POLITECHNIKA POZNAŃSKA
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
Materiały pomocnicze do wykładu (v4)
Plik:
PP_Zerowy_czas_odnowy_Obiekty_odnawiane_wyk_i_ćw_s_p_[v4].doc
Opr. Adam Kadziński
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
2 z
37
NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
1)
Wprowadzenie
Niezawodnościowy model obiektów odnawianych z zerowym
czasem odnowy
♦
Założenia
Pojęcie funkcji odnowy
Formuła matematyczna ma funkcj
ę odnowy
Przykład zastosowania funkcji odnowy
Podsumowanie
1)
Przy opracowaniu niniejszej prezentacji i tematu wykładu, w wielu miejscach, wykorzystałem własne
notatki z
wysłuchanego wykładu Pana Profesora Dobiesława Bobrowskiego w ramach Studium
Podyplomowego nt. Matematyczne Podstawy Teorii Niezawodności”, które było zorganizowane w 1980
roku przez Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
3 z
37
WPROWADZENIE
(1)
O ODNAWIANYCH OBIEKTACH W OCENACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH
Odnawiane
Nieodnawiane
OBIEKTY
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
4 z
37
WPROWADZENIE
(2)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (
1
)
t
’
1
t
1
t
0
t
’
2
t
2
t
3
t
4
t
n
t
’
n
1.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
5 z
37
WPROWADZENIE
(3)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (
2
)
t
’
1
t
1
t
0
t
’
2
t
2
t
’
3
t
3
t
4
t
n
t
’
n
1
2
Z(t)
2.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
6 z
37
WPROWADZENIE
(4)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (
3
)
3.
1
2
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
7 z
37
WPROWADZENIE
(5)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (
1
)
t
’
(1)
t
(1)
,
t
(0)
t
’
(2)
t
(2)
,
t
’
(3)
t
(3)
,
t
’
(n)
t
(n)
,
t
’
(n+1)
t
(n+1)
,
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
8 z
37
WPROWADZENIE
(6)
t
1
τ
n+1
t
’
(1)
t
(1)
,
t
(0)
t
’
(2)
t
(2)
,
t
’
(3)
t
(3)
,
t
’
(n)
t
(n)
,
t
’
(n+1)
t
(n+1)
,
τ
1
τ
2
τ
3
τ
4
τ
n
τ
n+2
t
n+1
t
n
t
3
t
2
t
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
9 z
37
WPROWADZENIE
(7)
t
’
(1)
t
(1)
,
t
(0)
t
’
(2)
t
(2)
,
t
’
(3)
t
(3)
,
t
’
(n)
t
(n)
,
t
’
(n+1)
t
(n+1)
,
τ
n+1
τ
1
τ
2
τ
3
τ
4
τ
n
τ
n+2
t
Σ
t
t
’
(1,1)
t
(1,1)
,
t
(1,0)
t
’
(1,n+1)
t
(1,n+1)
,
τ
1,1
τ
1,2
τ
1,3
τ
1,4
τ
1,n+1
τ
1,n+2
τ
1,n
t
’
(1,2)
t
(1,2)
,
t
’
(1,3)
t
(1,3)
,
t
’
(1,n)
t
(1,n)
,
t
’
(2,1)
t
(2,1)
,
t
(2,0)
t
’
(2,n+1)
t
(2,n+1)
,
τ
2,1
τ
2,2
τ
2,3
τ
2,4
τ
2,n+1
τ
2,n+2
τ
2,n
t
’
(2,2)
t
(2,2)
,
t
’
(2,3)
t
(2,3)
,
t
’
(2,n)
t
(2,n)
,
t
’
(N,1)
t
(N,1)
,
t
(N,0)
t
’
(N,n+1)
t
(N,n+1)
,
τ
N,4
τ
N,n+2
τ
N,n
t
’
(N,2)
t
(N,2)
,
t
’
(N,3)
t
(N,3)
,
t
’
(N,n)
t
(N,n)
,
τ
N,1
τ
N,2
τ
N,3
τ
N,n+1
1
2
N
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
t
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
10 z
37
ZAŁOŻENIA
(1)
t
1
τ
n+1
t
’
(1)
t
(1)
,
t
(0)
t
’
(2)
t
(2)
,
t
’
(3)
t
(3)
,
t
’
(n)
t
(n)
,
t
’
(n+1)
t
(n+1)
,
τ
1
τ
2
τ
3
τ
4
τ
n
τ
n+2
t
n+1
t
n
t
3
t
2
t
Charakterystykami procesu odnowy są między innymi:
• sumaryczny czas prawidłowego działania obiektu t
n
do chwili n-tego uszkodzenia,
• liczba uszkodzeń obiektu X
t
do chwili t.
