Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 1

Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange’a

=

=

≥ 0

gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0.

Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać, że ruch jest ustalony.

Rozwiązanie

Prędkość we współrzędnych Lagrange’a oblicza się jako:

⃗ ( ,

,

)

=

⃗( ,

,

)

=

⃗

−

−

⃗

, ≥ 0

Funkcja odwrotna do funkcji (

,

) daje prawo ruchu w zmiennych Eulera:

=

=

≥ 0

Po podstawieniu wyrażenia na X i Y do wzoru na prędkość w zmiennych Lagrange’a otrzyma się pole

prędkości w zmiennych Eulera (przestrzennych):

⃗

=

⃗

−

⃗

Równanie linii prądu znajdujemy po scałkowaniu równania:

=

stąd

ln| | = − ln| | +

A więc równanie linii prądu ma postać wzoru:

=

Ponieważ prędkość wyrażona w zmiennych Eulera nie zależy w sposób jawny od czasu

= 0, więc

ruch jest ustalony. Równanie określające tor cząstki, zadane dwzorowaniem

⃗

, musi być identyczne z

równaniem linii prądu. Rzeczywiście, po wyeliminowaniu z równań

=

,

=

, czasu t,

otrzymuje się:

=

=

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 2

Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange’a:

=

+ (

− 1)

= (

−

) +

=

gdzie (X,Y,Z) – współrzędne materialne

Sprawdzić, czy jakobian J dla zadanego prawa ruchu jest różny od zera. Znaleźć prawo ruchu w

zmiennych Eulera.

Rozwiązanie:

Sprawdzamy czy jakobian jest różny od zera:

=

=

0

− 1

0

1

−

0

0

1

=

≠ 0

Po prostych przekształceniach można znaleźć funkcję odwrotną:

=

+ (

− 1)

=

− (

−

)

=

Zwróćmy uwagę, że przy obu sposobach opisu prawa ruch dla t = 0 otrzymujemy x = X, y = Y, z = Z.

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 3

Zadane jest prawo ruchu:

=

=

+

=

a) Znaleźć prawo ruchu we współrzędnych Eulera.

b) Określić prędkość i przyspieszenie cząstki we współrzędnych Lagrange’a i Eulera.

c) Dla danego pola prędkości zadane jest pole temperatury T = Axy. Obliczyć pochodną

substancjalną dT/dt.

Rozwiązanie:

a) Odwzorowanie odwrotne, dające opis w zmiennych Eulera, równa się:

=

=

−

=

b) Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Lagrange’a

⃗( , , , ) =

⃗

= ⃗ + 2

⃗ +

⃗

⃗ =

= 2

⃗

Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych Eulera otrzymujemy po podstawieniu za X = x.

⃗( , , , ) = 2

⃗

⃗( , , , ) = 2

⃗

c) Pochodna substancjalna temperatury równa się:

=

+

+

= 2

= 2

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 4

Zadane jest prawo ruchu:

=

+

=

+

=

=

= 1/2

a) W chwili t = 0 wierzchołki kwadratu ABCD mają współrzędne A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0),

D(1,0,0). Określić położenie A, B,C,D w chwili t = 2 i naszkicować nowy kształt czworokąąta.

b) Określić prędkość i przyspieszenie we współrzędnych materialnych i przestrzennych.

Rozwiązanie:

a) Obliczamy przemieszczenie każdego wierzchołka kwadratu według zadanego prawa ruchu

(rysynek poniżej). Wierzchołek A(0,0,0) i D(1,0,0) nie zmieni swojego położenia, a więc linia

materialna AD przez cały czas ruchu nie będzie ulegała zmianie, wierzchołek C(1,1,0)

przejdzie do punktu:

=

+

=

1
2

∙ 1 ∙ 4 + 1 = 3

=

+

= 2

= 0

Wierzchołek B(0,1,0) przejdzie do punktu x = 2, y = 2. Boki nowego czworokąta nie będą jednak już

odcinkami prostych. Obliczmy jak przeniosą się środki boków AB i CD. B’(0,1/2,0) oraz C’(1,1/2,0). B’

przejdzie do B’’ o współrzędnych (1/2,1,0), a punkt C do punktu C’’ o współrzędnych (1,5,1,0).

