background image

 
 

POLITECHNIKA  POZNAŃSKA

 

 
 
 
 

MODEL  NIEZAWODNOŚCIOWY  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  

Z  ZEROWYM  CZASEM  ODNOWY 

 

Materiały pomocnicze do wykładu (v4) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

adam.kadzinski@put.poznan.pl

 

Plik: 

PP_Zerowy_czas_odnowy_Obiekty_odnawiane_wyk_i_ćw_s_p_[v4].doc

 

  Opr. Adam Kadziński 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

2 z 

37

 

 

 

NIEZAWODNOŚĆ  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH

 

MODEL  NIEZAWODNOŚCIOWY  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  

Z  ZEROWYM  CZASEM  ODNOWY

1)

 
 

Wprowadzenie 

 

Niezawodnościowy model obiektów odnawianych z zerowym 
czasem odnowy 

♦ 

Założenia 
Pojęcie funkcji odnowy 
Formuła matematyczna ma funkcj

Š

 

Š

 

Š

 

ę odnowy 

Przykład zastosowania funkcji odnowy 

Podsumowanie

 

 

 

adam.kadzinski@put.poznan.pl
 

1)

 Przy opracowaniu niniejszej prezentacji i tematu wykładu, w wielu miejscach, wykorzystałem własne 

notatki z 

wysłuchanego wykładu Pana Profesora Dobiesława Bobrowskiego w ramach Studium 

Podyplomowego nt. Matematyczne Podstawy Teorii Niezawodności”, które było zorganizowane w 1980 
roku przez Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

3 z 

37

 

 

 

WPROWADZENIE 

(1)

 

O ODNAWIANYCH  OBIEKTACH  W  OCENACH  NIEZAWODNOŚCIOWYCH 

 
 
 

 

Odnawiane

 

Nieodnawiane

 

OBIEKTY 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

4 z 

37

 

 

 

WPROWADZENIE 

(2)

 

ODWZOROWANIA GRAFICZNE  NIEZAWODNOŚCIOWYCH  MODELI 
DWUSTANOWYCH  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  (

1

t

1

t

1

t

0

t

2

t

2

t

3

t

4

t

n

t

n

 
 

     

 

 

1.

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

5 z 

37

 

 

WPROWADZENIE 

(3)

 

ODWZOROWANIA GRAFICZNE  NIEZAWODNOŚCIOWYCH  MODELI 
DWUSTANOWYCH  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  (

2

t

1

t

1

t

0

t

2

t

2

t

3

t

3

t

4

t

n

t

n

1

2

Z(t)

 

     

 
 

     

 

2.

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

6 z 

37

 

 

WPROWADZENIE 

(4)

 

ODWZOROWANIA GRAFICZNE  NIEZAWODNOŚCIOWYCH  MODELI 
DWUSTANOWYCH  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  (

3

 

3.

 

 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

7 z 

37

 

 

 

WPROWADZENIE 

(5)

 

ODWZOROWANIA GRAFICZNE  NIEZAWODNOŚCIOWYCH  MODELI 
DWUSTANOWYCH  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  (

1

 
 
 
 

t

(1)

t

(1)

, 

t

(0)

 
 

       

 

t

(2)

t

(2)

,

t

(3)

t

(3)

,

t

(n)

t

(n)

,

t

(n+1)

t

(n+1)

,

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

8 z 

37

 

 

WPROWADZENIE 

(6)

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

t

1

τ

n+1

t

(1)

t

(1)

, 

t

(0)

 
 

       

 

t

(2)

t

(2)

,

t

(3)

t

(3)

,

t

(n)

t

(n)

,

t

(n+1)

t

(n+1)

,

τ

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

n

τ

n+2

t

n+1

t

n

t

3

t

2

t

 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

9 z 

37

 

 

WPROWADZENIE 

(7)

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

t

(1)

t

(1)

, 

t

(0)

 
 

       

 

t

(2)

t

(2)

,

t

(3)

t

(3)

,

t

(n)

t

(n)

,

t

(n+1)

t

(n+1)

,

τ

n+1

τ

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

n

τ

n+2

t

Σ

 

t

t

(1,1)

t

(1,1)

