatkowy wzrost ciśnienia gazu. A więc podczas adiabatycznego sprężania
(rozprężania) gazu.

𝑝𝑉

𝛾

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

3 |

S t r o n a

 Przemianę politropową nazywamy przemianę, podczas której ciepło molowe 𝐶

(ciepło właściwe 𝑐) jest stałe. Równanie politropy gazu doskonałego ma postać

𝑝𝑉

𝑛

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, gdzie 𝑛 =

𝐶−𝐶

𝑝

𝐶−𝐶

𝑉

nazywamy wykładnikiem politropy.

Wszystkie dotychczas omówione przemiany są szczególnymi przypadkami
przemiany politropowej. W przemianie izobarycznej 𝐶 = 𝐶

𝑝

a więc 𝑛 = 0,

izochorycznej 𝐶 = 𝐶

𝑉

czyli 𝑛 = ∞ , izotermicznej 𝑛 = 1. Przemiana

adiabatyczna również jest przemianą politropową 𝑛 = 𝛾.

d. Cykle termodynamiczne gazów na przykładzie cyklu Carnota

Procesem kołowym albo cyklem nazywamy taki proces, w wyniku którego układ
termodynamiczny powraca do stanu wyjściowego. Procesy kołowe na wykresach w
układach współrzędnych 𝑝, 𝑉 przedstawia się w postaci krzywych zamkniętych.
Procesy kołowe są podstawą działania wszystkich maszyn cieplnych (silników
spalinowych, maszyn parowych, maszyn chłodniczych itp.)
Przykładem procesu kołowego jest cykl Carnota. Składa się on z dwóch izoterm i dwóch
adiabat. Wyznaczamy pracę 𝑊 jaką wykona 𝑛 moli gazu doskonałego w jednym cyklu.
W przemianie izotermicznej 1 − 2 energia wewnętrzna gazu doskonałego jest stałą.
Dlatego ciepło 𝑄

1

pobrane przez 𝑛 moli gazu jest równe pracy 𝑊

12

, wykonanej przez gaz

przy przechodzenia ze stanu 1 do stanu 2. Praca ta wynosi 𝑄

1

= 𝑊

12

= 𝑛𝑅𝑇

1

ln(𝑉

2

𝑉

1

⁄ ).

Ciepło oddane do chłodnicy jest równe pracy 𝑊

34

, potrzebnej do sprężania gazu ze

stanu 3 do stanu 4. Ponieważ ciepło 𝑄

2

dostarczone do układu podczas kontaktu z

chłodnicą jest ujemne, dlatego wygodniej jest mówić o cieple oddanym do chłodnicy
|𝑄

2

|. Praca ta jest równa 𝑊

34

= |𝑄

2

| = 𝑛𝑅𝑇

2

ln(𝑉

3

𝑉

4

⁄ ). Stany 1 i 4 leża na wspólnej

adiabacie. Również stany 2 i 3 leżą na wspólnej adiabacie. Dlatego na podstawie
równania Poissona dla zmiennych 𝑇 i 𝑉 możemy napisać 𝑇

1

𝑉

1

𝛾−1

= 𝑇

2

𝑉

4

𝛾−1

oraz

𝑇

1

𝑉

2

𝛾−1

= 𝑇

2

𝑉

3

𝛾−1

. Dzieląc stronami oba ostatnie równania otrzymujemy 𝑉

2

𝑉

1

⁄

=

𝑉

3

𝑉

4

⁄ . Zatem praca wykonana przez gaz w czasie jednego cyklu Carnota jest równa

𝑊 = 𝑄

1

− |𝑄

2

| = 𝑊

12

− 𝑊

34

= 𝑛𝑅𝑇

1

ln(𝑉

2

𝑉

1

⁄ ) − 𝑛𝑅𝑇

2

ln(𝑉

3

𝑉

4

⁄ )

= 𝑛𝑅(𝑇

1

− 𝑇

2

) ln(𝑉

2

𝑉

1

⁄ )