Zapiszmy przez
∑
=
=
n
k
k
n
t
1
τ
1
dla
N
n
∈
zmienną losową będącą sumarycznym czasem prawidłowego działania obiektu do wystąpienia
n uszkodzeń.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
11 z
37
Dodatkowo oznaczmy przez F
n
(t) dystrybuantę zmiennej losowej t
n
, tzn.
)
(
)
(
t
t
P
t
F
n
n
<
=
1
dla
N
n
∈
Dystrybuantę F
n
(t) można wyznaczyć z zależności rekurencyjnej:
∫
−
=
−
t
n
n
n
u
dF
u
t
F
t
F
0
)
(
1
)
(
)
(
)
(
,...
3
,
2
dla
=
n
Przy założeniu niezależności zmiennych losowych
τ
1
,
τ
2
,
τ
3
, ...,
τ
n
i jednorodności rozkładów tych zmiennych, tzn. jeżeli:
)
(
)
(
),...,
(
),
(
),
(
)
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
t
F
t
F
t
F
t
F
t
F
n
=
zapisać można, że:
∫
−
=
−
t
n
n
u
dF
u
t
F
t
F
0
1
)
(
)
(
)
(
,...
3
,
2
dla
=
n
a jeżeli rozkłady zmiennych losowych
τ
1
,
τ
2
,
τ
3
, ...,
τ
n
są typu ciągłego
tzn. dla takich zmiennych obowiązują następujące zależności:
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
=
i
dt
t
f
t
dF
⋅
=
)
(
)
(
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
12 z
37
prawidłowa jest zależność:
∫
⋅
−
=
−
t
n
n
du
u
f
u
t
F
t
F
0
1
)
(
)
(
)
(
,...
3
,
2
dla
=
n
Korzystając z definicji splotu funkcji, powyższą zależność można zapisać w postaci:
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
∗
=
−
,...
3
,
2
dla
=
n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
13 z
37
ZAŁOŻENIA
Zapiszmy następujące zdarzenia:
{
}
0
1
dla
N
n
n
X
Z
t
∈
≥
=
{
}
0
2
dla
N
n
t
t
Z
n
∈
<
=
Okazuje się, że są to zdarzenia jednakowe oznaczające, że do chwili t wystąpi co najmniej n
odnowień obiektu.
Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń jednakowych są takie same, stąd można zapisać, że:
)
(
)
(
t
t
P
n
X
P
n
t
<
=
≥
)
(
)
(
t
F
n
X
P
n
t
=
≥
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
14 z
37
POJĘCIE FUNKCJI ODNOWY
Podstawową charakterystyką rozważanego procesu
odnowy jest funkcja odnowy postaci:
)
(
)
(
t
X
E
t
H
=
gdzie:
∑
∞
=
=
⋅
=
1
)
(
)
(
n
t
t
n
X
P
n
X
E
Należy zauważyć, że:
)
1
(
)
(
)
(
+
≥
−
≥
=
=
n
X
P
n
X
P
n
X
P
t
t
t
)
(
)
(
)
(
1
t
t
P
t
t
P
n
X
P
n
n
t
<
−
<
=
=
+
)
(
)
(
)
(
1
t
F
t
F
n
X
P
n
n
t
+
−
=
=
0
dla
N
n
∈
Stąd można zapisać zależność postaci:
[
]
∑
∞
=
+
−
⋅
=
1
1
)
(
)
(
)
(
n
n
n
t
F
t
F
n
t
H
• • •
• • •
i
− 4
i
− 3 i − 2
i
− 1
i
Liczba uszkodzeń (odnów) n
P(
X
t
=
n)
P(X
t
= i)
1
• • •
• • •
P(
X
t
≥
n
)
P(X
t
≥ 0)
P(X
t
= i)
P(X
t
≥ i–3)
P(X
t
≥ i–4)
Liczba uszkodzeń (odnów) n
P(X
t
≥ i) = F
i
(t)
i
− 4
i
− 3
i – 2
i
− 1
i
• • •
• • •
0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
15 z
37
[
]
∑
∞
=
+
−
⋅
=
1
1
)
(
)
(
)
(
n
n
n
t
F
t
F
n
t
H
Dokonajmy kilku przekształceń otrzymanej zależności:
∑
∑
∞
=
+
∞
=
⋅
−
⋅
=
1
1
1
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
t
F
n
t
F
n
t
H
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
⋅
−
−
⋅
=
1
2
)
(
1
)
(
)
(
n
n
n
n
t
F
n
t
F
n
t
H
∑
∞
=
+
=
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
n
n
t
F
t
F
t
H
stąd:
∑
∞
=
=
1
)
(
)
(
n
n
t
F
t
H
0
dla
>
t
Zależność powyższą można zapisać inaczej w postaci:
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
16 z
37
∑
∞
=
+
=
2
)
(
)
(
)
(
n
n
t
F
t
F
t
H
lub w postaci:
∑
∞
=
+
+
=
1
1
)
(
)
(
)
(
n
n
t
F
t
F
t
H
Jeżeli prawidłowa jest zależność rekurencyjna
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
∗
=
−
to prawidłowe jest równanie postaci:
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
∗
=
+
które można wykorzystać w zależności:
[
]
∑
∞
=
∗
+
=
1
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
t
f
t
F
t
F
t
H
Przekształćmy otrzymane równanie.
∑
∞
=
∗
+
=
1
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
t
f
t
F
t
F
t
H
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
17 z
37
Pozwala to zauważyć, że:
)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
H
t
F
t
H
∗
+
=
lub korzystając z definicji splotu funkcji - zapisać:
∫
⋅
−
+
=
t
du
u
f
u
t
H
t
F
t
H
0
)
(
)
(
)
(
)
(
Znając postać analityczną funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej
czasem między kolejnymi odnowieniami, można rozwiązując powyższe równania całkowe
wyznaczyć funkcję odnowy H(t).
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
18 z
37
Przykład 1 zastosowania funkcji odnowy
Wyznaczyć oczekiwaną liczbę wymian zespołów z.k.-e.s.t. (funkcję odnowy) lokomotywy
SP45, w okresie czasu odpowiadającym przebiegowi 300 000 km, gdy rozkład przebiegu
między uszkodzeniami wymagającymi wymiany z.k.-e.s.t. jest typu wykładniczego
z parametrem
λ
= 2.7
×10
-5
[1/km].
ROZWIĄZANIE:
Korzystamy z równania całkowego:
)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
H
t
F
t
H
∗
+
=
i po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a otrzymujemy:
[
]
[
] [
]
)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
H
t
H
t
H
∗
+
=
L
L
L
a stosując twierdzenie Borela równanie przyjmuje postać:
[
]
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
H
t
H
t
H
L
L
L
L
⋅
+
=
a stąd
[
]
[
]
[
]
)
(
1
)
(
)
(
t
f
t
F
t
H
L
L
L
−
=
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
19 z
37
Wyznaczenie przekształceń Laplace’a dla dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa
rozkładu wykładniczego.