, 

t

(1,0)

 
 

       

 

t

(1,n+1)

t

(1,n+1)

,

τ

1,1

τ

1,2

τ

1,3

τ

1,4

τ

1,n+1

τ

1,n+2

τ

1,n

t

(1,2)

t

(1,2)

,

t

(1,3)

t

(1,3)

,

t

(1,n)

t

(1,n)

,

t

(2,1)

t

(2,1)

, 

t

(2,0)

 
 

       

 

t

(2,n+1)

t

(2,n+1)

,

τ

2,1

τ

2,2

τ

2,3

τ

2,4

τ

2,n+1

τ

2,n+2

τ

2,n

t

(2,2)

t

(2,2)

,

t

(2,3)

t

(2,3)

,

t

(2,n)

t

(2,n)

,

t

(N,1)

t

(N,1)

,

t

(N,0)

 
 

       

 

t

(N,n+1)

t

(N,n+1)

,

τ

N,4

τ

N,n+2

τ

N,n

t

(N,2)

t

(N,2)

,

t

(N,3)

t

(N,3)

,

t

(N,n)

t

(N,n)

,

τ

N,1

τ

 N,2

τ

N,3

τ

N,n+1

• 

•  

• 

•  

• 

  

t

t

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

10 z 

37

 

 

ZAŁOŻENIA 

(1)

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

t

1

τ

n+1

t

(1)

t

(1)

, 

t

(0)

 
 

       

 

t

(2)

t

(2)

,

t

(3)

t

(3)

,

t

(n)

t

(n)

,

t

(n+1)

t

(n+1)

,

τ

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

n

τ

n+2

t

n+1

t

n

t

3

t

2

t

Charakterystykami procesu odnowy są między innymi: 
•    sumaryczny czas prawidłowego działania obiektu  t

n

 do chwili n-tego uszkodzenia, 

•    liczba uszkodzeń obiektu X

t

 do chwili t

Zapiszmy przez 

=

=

n

k

k

n

t

1

τ

       

 

 

 

1

  

dla

N

n

 

zmienną losową będącą sumarycznym czasem prawidłowego działania obiektu do wystąpienia 
n uszkodzeń. 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

11 z 

37

 

 

 
Dodatkowo oznaczmy przez F

n

(t) dystrybuantę zmiennej losowej t

n

, tzn. 

 

)

(

)

(

t

t

P

t

F

n

n

<

=

   

1

  

dla

N

n

 

 

Dystrybuantę F

n

(t) można wyznaczyć z zależności rekurencyjnej: 

=

t

n

n

n

u

dF

u

t

F

t

F

0

)

(

1

)

(

)

(

)

(

 

,...

3

,

2

dla

=

n

 

Przy założeniu niezależności zmiennych losowych  

τ

1

τ

2

τ

3

, ...,

 

τ

n

   

i jednorodności rozkładów tych zmiennych, tzn. jeżeli: 

 

)

(

)

(

),...,

(

),

(

),

(

)

(

)

3

(

)

2

(

)

1

(

t

F

t

F

t

F

t

F

t

F

n

=

 

 

zapisać można, że: 

=

t

n

n

u

dF

u

t

F

t

F

0

1

)

(

)

(

)

(

 

,...

3

,

2

dla

=

n

 

a jeżeli rozkłady zmiennych losowych  

τ

1

τ

2

τ

3

, ...,

 

τ

n

  są typu ciągłego 

tzn. dla takich zmiennych obowiązują następujące zależności: 

 
 

dt

t

dF

t

f

)

(

)

(

=

  

 

 

 

dt

t

f

t

dF

=

)

(

)

(

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

12 z 

37

 

 

 

prawidłowa jest zależność: 

 

=

t

n

n

du

u

f

u

t

F

t

F

0

1

)

(

)

(

)

(

 

 

,...

3

,

2

dla

=

n

 

Korzystając z definicji splotu funkcji, powyższą zależność można zapisać w postaci: 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

=

   

 

 

,...