4 |

S t r o n a

2. Pole elektrostatyczne

a. Ładunki elektryczne, zasada zachowania ładunku

Ładunek elektryczny jest nieodłączną właściwością cząstek elementarnych, z których
składają się wszystkie ciała. Jeżeli ciało zawiera równą ilość ładunków dodatnich i
ujemnych mówimy o ciele elektrycznie obojętnym (ładunek wypadkowy jest równy
zeru). W przypadku gdy ładunki nie są zrównoważone (ładunek wypadkowy jest
różny od zera) mamy do czynienia z ciałem naładowanym.
W układzie odosobnionym, który nie wymienia ładunków elektrycznych z
otoczeniem, suma algebraiczna tych ładunków nie ulega zmianie.

b. Prawo Coulomba

Dwa ładunki punktowe Q i q znajdujące się w odległości r od siebie, gdy mają znaki
przeciwne przyciągają się do siebie (iloczyn Qq jest ujemny) natomiast, gdy są tego
samego znaku odpychają się (iloczyn Qq jest dodatni) siłą równą co do wartości

𝐹 = 𝑘

|𝑄𝑞|

𝑟

2

i skierowaną wzdłuż prostej łączącej punkty, w których znajdują się dane ładunki.
Wartość współczynnika proporcjonalności k dla ładunków w ośrodku o względnej

przenikalności elektrycznej 𝜀 wynosi: 𝑘 =

1

4𝜋𝜀𝜀

0

. Stała 𝜀

0

= 8,8542 ∗ 10

−12

𝐶

2

𝑁𝑚

2

⁄

jest nazywana przenikalnością elektryczną próżni. Najczęściej opisuje się zachowanie

ładunków elektrycznych w próżni. Wtenczas stała 𝜀 = 1 i współczynnik 𝑘 =

1

4𝜋𝜀

.

c. Natężenie pola elektrostatycznego

Wektor natężenia pola elektrycznego jest to stosunek siły 𝐹⃗ działającej na ładunek
próbny 𝑞

0

umieszczony w polu do wartości tego ładunku:

𝐸⃗⃗ =

𝐹⃗

𝑞

0

=

1

4𝜋𝜀

0

𝜀

𝑟

|𝑞|

𝑟

2

.

Ładunek próbny stanowi ciało, które zostało wcześniej naelektryzowane dodatnim
ładunkiem 𝑞

0

i mające znikomo małe rozmiary. Siła kulombowska zależy tak od

źródła pola elektrycznego jak i od ładunku wprowadzonego do tego pola. Natomiast
natężenie pola jest wektorem opisującym już tylko samo pole elektryczne,
niezależnie od ładunków wprowadzanych do tego pola

d. Prawo Gaussa, zastosowania, przykłady

Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą
jest równy całkowitemu ładunkowi elektrycznemu znajdującemu się wewnątrz tej
powierzchni podzielone przez 𝜀

0

.

∮ 𝐸⃗⃗

𝑆

𝑑𝑆⃗ =

1

𝜀

0

𝑄

Nieskończenie długi jednorodnie naładowany pręt

𝜀

0

∮ 𝐸⃗⃗𝑑𝑆⃗ = 𝑞 => 𝜀

0

|𝐸⃗⃗| ∮ 𝑑𝑆⃗ = 𝑞

𝜀

0

|𝐸⃗⃗|2𝜋ℎ = 𝜆ℎ => |𝐸⃗⃗| =

𝜆

2𝜋𝜀

0

𝑦

𝜆 [

𝐶

𝑚

]

e. Potencjał elektrostatyczny

Energia potencjalna ładunku zależy i od wartości ładunku wprowadzonego do pola i
od samego pola elektrostatycznego w zadanym punkcie. Definiując potencjał pola
elektrostatycznego w następujący sposób:

5 |

S t r o n a

𝜑(𝑟) =

𝐸

𝑝

𝑞

=

1

4𝜋𝜀

0

𝑄

𝑟

,

gdzie 𝑞

0

− wartość ładunku próbnego, tworzymy wielkość skalarną zależną tylko od

samego pola.

f. Dipol elektryczny – właściwości, zachowanie w jednorodnym polu elektrycznym

 Dipol elektryczny to układ dwóch różnoimiennych ładunków o tej samej wartości

𝑄

+

= −𝑄

−

= 𝑄 znajdujących się w pewnej odległości 𝑙 od siebie. Pole dipola to

pole elektrostatyczne tego układu ładunków, które w praktyce wyznaczamy dla
odległości dużo większych od odległości pomiędzy ładunkami. Dipol jest

scharakteryzowany wielkością wektorową zwaną momentem dipolowym 𝑝⃗ = 𝑄𝑙⃗.