Dystrybuanta
e
t
F
t
⋅
−
−
=
λ
1
)
(
[
]
[
]
[ ]
[ ]
s
s
e
e
t
F
t
t
+
−
=
−
=
−
=
⋅
−
⋅
−
λ
λ
λ
1
1
1
1
)
(
L
L
L
L
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
t
e
t
f
⋅
−
⋅
=
λ
λ
)
(
[
]
[
]
[ ]
s
s
e
e
t
f
t
t
+
=
+
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
)
(
L
L
L
Podstawiając wartości przekształceń Laplace’a otrzymuje się:
[
]
λ
λ
λ
+
−
+
−
=
s
s
s
t
H
1
1
1
)
(
L
a stąd:
[
]
2
)
(
s
t
H
λ
=
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
20 z
37
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia Laplace’a otrzymuje się:
t
s
s
t
H
-
-
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
λ
λ
λ
2
1
2
1
1
)
(
L
L
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuje się:
9
1
,
8
10
0
,
3
10
7
,
2
)
10
0
,
3
(
5
5
5
≈
=
×
⋅
×
=
×
−
H
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
21 z
37
Przykład 2 zastosowania funkcji odnowy
Ile potrzeba co najmniej zespołów wymiennych zestaw kołowy – elektryczny silnik
trakcyjny (z.k.-e.s.t.) dla jednej lokomotywy spalinowej na okres czasu odpowiadający
przebiegowi t = 300 000 km, jeżeli rozkład przebiegu w kilometrach między uszkodzeniami
powodującymi konieczność wymiany zespołu jest typu wykładniczego o parametrze
λ = 2,7 10
-5
.
Przyjąć niezależność i jednorodność rozkładu przebiegu między kolejnymi uszkodzeniami
i wymianami.
Obliczenia przeprowadzić dla prawdopodobieństwa
α = 0,05 zdarzenia, że w okresie czasu
odpowiadającym przebiegowi 300 000 km wystąpi więcej uszkodzeń niż najmniejsza liczba n
spełniająca nierówność:
α
≤
)
(t
F
n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
22 z
37
Dla t = 300 000 km
1
• • •
• • •
P(
X
t
≥
n
)
P(X
t
≥ 0)
P(X
t
= i)
P(X
t
≥ i–3)
P(X
≥ i–4)
t
i = ?
α
≤
)
(t
F
i
aby
Poszukiwane jest takie
Liczba uszkodzeń (odnów) n
P(X
t
≥ i) = F
i
(t)
α
= 0,05
i
− 4
i
− 3
i – 2
i
− 1
i
• • •
• • •
0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
23 z
37
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
∗
=
−
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
L
L
L
⋅
=
−
,...