3

,

2

dla

=

n

 

 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

13 z 

37

 

 

ZAŁOŻENIA  

 
 
Zapiszmy następujące zdarzenia: 

 
 

{

}

0

1

  

dla

       

N

n

n

X

Z

t

=

 

 

{

}

0

2

  

dla

         

N

n

t

t

Z

n

<

=

 

 

Okazuje się, że są to zdarzenia jednakowe oznaczające, że do chwili t wystąpi co najmniej n 
odnowień obiektu. 
Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń jednakowych są takie same, stąd można zapisać, że:   

 

)

(

)

(

t

t

P

n

X

P

n

t

<

=

 

 

)

(

)

(

t

F

n

X

P

n

t

=

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

14 z 

37

 

 

POJĘCIE  FUNKCJI  ODNOWY  

 
Podstawową charakterystyką rozważanego procesu 
odnowy jest funkcja odnowy postaci: 

 

)

(

)

(

t

X

E

t

H

=

 

 

gdzie: 

=

=

=

1

)

(

)

(

n

t

t

n

X

P

n

X

E

 

 

Należy zauważyć, że: 

 

)

1

(

)

(

)

(

+

=

=

n

X

P

n

X

P

n

X

P

t

t

t

 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

t

P

t

t

P

n

X

P

n

n

t

<

<

=

=

+

 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

F

t

F

n

X

P

n

n

t

+

=

=

  

0

  

dla

N

n

 

 

Stąd można zapisać zależność postaci: 

 

[

]

=

+

=

1

1

)

(

)

(

)

(

n

n

n

t

F

t

F

n

t

H

 

• • •

• • • 

i

− 4 

i

− 3  − 2

 

i

− 1 

i

 

Liczba uszkodzeń (odnów) n

 

P(

X

t

 = 

n

P(X

t

 = i)

 

• • • 

• • • 

P(

X

t

 ≥

 n

P(X

t

≥ 0) 

P(X

t

i)

 

P(X

t

≥ i–3) 

P(X

t

≥ i–4) 

Liczba uszkodzeń (odnów) n

 

P(X

t

≥ i) = F

i

(t)

 

i

− 4 

i

− 3 

i – 2

 

i

− 1 

i

 

• • • 

• • • 

0

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

15 z 

37

 

 

 

 

[

]

=

+

=

1

1

)

(

)

(

)

(

n

n

n

t

F

t

F

n

t

H

 

 
 
Dokonajmy kilku przekształceń otrzymanej zależności: 

=

+

=

=

1

1

1

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

t

F

n

t

F

n

t

H

 

 

(

)

=

=

=

1

2

)

(

1

)

(

)

(

n

n

n

n

t

F

n

t

F

n

t

H

 

 

=

+

=

2

)

1

(

)

(

)

(

)

(

n

n

t

F

t

F

t

H

 

stąd: 

=

=

1

)

(

)

(

n

n

t

F

t

H

 

 

0

 

dla

>

t

 

 

Zależność powyższą można zapisać inaczej w postaci: 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

16 z 

37

 

 

=

+

=

2

)

(

)

(

)

(

n

n

t

F

t

F

t

H

 

lub w postaci: 

=

+

+

=

1

1

)

(

)

(

)

(

n

n

t

F

t

F

t

H

 

Jeżeli prawidłowa jest zależność rekurencyjna 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

=

 

 

to prawidłowe jest równanie postaci: 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

=

+

 

 

które można wykorzystać w zależności: 

[

]

=

+

=

1

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

t

f

t

F

t

F

t

H

 

 

Przekształćmy otrzymane równanie. 

=

+

=

1

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

t

f

t

F

t

F

t

H

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

17 z 

37

 

 

 
Pozwala to zauważyć, że: 

 

)

(

)

(

)

(

)

(

t

f

t

H

t

F

t

H

+

=

 

 

lub korzystając z definicji splotu funkcji - zapisać: 

+

=

t

du

u

f

u

t

H

t

F

t

H

0

)

(

)

(

)

(

)

(

 

Znając postać analityczną funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej 
czasem między kolejnymi odnowieniami, można rozwiązując powyższe równania całkowe 
wyznaczyć funkcję odnowy H(t). 