 Dipol składa się z dwóch ładunków 𝑞

+

= −𝑞

−

= 𝑞, a więc siła wypadkowa

działająca na dipol w jednorodnym polu elektrostatycznym wyniesie zero.
Natomiast różny od zera może być moment pary sił działających na dipol, którego
wartość zależy od ustawienia dipola względem linii pola:

𝑀 = 𝐹𝑙 sin 𝛽 ,

gdzie 𝐹 = 𝑞𝐸 jest wartością siły działającej na każdy z ładunków dipola, 𝑙 jest
długością dipola a kąt 𝛽 jest kątem pomiędzy dipolem a liniami pola. Wiedząc, że
wartość momentu dipolowego wynosi𝑝 = 𝑞𝑙 otrzymujemy zależność:

𝑀 = 𝑞𝐸𝑙 sin 𝛽 = 𝑝𝐸 sin 𝛽 = |𝑝⃗ × 𝐸⃗⃗|.

Tak więc, jeśli dipol będzie posiadać swobodę ruchu, to po wprowadzeniu pola
elektrostatycznego zacznie się tak obracać, aby ułożyć się równolegle do linii pola,
w którym to położeniu moment pary sił działających na dipol wyniesie zero.

g. Kondensatory, pojemność, łączenie, rola dielektryków

Dwa izolowane przewodniki całkowicie odizolowane od otoczenia o równych, lecz
różnoimiennych ładunkach służy do magazynowania energii w postaci energii
potencjalnej pola elektrycznego.
Zastosowania:
- magazynowanie ładunki (energii)
- powszechny element układów elektronicznych
- wytwarzanie pól elektrycznych o żądanej konfiguracji
Ładunek zgromadzony na każdej z okładek kondensatora płaskiego jest iloczynem
powierzchni okładki S i gęstości powierzchniowej ładunku 𝜎, czyli 𝑄 = 𝜎𝑆. Z kolei dla
pola elektrycznego o natężeniu E wewnątrz kondensatora zachodzi związek
𝑈 = 𝜑

1

− 𝜑

2

= 𝐸𝑑 oraz, jak dla dwóch płaszczyzn w próżni 𝐸 = 𝜎 𝜀

0

⁄ . Włożenie

dielektryka o stałej dielektrycznej 𝜀 między okładki sprawi, że natężenie pola
wewnątrz kondensatora wyniesie 𝐸 = 𝜎 𝜀𝜀

0

⁄

. Otrzymamy więc następujący wzór na

pojemność kondensatora płaskiego:

𝐶 =

𝑄

𝜑

1

− 𝜑

2

=

𝑄
𝑈

=

𝜎𝑆

𝐸𝑑

= 𝜀𝜀

0

𝑆

𝑑

Włożenie dielektryka między okładki kondensatora spowoduje wzrost jego
pojemności.
Wyznaczanie pojemności całkowitej kondensatorów połączonych szeregowo:

1

𝐶

= ∑

1

𝐶

𝑖

𝑛

𝑖=1

Wyznaczanie pojemności całkowitej kondensatorów połączonych równolegle:

𝐶 = ∑ 𝐶

𝑖

𝑛

𝑖=1

6 |

S t r o n a

3. Obwody elektryczne

a. Natężenie prądu elektrycznego, wektor gęstości prądu

 W celu scharakteryzowania prądu elektrycznego wprowadzono pojęcie

natężenia prądu. Jest to wielkość skalarna równa ilości ładunku
przepływającej przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu. W
związku z tym, że nośniki prądu mogą być ładunkami dodatnimi i ujemnymi,
to wzór na natężenie prądu można przestawić następująco:

𝐼 =

𝑑𝑄

𝑑𝑡

=

𝑑𝑄

+

𝑑𝑡

+

𝑑𝑄

−

𝑑𝑡

,

gdzie 𝑑𝑄

+

to ładunek dodatni, 𝑑𝑄

−

ładunek ujemny jaki przepływa w czasie

𝑑𝑡. Jeżeli zarówno natężenie prądu jak i jego kierunek nie ulegają zmianie w
czasie, to prąd taki nazywamy prądem stałym. Natężenie prądu stałego
wynosi 𝐼 = 𝑄 𝑡

⁄ , gdzie 𝑄 oznacza ładunek przepływający przez przekrój

poprzeczny przewodnika w ciągu czasu 𝑡. Jednostką natężenia prądu
elektrycznego jest amper (𝐴).