3
,
2
dla
=
n
→
= 2
dla n
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
1
2
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
2
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
= 3
dla n
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
2
3
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
[
]
[
] [
]
2
3
)
(
)
(
)
(
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
= 4
dla n
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
3
4
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
[
]
[
] [
]
3
4
)
(
)
(
)
(
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
= 5
dla n
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
4
5
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
→
[
]
[
] [
]
4
5
)
(
)
(
)
(
t
f
t
F
t
F
L
L
L
⋅
=
…
…
→
−1
dla n
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
2
1
t
f
t
F
t
F
n
n
L
L
L
⋅
=
−
−
→
[
]
[
] [
]
2
1
)
(
)
(
)
(
−
−
⋅
=
n
n
t
f
t
F
t
F
L
L
L
→
n
dla
[
] [
] [
]
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
F
t
F
n
n
L
L
L
⋅
=
−
→
[
]
[
] [
]
1
)
(
)
(
)
(
−
⋅
=
n
n
t
f
t
F
t
F
L
L
L
[
]
[
] [
]
1
)
(
)
(
)
(
−
⋅
=
n
n
t
f
t
F
t
F
L
L
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
24 z
37
Dystrybuanta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego
t
e
t
F
⋅
−
−
=
λ
1
)
(
0
dla
≥
t
t
e
t
f
⋅
−
⋅
=
λ
λ
)
(
0
dla
≥
t
Transformaty Laplace’a dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu
wykładniczego
[
]
[
]
[ ]
[ ]
s
s
e
e
t
F
t
t
+
−
=
−
=
−
=
⋅
−
⋅
−
λ
λ
λ
1
1
1
1
)
(
L
L
L
L
[ ]
[
]
[ ]
s
s
e
e
t
f
t
t
+
=
+
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
)
(
L
L
L
Na tej podstawie
[
]
[
] [
]
1
)
(
)
(
)
(
−
⋅
=
n
n
t
f
t
F
t
F
L
L
L
→
[
]
1
1
1
)
(
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
n
n
s
s
s
t
F
λ
λ
λ
L
[
]
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
+
⋅
+
=
n
n
n
s
s
s
t
F
λ
λ
λ
λ
L
→
[
]
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
+
⋅
+
⋅
=
n
n
n
s
s
s
t
F
λ
λ
λ
λ
L
→
[
]
n
n
n
s
s
t
F
)
(
)
(
+
⋅
=
λ
λ
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
25 z
37
[
]
n
n
n
s
s
t
F
)
(
)
(
+
⋅
=
λ
λ
L
Poszukiwanie
)
(t
F
n
transformaty odwrotnej funkcji
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
−
n
n
s
s
)
(
1
λ
λ
L
Aby znaleźć transformatę odwrotną funkcji (funkcja nie występuje w tablicach transformat
Laplace’a podstawowych funkcji) zostanie ona rozłożona na ułamki proste:
n
n
n
n
n
n
s
B
s
B
s
B
s
B
s
A
s
s
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
⋅
−
−
L
a stąd
0
1
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
=
−
−
−
s
s
B
s
s
B
s
s
B
s
s
B
s
A
n
n
n
n
n
n
L
Po zastosowaniu formuły na rozwinięcie dwumianu Newtona postaci:
(
)
∑
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
n
r
r
r
n
n
b
a
r
n
b
a
0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
26 z
37
otrzymuje się:
0
1
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
=
−
−
−
s
s
B
s
s
B
s
s
B
s
s
B
s
A
n
n
n
n
n
n
L
(
)
∑
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
n
r
r
r
n
n
b
a
r
n
b
a
0
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
∑
−
=
−
−
=
−
1
0
1
1
0
1
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
s
r
n
s
B
s
r
n
A
λ
λ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⋅
+
∑
∑
∑
=
−
=
−
−
−
=
−
−
0
0
0
1
0
1
1
2
0
2
2
0
1
2
r
r
r
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
s
r
s
B
s
r
s
B
s
r
n
s
B
λ
λ
λ
L
Wprowadźmy zmienną s znajdującą się przed nawiasami kwadratowymi pod znak sumy.
Otrzymuje się wtedy postać:
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
2
0
2
2
1
0
1
1
0
2
1
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
s
s
r
n
B
s
s
r
n
B
s
r
n
A
λ
λ
λ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
∑
∑
=
−
=
−
−
0
0
0
1
0
1
1
0
1
r
r
r
n
r
r
r
n
s
s
r
B
s
s
r
B
λ
λ
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
27 z
37
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
2
0
2
2
1
0
1
1
0
2
1
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
s
s
r
n
B
s
s
r
n
B
s
r
n
A
λ
λ
λ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
∑
∑
=
−
=
−
−
0
0
0
1
0
1
1
0
1
r
r
r
n
r
r
r
n
s
s
r
B
s
s
r
B
λ
λ
L
i ostatecznie:
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
=
−
2
0
1
2
1
0
1
0
2
1
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
s
r
n
B
s
r
n
B
s
r
n
A
λ
λ
λ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
∑
∑
=
−
=
−
−
0
0
1
1
0
2
1
0
1
r
r
r
n
r
r
r
n
s
r
B
s
r
B
λ
λ
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
28 z
37
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
=
−
2
0
1
2
1
0
1
0
2
1
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
r
r
r
n
n
s
r
n
B
s
r
n
B
s
r
n
A
λ
λ
λ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
∑
∑
=
−
=
−
−
0
0
1
1
0
2
1
0
1
r
r
r
n
r
r
r
n
s
r
B
s
r
B
λ
λ
L
Stałe A, B
1
, B
2
, …, B
n-1
, B
n
wyznaczone zostaną na podstawie porównania współczynników
stojących – po obu stronach równania – przy tych samych potęgach zmiennej s. Otrzymuje się
na tej podstawie n+1 następujących równań:
→
n
s
dla
1.