 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

18 z 

37

 

 

Przykład 1  zastosowania funkcji odnowy 

 

Wyznaczyć oczekiwaną liczbę wymian zespołów z.k.-e.s.t. (funkcję odnowy) lokomotywy 
SP45, w okresie czasu odpowiadającym przebiegowi 300 000 km, gdy rozkład przebiegu 
między uszkodzeniami wymagającymi wymiany z.k.-e.s.t. jest typu wykładniczego 
z parametrem  

λ

 = 2.7

×10

-5

 [1/km]. 

 

ROZWIĄZANIE: 

 

Korzystamy z równania całkowego: 

 

)

(

)

(

)

(

)

(

t

f

t

H

t

F

t

H

+

=

 

 

i po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a otrzymujemy: 

 

[

]

[

] [

]

)

(

)

(

)

(

)

(

t

f

t

H

t

H

t

H

+

=

L

L

L

 

 

a stosując twierdzenie Borela równanie przyjmuje postać: 

 

[

]

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

)

(

t

f

t

H

t

H

t

H

L

L

L

L

+

=

 

a stąd 

[

]

[

]

[

]

)

(

1

)

(

)

(

t

f

t

F

t

H

L

L

L

=

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

19 z 

37

 

 

 
Wyznaczenie przekształceń Laplace’a dla dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa 
rozkładu wykładniczego. 

 

Dystrybuanta 

e

t

F

t

=

λ

1

)

(

 

[

]

[

]

[ ]

[ ]

s

s

e

e

t

F

t

t

+

=

=

=

λ

λ

λ

1

1

1

1

)

(

L

L

L

L

 

 

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa 

t

e

t

f

=

λ

λ

)

(

 

[

]

[

]

[ ]

s

s

e

e

t

f

t

t

+

=

+

=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

1

)

(

L

L

L

 

 
 

Podstawiając wartości przekształceń Laplace’a otrzymuje się: 

 

[

]

λ

λ

λ

+

+

=

s

s

s

t

H

1

1

1

)

(

L

 

 

a stąd:

 

 

[

]

2

)

(

s

t

H

λ

=

L

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

20 z 

37

 

 

 
 

Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia Laplace’a otrzymuje się: 

 

t

s

s

t

H

-

-

=

⎥⎦

⎢⎣

=

⎥⎦

⎢⎣

=

λ

λ

λ

2

1

 

2

1

 

1

)

(

L

L

 

 

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuje się:

 

 

9

1

,

8

10

0

,

3

10

7

,

2

)

10

0

,

3

(

5

5

5

=

×

×

=

×

H

 

 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

21 z 

37

 

 

Przykład 2  zastosowania funkcji odnowy 

 
 

Ile potrzeba co najmniej zespołów wymiennych zestaw kołowy – elektryczny silnik 

trakcyjny (z.k.-e.s.t.) dla jednej lokomotywy spalinowej na okres czasu odpowiadający 
przebiegowi  t = 300 000 km,  jeżeli rozkład przebiegu w kilometrach między uszkodzeniami 
powodującymi konieczność wymiany zespołu jest typu wykładniczego o parametrze 

 

λ = 2,7 10

-5

 

Przyjąć niezależność i jednorodność rozkładu przebiegu między kolejnymi uszkodzeniami 

i wymianami. 
 

Obliczenia przeprowadzić dla prawdopodobieństwa 

α = 0,05 zdarzenia, że w okresie czasu 

odpowiadającym przebiegowi 300 000 km wystąpi więcej uszkodzeń niż najmniejsza liczba n 
spełniająca nierówność:  

 

α

)

(t

F

n

 

 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

22 z 

37

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dla t = 300 000 km

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

• • • 

• • • 

P(

X

t

 ≥

 n

P(X

t

≥ 0) 

P(X

t

 = i)

 

P(X

t

≥ i–3) 

P(X

≥ i–4) 

t

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

= ?

 

α

)

(t

F

i

aby

 

Poszukiwane jest takie 

Liczba uszkodzeń (odnów) n

 

P(X

t

≥ i) = F

i

(t)

 

α

= 0,05

 

i

− 4 

i

− 3 

i – 2

 

i

− 1 

i

 

• • • 

• • • 

0

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

23 z 

37

 

 

 

 

 

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

=

 

 
 

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

L

L

L

=

 

,...