 Pojęcie gęstości prądu wprowadza się w celu scharakteryzowania prądu

elektrycznego w różnych punktach przekroju przewodnika. Natężenie prądu
jest wielkością skalarną. Jest to wielkość dobrze opisująca prądu stałe i
zmienne w obwodach elektrycznych. Jednakże wielkość ta nie jest
wystarczająca do opisu bardziej złożonych przypadków występowania
prądów. Prądy mogą powstawać w ośrodku przewodzącym niekoniecznie
tworzącym obwód elektryczny (np. prądy wirowe). Dlatego wprowadzono w
fizyce do opisu przepływu prądów elektrycznych wielkość zwaną gęstością
prądu, a wartość jest równa stosunkowi natężenia prądu d𝐼 przepływającego
przez nieskończenie małą powierzchnię prostopadłą do kierunku przepływu
prądu - d𝑆

⊥

, czyli

|𝑗⃗| =

d𝐼

d𝑆

⊥

.

b. Prawo Ohma

Jeżeli między końcami przewodnika wytworzymy różnicę potencjałów, co potocznie
określamy jako przyłożenie napięcia, to natężenie prądu płynącego przez przewodnik
jest wprost proporcjonalne do wielkości tego napięcia.

𝐼 =

𝑈
𝑅

c. Rezystancja

Wielkość 𝑅 nazywamy oporem lub opornością (rezystancją) przewodnika. Jednostką
oporu jest om [Ω]. 1 om jest równy oporowi takiego przewodnika, w którym pod
napięciem 1 V płynie prąd o natężeniu 1 A.
Oporność właściwa. Opór R przewodnika zależy od jego kształtu i rozmiarów. Zależy
również, poprzez oporność właściwą 𝜌, od rodzaju materiału, z którego jest wykonany
przewodnik. Jeśli przewodnik ma długość l i pole przekroju S, to jego opór R wynosi

𝑅 = 𝜌

𝑙

𝑆

.

d. Źródła siły elektromotorycznej

Źródło SEM wykonuje pracę nad ładunkami, aby utrzymać różnicę potencjałów
między biegunami źródła. Jeśli 𝑑𝑊 jest pracą, wykonaną przez źródło przy
przesuwaniu dodatniego ładunku 𝑑𝑞 od ujemnego do dodatniego bieguna, to SEM
źródła (praca na jednostkę ładunku) wynosi:

7 |

S t r o n a

𝜀 =

𝑑𝑊

𝑑𝑞

(definicja SEM).

Jednostką SEM w układzie SI, podobnie jak różnicy potencjałów, jest wolt (V).
Doskonałym źródłem SEM jest źródło nie mające oporu wewnętrznego. Różnica
potencjałów między biegunami takiego źródła jest równa SEM. Rzeczywiste źródło
SEM ma opór wewnętrzny. Różnica potencjałów między jego biegunami jest równa
SEM tylko wtedy, gdy przez źródło nie płynie żaden prąd.

e. Prawa Kirchhoffa

 Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy węzłów obwodu elektrycznego. Wyraża

fakt niegromadzenia się ładunku elektrycznego w węźle, gdyż mówi, że suma
natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów
wypływających z węzła. Zauważmy, że w postaci różniczkowej pierwsze
prawo Kirchhoffa jest szczególnym przypadkiem równania ciągłości prądu

𝑑𝑖𝑣 𝑗⃗ = −

𝜕𝜌

𝜕𝑡

dla d𝑞 d𝑡

⁄

= 0.