0
1
0
0
1
0
0
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
A
,
→
−1
dla
n
s
2.
0
2
1
1
1
0
2
1
1
1
0
λ
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
B
n
A
,
M
→
1
dla s
n.
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
−
−
−
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
0
n
n
n
n
n
B
n
n
B
n
n
A
λ
λ
λ
0
1
1
0
0
1
1
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
−
n
n
B
B
L
,
→
0
dla s
n+1.
n
n
n
n
A
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
29 z
37
→
n
s
dla
1.
0
1
0
0
1
0
0
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
A
,
→
−1
dla
n
s
2.
0
2
1
1
1
0
2
1
1
1
0
λ
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
B
n
A
,
M
→
1
dla s
n.
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
−
−
−
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
0
n
n
n
n
n
B
n
n
B
n
n
A
λ
λ
λ
0
1
1
0
0
1
1
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
−
n
n
B
B
L
,
→
0
dla s
n+1.
n
n
n
n
A
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
.
Rozwiązaniem układu równań są następujące wartości stałych A, B
1
, B
2
, …, B
n-1
, B
n
:
→
+1
nia
-
r
z
n
1
=
A
→
1
nia
-
r
z
0
1
0
0
1
0
1
0
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
→
1
1
−
=
B
→
2
nia
-
r
z
0
2
1
1
0
2
1
1
1
1
1
0
λ
λ
λ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
n
B
n
n
→
1
2
λ
−
=
B
→
2
3
λ
−
=
B
,
→
L
2
1
−
−
−
=
n
n
B
λ
,
→
1
−
−
=
n
n
B
λ
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
30 z
37
n
n
n
n
n
n
s
B
s
B
s
B
s
B
s
A
s
s
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
⋅
−
−
L
n
n
n
n
n
n
s
s
s
s
s
s
s
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
=
+
⋅
−
−
−
L
1
=
A
1
1
−
=
B
1
2
λ
−
=
B
2
1
−
−
−
=
n
n
B
λ
1
−
−
=
n
n
B
λ
n
n
n
n
n
n
s
s
s
s
s
s
s
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
+
⋅
−
−
−
L
[
]
n
n
n
n
n
s
s
s
s
s
t
F
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
−
−
−
L
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
31 z
37
W tablicy przekształceń Laplace’a można znaleźć, że:
jeżeli
[ ]
n
s
t
u
)
(
1
)
(
λ
+
=
L
to
)!
1
(
)
(
1
−
⋅
=
⋅
−
−
n
e
t
t
u
t
n
λ
,
jeżeli
[
]
n
s
n
t
g
)
(
)!
1
(
)
(
λ
+
−
=
L
to
t
n
e
t
t
g
⋅
−
−
⋅
=
λ
1
)
(
,
tzn.
t
n
n
e
t
s
n
⋅
−
−
−
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
λ
λ
1
1
)
(
)!
1
(
L
Przekształćmy równanie:
[
]
n
n
n
n
n
s
s
s
s
s
t
F
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
−
−
−
L
L
Tak aby można było zastosować wskazane wcześniej przekształcenie Laplace’a.