3

,

2

dla

=

n

 

 
 

= 2

dla n

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

1

2

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

2

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

= 3

dla n

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

2

3

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

[

]

[

] [

]

2

3

)

(

)

(

)

(

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

= 4

dla n

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

3

4

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

[

]

[

] [

]

3

4

)

(

)

(

)

(

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

= 5

dla n

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

4

5

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

[

]

[

] [

]

4

5

)

(

)

(

)

(

t

f

t

F

t

F

L

L

L

=

 

 

…   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… 

−1

dla n

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

2

1

t

f

t

F

t

F

n

n

L

L

L

=

 

[

]

[

] [

]

2

1

)

(

)

(

)

(

=

n

n

t

f

t

F

t

F

L

L

L

 

 

n

dla

[

] [

] [

]

)

(

)

(

)

(

1

t

f

t

F

t

F

n

n

L

L

L

=

   

[

]

[

] [

]

1

)

(

)

(

)

(

=

n

n

t

f

t

F

t

F

L

L

L

 

 
 

[

]

[

] [

]

1

)

(

)

(

)

(

=

n

n

t

f

t

F

t

F

L

L

L

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

24 z 

37

 

 

 

Dystrybuanta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego 

 

t

e

t

F

=

λ

1

)

(

 

 

0

 

dla

t

 

t

e

t

f

=

λ

λ

)

(

 

 

0

 

dla

t

Transformaty Laplace’a dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu 
wykładniczego 

 

[

]

[

]

[ ]

[ ]

s

s

e

e

t

F

t

t

+

=

=

=

λ

λ

λ

1

1

1

1

)

(

L

L

L

L

[ ]

[

]

[ ]

s

s

e

e

t

f

t

t

+

=

+

=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

1

)

(

L

L

L

 

 
 

Na tej podstawie 

 
 

[

]

[

] [

]

1

)

(

)

(

)

(

=

n

n

t

f

t

F

t

F

L

L

L

 

[

]

1

1

1

)

(

+

+

=

n

n

s

s

s

t

F

λ

λ

λ

L

 

 

[

]

1

1

)

(

)

(

)

(

+

+

=

n

n

n

s

s

s

t

F

λ

λ

λ

λ

L

 

[

]

1

1

)

(

)

(

)

(

+

+

=

n

n

n

s

s

s

t

F

λ

λ

λ

λ

L

   

[

]

n

n

n

s

s

t

F

)

(

)

(

+

=

λ

λ

L

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

25 z 

37

 

 

[

]

n

n

n

s

s

t

F

)

(

)

(

+

=

λ

λ

L

 

 

Poszukiwanie 

)

(t

F

n

 transformaty odwrotnej funkcji 

+

n

n

s

s

)

(

 

1

λ

λ

L

 

 
 

Aby znaleźć transformatę odwrotną funkcji (funkcja nie występuje w tablicach transformat 
Laplace’a podstawowych funkcji) zostanie ona rozłożona na ułamki proste: 

 
 

n

n

n

n

n

n

s

B

s

B

s

B

s

B

s

A

s

s

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

L

 

 

a stąd 
 

0

1

1

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

s

s

B

s

s

B

s

s

B

s

s

B

s

A

n

n

n

n

n

n

L

 

 

Po zastosowaniu formuły na rozwinięcie dwumianu Newtona postaci: 

 

(

)

=

=

+

n

r

r

r

n

n

b

a

r

n

b

a

0

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

26 z 

37

 

 

 
otrzymuje się: 
 

0

1

1

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

s

s

B

s

s

B

s

s

B

s

s

B

s

A

n

n

n

n

n

n

L

 

 

(

)

=

=

+

n

r

r

r

n

n

b

a

r

n

b

a

0

 

 
 

+

⎛ −

+

=

=

=

1

0

1

1

0

1

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

s

r

n

s

B

s

r

n

A

λ

λ

λ

 

 

             