∑ 𝐼

𝑘

𝑚

1

𝑘=1

= ∑ 𝐼

𝑖

𝑚

2

𝑖=1

 Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy obwodów zamkniętych (oczek sieci). Mówi,

że w dowolnym obwodzie zamkniętym suma spadków napięć równa się
sumie algebraicznej działających w nim sił elektromotorycznych. W celu
zapisania równania dla obwodu należy:

o

przyjąć umownie kierunek obiegu obwodu, wybór tego kierunku jest

całkowicie dowolny,

o

wszystkie prądu o natężeniu 𝐼

𝑘

, których kierunek jest zgodny z

kierunkiem obiegu obwodu przyjmujemy jako dodatnie,

o

siły elektromotoryczne 𝜀

𝑘

źródeł prądu, włączonych w różne odcinki

obwodu, uważamy za dodatnie wówczas, gdy wytwarzany przez nie
prąd ma kierunek zgodny z przyjętym kierunkiem obiegu obwodu.

∑ 𝑈

𝑘

𝑚

1

𝑘=1

= ∑ 𝜀

𝑖

𝑚

2

𝑖=1

f. Pomiary elektryczne – amperomierz , woltomierz

 Amperomierz – przyrząd pomiarowy służący do pomiaru natężenia prądu

elektrycznego. Jest włączany szeregowo do obwodu elektrycznego. Idealny
amperomierz posiada nieskończenie małą rezystancję wewnętrzną (Ω, 𝑚Ω).

 Woltomierz – przyrząd pomiarowy za pomocą którego mierzy się napięcie

elektryczne. Jest włączany równolegle do obwodu elektrycznego. Idealny
woltomierz posiada nieskończenie dużą rezystancję wewnętrzną (𝑀Ω, 𝐺Ω).

g. Opis i opory w prądach zmiennych

 Impedancja

𝑍

2

= 𝑅

2

+ 𝑋

2

gdzie: Z – impedancja (zawada), R – opór czynny, X – opór bierny.

 Opory bierne

𝑋 = 𝑋

𝐿

+ 𝑋

𝐶

= 𝜔𝐿 −

1

𝜔𝐶

gdzie: 𝑋

𝐿

− opór bierny indukcyjny, 𝑋

𝐶

− opór bierny pojemnościowy.

4. Pole magnetyczne

a. Pole magnetyczne

8 |

S t r o n a

Badając poruszające się ładunki elektryczne stwierdzono, że obok siły kulombowskiej
pojawia się jeszcze inna siła oddziaływania. Siła ta jest tą samą siłą, jaką wcześniej
wykryto w magnesach trwałych badając wytworzone przez nie pole magnetyczne.
Tak więc pole magnetyczne jest wytwarzane zarówno przez ciała namagnesowane
jak i przez ruchome ładunki oraz prądy będące strumieniem poruszających się
ładunków. Pole magnetyczne, w odróżnieniu od pola elektrycznego nie działa na
ładunek znajdujący się w spoczynku. Siła pojawia się wtedy, gdy ładunek porusza się.

b. Siła Lorentza i siłą elektrodynamiczna

Siła Lorentza – siła działająca na cząstki naładowane poruszające się w polu
magnetycznym. Siła ta zmienia kierunek ruchu cząstki naładowanej, a wartość
prędkości pozostaje stała.
Wartość i kierunek siły Lorentza. Wartość bezwzględna siły Lorentza, zwanej czasami
siłą magnetyczną jest równa

𝐹

𝐿

= 𝑞𝑣𝐵 sin 𝛼

gdzie 𝛼 jest kątem zawartym między wektorami 𝑣⃗ i 𝐵

⃗⃗.

Zatem na ładunek poruszający się wzdłuż linii pola magnetycznego, a więc zgodnie z
kierunkiem wektora 𝐵

⃗⃗, siła Lorentza nie działa (𝛼 = 0, to sin 𝛼 = 0, więc 𝐹 = 0). Siła

Lorentza jest skierowana zawsze prostopadle do płaszczyzny, w której leżą wektory
𝑣⃗ i 𝐵

⃗⃗. Jeżeli ładunek 𝑞 jest dodatni, to kierunek siły pokrywa się z kierunkiem wektora

𝑣⃗ × 𝐵

⃗⃗. W przypadku ładunku ujemnego wektory 𝐹⃗ i 𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗ mają zwroty przeciwne.