Otrzymuje się zatem co następuje:
[
]
+
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
3
2
2
1
1
0
)
(
!
2
!
2
)
(
!
1
!
1
)
(
!
0
!
0
1
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
s
s
s
s
t
F
n
L
n
n
n
n
s
n
n
s
n
n
)
(
)!
1
(
)!
1
(
)
(
)!
2
(
)!
2
(
1
1
2
λ
λ
λ
λ
+
−
⋅
−
−
+
−
⋅
−
−
+
−
−
−
L
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
32 z
37
Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a mamy:
⎢
⎣
⎡
+
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
−
3
2
2
1
1
0
1
)
(
!
2
!
2
)
(
!
1
!
1
)
(
!
0
!
0
1
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
s
s
s
s
t
F
n
L
⎥
⎦
⎤
+
−
⋅
−
−
+
−
⋅
−
−
+
−
−
−
n
n
n
n
s
n
n
s
n
n
)
(
)!
1
(
)!
1
(
)
(
)!
2
(
)!
2
(
1
1
2
λ
λ
λ
λ
L
⎢
⎣
⎡
+
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
−
3
2
2
1
1
0
1
)
(
!
2
!
2
)
(
!
1
!
1
)
(
!
0
!
0
1
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
s
s
s
s
t
F
n
L
⎥
⎦
⎤
+
−
⋅
−
−
+
−
⋅
−
−
+
−
−
−
n
n
n
n
s
n
n
s
n
n
)
(
)!
1
(
)!
1
(
)
(
)!
2
(
)!
2
(
1
1
2
λ
λ
λ
λ
L
a stąd:
t
n
n
t
n
n
t
t
t
n
e
t
n
e
t
n
e
t
e
t
e
t
t
F
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
1
1
2
2
2
2
1
1
0
0
)!
1
(
)!
2
(
!
2
!
1
!
0
1
)
(
L
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
⋅
−
⋅
−
−
2
1
1
2
)
(
)!
1
2
(
λ
λ
s
e
t
t
L
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
⋅
−
⋅
−
−
n
t
n
s
n
e
t
)
(
)!
1
(
1
1
λ
λ
L
i ostatecznie:
∑
−
=
−
⋅
⋅
−
=
1
0
!
)
(
1
)
(
n
r
t
r
n
e
r
t
t
F
λ
λ
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
33 z
37
Podstawmy wyznaczoną postać funkcji F
n
(t) do nierówności wyjściowej:
α
≤
)
(t
F
n
α
λ
λ
≤
⋅
⋅
−
∑
−
=
−
1
0
!
)
(
1
n
r
t
r
e
r
t
∑
−
=
−
⋅
⋅
−
=
1
0
!
)
(
1
)
(
n
r
t
r
n
e
r
t
t
F
λ
λ
a stąd:
α
λ
λ
−
≥
⋅
⋅
∑
−
=
−
1
!
)
(
1
0
n
r
t
r
e
r
t
t
n
r
r
e
r
t
λ
α
λ
⋅
−
≥
⋅
∑
−
=
)
1
(
!
)
(
1
0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
34 z
37
Dane:
5
10
7
,
2
−
⋅
=
λ
5
10
0
,
3
⋅
=
t
05
,
0
=
α
Rozwiązanie:
t
n
r
r
e
r
t
λ
α
λ
⋅
−
≥
⋅
∑
−
=
)
1
(
!
)
(
1
0
5
5
10
0
,
3
10
7
,
2
1
0
5
5
)
05
,
0
1
(
!
)
10
0
,
3
10
7
,
2
(
⋅
⋅
⋅
−
=
−
−
⋅
−
≥
⋅
⋅
⋅
∑
e
r
n
r
r
1
,
8
1
0
)
05
,
0
1
(
!
)
1
,
8
(
e
r
n
r
r
⋅
−
≥
∑
−
=
75
,
3129
!