+

+

+

⎛ −

+

=

=

=

0

0

0

1

0

1

1

2

0

2

2

0

1

2

r

r

r

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

s

r

s

B

s

r

s

B

s

r

n

s

B

λ

λ

λ

L

 

 

Wprowadźmy zmienną s znajdującą się przed nawiasami kwadratowymi pod znak sumy. 
Otrzymuje się wtedy postać: 

 

+

⎛ −

+

⎛ −

+

=

=

=

=

2

0

2

2

1

0

1

1

0

2

1

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

s

s

r

n

B

s

s

r

n

B

s

r

n

A

λ

λ

λ

λ

 

 

             

+

+

+

=

=

0

0

0

1

0

1

1

0

1

r

r

r

n

r

r

r

n

s

s

r

B

s

s

r

B

λ

λ

L

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

27 z 

37

 

 

 

+

⎛ −

+

⎛ −

+

=

=

=

=

2

0

2

2

1

0

1

1

0

2

1

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

s

s

r

n

B

s

s

r

n

B

s

r

n

A

λ

λ

λ

λ

 

 

             

+

+

+

=

=

0

0

0

1

0

1

1

0

1

r

r

r

n

r

r

r

n

s

s

r

B

s

s

r

B

λ

λ

L

 

 
 

i ostatecznie: 
 

+

⎛ −

+

⎛ −

+

=

=

=

=

2

0

1

2

1

0

1

0

2

1

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

s

r

n

B

s

r

n

B

s

r

n

A

λ

λ

λ

λ

 

 
 

             

+

+

+

=

=

0

0

1

1

0

2

1

0

1

r

r

r

n

r

r

r

n

s

r

B

s

r

B

λ

λ

L

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

28 z 

37

 

 

+

⎛ −

+

⎛ −

+

=

=

=

=

2

0

1

2

1

0

1

0

2

1

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

r

r

r

n

n

s

r

n

B

s

r

n

B

s

r

n

A

λ

λ

λ

λ

 

 

             

+

+

+

=

=

0

0

1

1

0

2

1

0

1

r

r

r

n

r

r

r

n

s

r

B

s

r

B

λ

λ

L

 

Stałe AB

1

B

2

, …, B

n-1

B

n

  wyznaczone zostaną na podstawie porównania współczynników 

stojących – po obu stronach równania – przy tych samych potęgach zmiennej s. Otrzymuje się 
na tej podstawie n+1 następujących równań: 

n

s

 

dla

1.  

0

1

0

0

1

0

0

λ

λ

⎛ −

+

=

n

B

n

A

−1

 

dla

n

s

2.  

0

2

1

1

1

0

2

1

1

1

0

λ

λ

λ

⎛ −

+

⎛ −

+

=

n

B

n

B

n

A

M

 

1

 

dla s

n.  

+

+

+

=

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

0

n

n

n

n

n

B

n

n

B

n

n

A

λ

λ

λ

 

0

1

1

0

0

1

1

λ

λ

+

+

+

n

n

B

B

L

0

 

dla s

n+1. 

n

n

n

n

A

λ

λ

=

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

29 z 

37

 

 

n

s

 

dla

1.  

0

1

0

0

1

0

0

λ

λ

⎛ −

+

=

n

B

n

A

−1

 

dla

n

s

2.  

0

2

1

1

1

0

2

1

1

1

0

λ

λ

λ

⎛ −

+

⎛ −

+

=

n

B

n

B

n

A

M

 

1

 

dla s

n.  

+

+

+

=

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

0

n

n

n

n

n

B

n

n

B

n

n

A

λ

λ

λ

 

0

1

1

0

0

1

1

λ

λ

+

+

+

n

n

B

B

L

0

 

dla s

n+1. 

n

n

n

n

A

λ

λ

=

Rozwiązaniem układu równań są następujące wartości stałych AB

1

B

2

, …, B

n-1

B

n

 :  

+1

nia

-

r

 

z

n

1

=

A

 

1

nia

-

r

 

z

0

1

0

0

1

0

1

0

λ

λ

⎛ −

+

=

n

B

n

  

 

 

 

1

1

=

B

 

2

nia

-

r

 

z

0

2

1

1

0

2

1

1

1

1

1

0

λ

λ

λ

⎛ −

+

⎛ −

=

n

B

n

n

  