𝐹⃗

𝐿

= 𝑞(𝑣⃗ × 𝐵

⃗⃗)

Siła elektrodynamiczna – pole magnetyczne wywiera działanie na ładunki w ruchu
pole powinno oddziaływać na przewodnik z prądem.

𝐹⃗

𝐸

= 𝐼(𝑙⃗ × 𝐵

⃗⃗)

c. Ładunek w polu magnetycznym

Na cząstkę o ładunku q i prędkości 𝑣⃗ działa w polu magnetycznym o indukcji 𝐵

⃗⃗ siła

Lorentza 𝐹⃗ = 𝑞 𝑣⃗ × 𝐵

⃗⃗. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła ta nadaje cząstce o

masie m przyspieszenie 𝑎⃗ = 𝐹⃗ 𝑚

⁄ . Równanie ruchu dla cząstki w polu magnetycznym

ma więc postać

𝑚

𝑑

2

𝑟⃗

𝑑𝑡

2

= 𝑞 (

𝑑𝑟⃗

𝑑𝑡

× 𝐵

⃗⃗)

d. Indukcja magnetyczna

Pole magnetyczne ma charakter wektorowy i jest charakteryzowane wielkością
wektorową 𝐵

⃗⃗ nazwaną indukcją magnetyczną. Wektor indukcji magnetycznej jest

styczny do linii pola magnetycznego. Jego wartość jest proporcjonalna do gęstości
linii pola magnetycznego. Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T). Logiczniej
byłoby przez analogię do pola elektrycznego, nazwać 𝐵

⃗⃗ natężeniem pola

magnetycznego. Jednak zgodnie z tradycją historyczną podstawową wielkość
charakteryzującą pole magnetyczne nazywa się indukcją magnetyczną. Nazwę
natężenie pola magnetycznego przypisuje się wielkość 𝐻

⃗⃗⃗ analogicznej do wielkości 𝐷

⃗⃗⃗

charakteryzującej pole elektryczne.

e. Pole magnetyczne wokół przewodników z prądem
f. Siła elektromotoryczna indukcji jest to siła elektromotoryczna powstająca w

obwodzie w wyniku indukcji elektromagnetycznej, wyraża ją „Prawo indukcji
Faradaya”.

g. Prawo indukcji Faradaya mówi, że zmiana strumienia magnetycznego przenikającego

przez powierzchnię ograniczoną pewnym zwojem (obwodem) powoduje powstanie

9 |

S t r o n a

w tym obwodzie siły elektromotorycznej 𝜀

𝑖

zwanej siłą elektromotoryczną (SEM)

indukcji, której wartość jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego. Jeśli
obwód jest zamknięty, to skutkiem istnienia SEM będzie przepływ w obwodzie prądu
elektrycznego o natężeniu 𝐼 = 𝜀

𝑖

𝑅

⁄ , gdzie R jest oporem obwodu

𝜀

𝑖

= −

𝑑𝜙

𝐵

𝑑𝑡

= −

𝑑𝐵

⃗⃗ ∗ 𝑆⃗

𝑑𝑡

Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest weber, przy czym 1𝑊𝑏 = 1 𝑇 ∗ 𝑚

2

.

5. Równania Maxwella, fale elektromagnetyczne

a. Równania Maxwella – jest to układ czterech równań opisujących ogół zjawisk

elektromagnetycznych

 I równanie Maxwella – prawo Faradaya dla indukcji elektromagnetycznej

mówi, że zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które
może wywoływać prąd elektryczny. Z I równania Maxwella wynika też, że gdy
brak pola magnetycznego, bądź też pole magnetyczne jest stałe, to istniejące
pole elektryczne jest bezwirowe. Takie pole to pole elektrostatyczne
wywoływane przez stacjonarne ładunki elektryczne.

∮ 𝐸⃗⃗𝑑𝑙⃗

𝛤

= −

𝑑𝜙

𝐵

𝑑𝑡

 II równanie Maxwella – uogólnione prawo Ampere’a mówi, że prąd

elektryczny lub zmienne pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne.