)
1
,
8
(
1
0
≥
∑
−
=
n
r
r
r
Poszukujemy najmniejszej wartości n spełniającą powyższą nierówność.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
35 z
37
n-1
r
10 11 12 13 14
0
1,000 1,000
1,000
1,000
1,000
1
8,100 8,100
8,100
8,100
8,100
3
88,574 88,574
88,574
88,574
88,574
4
179,361 179,361
179,361
179,361
179,361
5
290,565 290,565
290,565
290,565
290,565
6
392,263 392,263
392,263
392,263
392,263
7
453,905 453,905
453,905
453,905
453,905
8
459,578 459,578
459,578
459,578
459,578
9
413,621 413,621
413,621
413,621
413,621
00
,
2622
!
)
1
,
8
(
10
0
=
∑
=
r
r
r
71
,
2868
!
)
1
,
8
(
11
0
=
∑
=
r
r
r
23
,
3035
!
)
1
,
8
(
12
0
=
∑
=
r
r
r
10
335,033 335,033
335,033
335,033
335,033
11
246,706
246,706
246,706
246,706
12
166,526
166,526
166,526
13
103,759
103,759
14
60,032
Suma
2622,00
2868,71
3035,23
3138,99
3199,02
!!!!!!
99
,
3138
!
)
1
,
8
(
13
0
=
∑
=
r
r
r
Na tej podstawie:
75
,
3129
!
)
1
,
8
(
13
0
≥
∑
=
r
r
r
A więc: (n-1)=13 a stąd n=13+1=
14
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
36 z
37
Uwaga końcowa
Wynik przeprowadzonych obliczeń wskazuje, że dla zapewnienia ciągłości pracy
lokomotywy, ze względu na uszkodzenia zespołu z.k.–e.s.t., na okres czasu
odpowiadający przebiegowi 300
000 km, trzeba przygotować 14 zespołów
wymiennych, a liczba ta będzie wystarczająca z prawdopodobieństwem (1-
α)=0,95.
Dla t = 300 000 km
1
• • •
• • •
P(
X
t
≥
n
)
P(X
t
≥ 0)
P(X
t
= 14)
P(X
t
≥ 11)
P(X
t
≥ 10)
Liczba uszkodzeń (odnów) n
P(X
t
≥14) = F
14
(t)
α
= 0,05
10
11
12
13
14
• • •
• • •
0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
37 z
37
PODSUMOWANIE
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
● Modele
niezawodnościowe obiektów odnawianych.
● Sumaryczny czas pracy obiektu i dystrybuanta sumarycznego czasu pracy
obiektu.
● Pojęcie funkcji odnowy.
● Przykład 1 zastosowania funkcji odnowy.
● Przykład 2 zastosowania funkcji odnowy.
Document Outline
- NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
- MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 1)
- Wprowadzenie
- WPROWADZENIE (1)
- O ODNAWIANYCH OBIEKTACH W OCENACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH
- ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
- DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (1)
- ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
- DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (2)
- ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
- DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (3)
- ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
- DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (1)
- ZAŁOŻENIA
- POJĘCIE FUNKCJI ODNOWY
- PODSUMOWANIE
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 0 Dla TR Sem3 NOT Obiekty odnawiane v1
NiBS 3 Rozklad trojkatny Modele Starzenie obiektow nieodnawianych
budownictwo, czas pracy, PROCES INWESTYCYJNY-ciag czynnosci,który nastepuje od momentu sformulowania
NiBS 2 Modele Starzenie obiektow nieodnawianych
NiBS 3 Rozklad trojkatny Modele Starzenie obiektow nieodnawianych
Przygotowanie obiektu do produkcji energii odnawialnej
Obiekty martyrologii polskiej
CZAS WOLNY(1)
R 6 1 Obiektowy model zapytan
Wykład 6 2009 Użytkowanie obiektu
05 Odwzorowanie podstawowych obiektów rysunkowych
więcej podobnych podstron