 

1

2

λ

=

B

 

2

3

λ

=

B

,  

 

 

L

2

1

=

n

n

B

λ

,    

1

=

n

n

B

λ

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

30 z 

37

 

 

 

 

n

n

n

n

n

n

s

B

s

B

s

B

s

B

s

A

s

s

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

L

 

 
 
 
 
 
 

n

n

n

n

n

n

s

s

s

s

s

s

s

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

L

 

1

=

A

1

1

=

B

1

2

λ

=

B

2

1

=

n

n

B

λ

1

=

n

n

B

λ

 
 
 

n

n

n

n

n

n

s

s

s

s

s

s

s

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

=

+

L

 

 
 

[

]

n

n

n

n

n

s

s

s

s

s

t

F

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

=

L

L

 

 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

31 z 

37

 

 

W tablicy przekształceń Laplace’a można znaleźć, że: 

jeżeli  

[ ]

n

s

t

u

)

(

1

)

(

λ

+

=

L

   

to 

)!

1

(

)

(

1

=

n

e

t

t

u

t

n

λ

 

jeżeli  

[

]

n

s

n

t

g

)

(

)!

1

(

)

(

λ

+

=

L

   

to 

t

n

e

t

t

g

=

λ

1

)

(

 tzn.

 

t

n

n

e

t

s

n

=

+

λ

λ

1

1

)

(

)!

1

(

L

 

 
Przekształćmy równanie: 

[

]

n

n

n

n

n

s

s

s

s

s

t

F

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

2

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

=

L

L

 

 
Tak aby można było zastosować wskazane wcześniej przekształcenie Laplace’a. 
Otrzymuje się zatem co następuje: 

[

]

+

+

+

+

=

3

2

2

1

1

0

)

(

!

2

!

2

)

(

!

1

!

1

)

(

!

0

!

0

1

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

s

s

s

s

t

F

n

L

 

 

n

n

n

n

s

n

n

s

n

n

)

(

)!

1

(

)!

1

(

)

(

)!

2

(

)!

2

(

1

1

2

λ

λ

λ

λ

+

+

+

L

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

32 z 

37

 

 

Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a mamy: 

+

+

+

+

=

3

2

2

1

1

0

1

)

(

!

2

!

2

)

(

!

1

!

1

)

(

!

0

!

0

1

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

s

s

s

s

t

F

n

L

 

+

+

+

n

n

n

n

s

n

n

s

n

n

)

(

)!

1

(

)!

1

(

)

(

)!

2

(

)!

2

(

1

1

2

λ

λ

λ

λ

L

 

+

+

+

+

=

3

2

2

1

1

0

1

)

(

!

2

!

2

)

(

!

1

!

1

)

(

!

0

!

0

1

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

s

s

s

s

t

F

n

L

 

+

+

+

n

n

n

n

s

n

n

s

n

n

)

(

)!

1

(

)!

1

(

)

(

)!

2

(

)!

2

(

1

1

2

λ

λ

λ

λ

L

 

 
a stąd: 
 
 

t

n

n

t

n

n

t

t

t

n

e

t

n

e

t

n

e

t

e

t

e

t

t

F

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

=

1

1

2

2

2

2

1

1

0

0

)!

1

(

)!

2

(

!

2

!

1

!

0

1

)

(

L

 

+

=

2

1

1

2

)

(

)!

1

2

(

λ

λ

s

e

t

t

L

+

=

n

t

n

s

n

e

t

)

(

)!

1

(

1

1

λ

λ

L

i ostatecznie: 

=

=

1

0

!

)

(

1

)

(

n

r

t

r

n

e

r

t

t

F

λ

λ

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

33 z 

37

 

 

Podstawmy wyznaczoną postać funkcji  F

n

(t)  do nierówności wyjściowej: 

 

α

)

(t

F

n

 

 
 
 

α

λ

λ

=

1

0

!

)

(

1

n

r

t

r

e

r

t

 

=

=

1

0

!

)

(

1

)

(

n

r

t

r

n

e

r

t

t

F

λ

λ

 
a stąd: 

α

λ

λ

=

1

!