∮ 𝐵

⃗⃗𝑑𝑙⃗

𝛤

= 𝜇𝜇

0

𝐼 + 𝜀𝜀

0

𝜇𝜇

0

𝑑𝜙

𝐸

𝑑𝑡

 III równanie Maxwella – prawo Gaussa dla pole elektrycznego mówi, że

źródłami pola elektrycznego są ładunki. Jeżeli brak jest ładunków
elektrycznych to linie pola elektrycznego są liniami zamkniętymi.

∮ 𝐸⃗⃗𝑑𝑆⃗

𝑆

=

1

𝜀𝜀

0

∫ 𝜌𝑑𝑉

𝑉

 IV równanie Maxwella – prawo Gaussa dla pola magnetycznego mówi, że nie

istnieją w przyrodzie ładunki magnetyczne. Linie indukcji pola magnetycznego
są liniami zamkniętymi.

∮ 𝐵

⃗⃗𝑑𝑆⃗

𝑆

= 0

b. Wnioski wynikające z równań Maxwella

 Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
 Przepływający prąd oraz zmienny strumień elektryczny wytwarzają pole magnetyczne.
 Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
 Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

c. Definicja i podział fal elektromagnetycznych
d. Właściwości fal elektromagnetycznych

 Załamanie fali
 Interferencja
 Dyfrakcja
 Polaryzacja
 Fale koherentne i niekoherentne

6. Optyka geometryczna

a. Prawo odbicia i załamania

10 |

S t r o n a

 Prawo odbicia światła. Promień odbity leży w jednej płaszczyźnie z

promieniem padającym i normalną wystawioną w punkcie padania oraz kąt
padania równy jest kątowi odbicia.

 Prawo załamania światła. Promień załamany leży w jednej płaszczyźnie z

promieniem padającym i normalną wystawioną w punkcie padania oraz
stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest wielkością stałą
równą współczynnikowi załamania.

sin 𝛼
sin 𝛽

= 𝑛

12

b. Soczewki

Transparentne były geometryczne, które skupiają bądź rozpraszają promieniowanie na
zasadzie załamania światła.
Soczewki skupiające: wiązka równoległa zostaje skupiona w jednym punkcie zwanym
ogniskiem. Każda soczewka ma dwa ogniska 𝐹

1

i 𝐹

2

położone w równoległych

odległościach po obu stronach soczewki.
Równanie soczewkowe

𝑍 =

1
𝑓

= (

𝑛

2

𝑛

1

− 1) (

1

𝑟

1

+

1

𝑟

2

)

gdzie: Z – zdolność skupiająca, 𝑛

1

− współczynnik załamania ośrodka, 𝑛

2

−

współczynnik materiału soczewki, R – promienie krzywizn soczewki (wypukła (+),
wklęsła (-))

c. Zwierciadła

1
𝑝

+

1
𝑜

=

1
𝑓

=

2
𝑟

Zwierciadłem nazywamy bardzo gładką, wypolerowaną powierzchnię, która odbija
padające na nią promienie świelne w sposób uporządkowany, to jest tak, że każdy
premień po odbiciu biegnie w ściśle określonym kierunku. Odbicie takie nazywamy
regularnym .

 Zwierciadło, którego powierzchnia odbijająca jest płaszczyzną,

nazywamy płaskim

 Zwierciadła, których powierzchnia odbijająca stanowi część

powierzchni kuli, nazywamy kulistymi.

d. Proste urządzenia optyczne
e. Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga, świadczące o interferencji światła, stało się bezpośrednim
dowodem falowej natury światła. W doświadczeniu tym szczeliny 1 i 2 stanowią spójne
źródło światła, emitujące fale o jednakowej długości i stałej różnicy faz, która jest
wynikiem różnicy dróg przebywanych przez odpowiadające im promienie.

f. Siatka dyfrakcyjna

Jest to zbiór równoległych szczelin przepuszczających światło rozmieszczonych w
jednakowych odstępach. W dobrych siatkach liczba szczelin przekracza 2000 𝑚𝑚

⁄

.