)

(

1

0

n

r

t

r

e

r

t

 

 

t

n

r

r

e

r

t

λ

α

λ

=

)

1

(

!

)

(

1

0

 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

34 z 

37

 

 

Dane: 

5

10

7

,

2

=

λ

 

5

10

0

,

3

=

t

 

05

,

0

=

α

 

 
Rozwiązanie: 

t

n

r

r

e

r

t

λ

α

λ

=

)

1

(

!

)

(

1

0

 

5

5

10

0

,

3

10

7

,

2

1

0

5

5

)

05

,

0

1

(

!

)

10

0

,

3

10

7

,

2

(

=

e

r

n

r

r

 

1

,

8

1

0

)

05

,

0

1

(

!

)

1

,

8

(

e

r

n

r

r

=

 

75

,

3129

!

)

1

,

8

(

1

0

=

n

r

r

r

 

 
 
 

Poszukujemy najmniejszej wartości n spełniającą powyższą nierówność. 

 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

35 z 

37

 

 

 

 

 

 

n-1 

 

 

10 11  12  13 14 

1,000 1,000

1,000

1,000

1,000 

8,100 8,100

8,100

8,100

8,100 

88,574 88,574

88,574

88,574

88,574 

179,361 179,361

179,361

179,361

179,361 

290,565 290,565

290,565

290,565

290,565 

392,263 392,263

392,263

392,263

392,263 

453,905 453,905

453,905

453,905

453,905 

459,578 459,578

459,578

459,578

459,578 

413,621 413,621

413,621

413,621

413,621 

00

,

2622

!

)

1

,

8

(

10

0

=

=

r

r

r

71

,

2868

!

)

1

,

8

(

11

0

=

=

r

r

r

23

,

3035

!

)

1

,

8

(

12

0

=

=

r

r

r

10 

335,033 335,033

335,033

335,033

335,033 

11 

  

246,706

246,706

246,706

246,706 

12 

  

  

166,526

166,526

166,526 

13 

  

  

  

103,759

103,759 

14 

  

  

  

  

60,032 

Suma 

2622,00 

2868,71

3035,23

3138,99

3199,02 

 

 

 

 

!!!!!! 

 

99

,

3138

!

)

1

,

8

(

13

0

=

=

r

r

r

 
Na tej podstawie: 

 
 

75

,

3129

!

)

1

,

8

(

13

0

=

r

r

r

A więc:     (n-1)=13    a stąd     n=13+1=

14 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

36 z 

37

 

 

Uwaga końcowa 

 
Wynik przeprowadzonych obliczeń wskazuje, że dla zapewnienia ciągłości pracy 

lokomotywy, ze względu na uszkodzenia zespołu z.k.–e.s.t., na okres czasu 
odpowiadający przebiegowi 300 

000 km, trzeba przygotować 14 zespołów 

wymiennych, a liczba ta będzie wystarczająca z prawdopodobieństwem (1-

α)=0,95. 

 
 
 

Dla t = 300 000 km

 

• • • 

• • • 

P(

X

t

 ≥

 n

P(X

t

≥ 0) 

P(X

t

= 14)

 

P(X

t

≥ 11) 

P(X

t

≥ 10) 

Liczba uszkodzeń (odnów) n

 

P(X

t

≥14) = F

14

(t)

 

α

= 0,05

 

10

 

11

 

12

 

13 

14

 

• • • 

• • • 

0

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

Adam Kadziński 

MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY  

37 z 

37

 

 

 

PODSUMOWANIE 

 

MODEL  NIEZAWODNOŚCIOWY  OBIEKTÓW  ODNAWIANYCH  

Z  ZEROWYM  CZASEM  ODNOWY 

 

 

 
 

● Modele 

niezawodnościowe obiektów odnawianych. 

●  Sumaryczny czas pracy obiektu i dystrybuanta sumarycznego czasu pracy 

obiektu. 

● Pojęcie funkcji odnowy. 

● Przykład 1 zastosowania funkcji odnowy. 
● Przykład 2 zastosowania funkcji odnowy. 

 

 
 
 
 
 
 
 

 


Document Outline