Siatkę dyfrakcyjną możemy otrzymać rysując rylcem 𝑁 równoległych linii na płaskim
kawałku szkła. Szkło między rysami będzie zachowywało się jak oddzielna szczelina. Na
siatkę rzucamy wiązkę promieni równoległych (dyfrakcja Fraunhofera). Na ekranie
obraz interferencyjny promieni równoległych otrzymamy przy pomocy soczewki
zbierającej. Otrzymany na ekranie obraz jest wynikiem dwóch efektów:
- obrazu dyfrakcyjnego poszczególnych szczelin o szerokości a,

11 |

S t r o n a

- obrazu interferencyjnego pochodzącego od N źródeł (szczelin siatki) odległych od
siebie o 𝑑 = 𝑎 + 𝑏.
Innymi słowy obraz interferencyjny od szczelin siatki nałożony jest na obraz
dyfrakcyjny od pojedynczej szczeliny.

𝑑 sin 𝜃 = 𝑛𝜆

g. Polaryzacja światła

Światło podobnie jak każda fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Kierunki
drgań wektorów 𝐸⃗⃗ i 𝐵

⃗⃗ są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Mówimy, że

fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana liniowo. W przypadku fal radiowych
kierunek polaryzacji zależy od kierunku drgań ładunków elektrycznych w antenie.
Naturalne źródła światła widzialnego (także poczerwieni i ultrafioletu) składają się z
promieniujących atomów, których akty emisji promieniowania występują niezależnie
od siebie. W konsekwencji światło rozchodzące się w danym kierunku składa się z
niezależnych ciągów falowych, dla których kierunki drgań wektora 𝐸⃗⃗ (a także 𝐵

⃗⃗)

zorientowane są przypadkowo w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia
się fali. Takie światło nazywamy niespolaryzowanym. Światło spolaryzowane
emitowane jest przez sztuczne źródła promieniowania tzw. lasery. Światło
spolaryzowane możemy także uzyskać ze światła niespolaryzowanego np. przy użyciu
tzw. polaryzatorów (płytek polaryzacyjnych). Polaryzator przepuszcza tylko te fale
świetlne, dla których kierunki drgań wektora 𝐸⃗⃗ są równoległe do kierunku polaryzacji a
pochłania fale, dla których kierunek drgań 𝐸⃗⃗ jest prostopadły do kierunku polaryzacji.
Jeżeli światło spolaryzowane pada na drugi polaryzator nazywany analizatorem, to
światło takie zostanie bądź to przepuszczone (jeżeli kierunki polaryzacji polaryzatora i
analizatora są takie same) bądź pochłonięte (w innym przypadku). O tym jaka część
światła zostanie przepuszczona mówi prawo Malusa.
Polaryzacja przy odbiciu i załamaniu. Światło naturalne przy odbiciu od powierzchni
dielektryka polaryzuje się. Stopień polaryzacji zależy od kąta padania α. W przypadku
gdy kąt między promieniem odbitym i załamanym jest kątem prostym światło odbite
jest całkowicie spolaryzowane w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania
utworzonej przez promień padający (a także odbity i załamany) i normalną do
powierzchni. Kąt ten 𝛼 = 𝛼

𝐵

nazywamy kątem Brewstera. Z kolei światło załamane

jest częściowo spolaryzowane; maksymalne natężenie wykazuje światło
spolaryzowane w płaszczyźnie padania. Warunek Brewstera otrzymujemy z prawa
załamania

𝑛

21

=

sin 𝛼

𝐵

sin 𝛽

=

sin 𝛼

𝐵

sin(90° − 𝛼

𝐵

)

=

sin 𝛼

𝐵

cos 𝛼

𝐵

= tan 𝛼

𝐵

Ponieważ współczynnik załamania zależy od długości fali nie jest możliwa polaryzacja
światła białego. Fakt, że światło polaryzuje się przy odbiciu można wykorzystać w
praktyce. Np. aby obserwować zachód Słońca na morzem unikając jednocześnie
oślepienia przez promienie odbite od powierzchni wody można wykorzystać okulary
polaryzacyjne. Są to okulary pokryte warstwą polaryzacyjną pełniącą rolę analizatora.
Jeżeli płaszczyzna polaryzacji będzie miała kierunek pionowy to przynajmniej
częściowo zostanie wygaszone światło odbite od powierzchni wody, którego kierunek
polaryzacji jest poziomy.