Przybliżony kształt nowego czworokąta zaznaczono linią przerywaną.

b) Prędkość i przyspieszenie we spółrzędnych Lagrange’a:

⃗( , , , ) =

⃗

= 2

⃗ +

⃗

⃗ = 2

⃗

Opis ruchu w zmiennych Eulera dany jest wzorami:

=

−

+ 1

=

+ 1

=

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 5

Zadane jest pole prędkości:

= 0

= (

−

)

= (

−

)

A i B są pewnymi stałymi. Wyznaczyć gradient prędkości gradient prędkości, tensor deformacji oraz

wirowość w punkcie P(1,0,3) w chwili t = 0.

Rozwiązanie:

( ⃗) =

⎝

⎜

⎜

⎜

⎛

⎠

⎟

⎟

⎟

⎞

=

0

0

0

−2z

−

2

−

W punkcie P(1,0,3) i czasie t = 0 tensor ma wartość:

( ⃗) =

0

0

0

0

−6

−3

0

−

Tensor deformacji obliczamy z wzoru:

=

1
2

( ⃗) +

( ⃗)

=

1
2

0

0

0

0

−6

−3

0

−

+

1
2

0

0

−3

0

0

0 −6

−

=

0

0

−1,5

0

−3

−1,5 −3

−

Tensor wirowości obliczamy z następującego wzoru:

Ω =

1
2

( ⃗) −

( ⃗)

=

0

0

1,5

0

0

−3

−1,5

3

0

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 6

Znaleźć równanie linii wirowych dla pola prędkości:

⃗ = (

−

)⃗ + (

−

)⃗ + (

−

) ⃗

Rozwiązanie:

Wektor wirowości ⃗

=

( ⃗) ma składowe:

⃗ = × ⃗ =

−

−

−

= 2 ⃗ + 2 ⃗ + 2 ⃗

Linie wirowe, czyli linie styczne w każdym punkcie do kierunku pola wirowego, wyznaczamy z układu

równań różniczkowych:

2

=

2

=

2

czyli

=

=

=

stąd

=

+

=

+

=

+

gdzie K

1

, K

2

, K

3

są stałymi całkowania.

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 7

Wykazać, że pole prędkości z zad. 6 odpowiada ruchowi ciała szczytowego (tensor deformacji D=0).

Rozwiązanie:

Zapszmy gradient prędkości w postaci macierzowej:

( ⃗) =

0

−

0

−

−

0

Jak widać macierz

( ⃗) jest asymetryczna. Część symetryczna macierzy

( ⃗) , zwana

tensorem deformacji D, jest tożsamościowo równa zeru (D=0).

Zadanie 8

Dane jest następujące pole prędkości dla cieczy nieściśliwej:

= ( − 2)

= −

=

Określić stałą k tak aby spełnione było równanie ciągłości.

Rozwiązanie:

Dla cieczy nieściśliwej

( ⃗) = 0, a więc:

+

+

= − +

= 0

stąd

= 1

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 9

Wykazać, że jeśli F jest polem przekroju poprzecznego strugi, to równanie ciągłości ma postać:

+

(

) = 0

gdzie

oznacza pochodną wzdłuż osi strugi.

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy dwa przekroje strugi oddalone od siebie o ds które wycinają ze strugi objętość kontrolną

V = A ds. Korzystając z zasady zachowania masy można dla objętości V ułożyć następujący bilans

masy:

(masa wypływająca z V) - (masa dopływająca do V) + (zmiana masy w V) = 0

Masa cieczy dopływającej do objętości V równa się:

∙

a odpływająca:

+

+

+

Zmiana masy wewnątrz objętości kontrolnej jest równa:

Pomijając w wyrażeniu na masę wypływającą z objętości kontrolnej człony zawierające nieskończenie

małe wyższego rzędu (ds

2

dt), otrzymujemy:

+

+

+

= 0

Równanie to można przekształcić do postaci:

+

(

)

= 0

Dla przepływu ustalonego (

= 0) równanie ciągłości przybiera formę:

=

=

Q

m

– strumień masy

Kinematyka płynów - zadania

Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

Zadanie 10

Ciecz wiruje w ten sposób, że cząstki poruszają się stale po tych samych okręgach z jednakową

prędkością kątową ω. Jakie równanie musi spełniać gęstość płynu ρ?

Rozwiązanie:

Podczas ruchu płynu, gęstość płynu musi spełniać równanie ciągłości:

+

∙

( ⃗) = 0

Z warunków zadania wynika, że składowe prędkości tego ruchu wynoszą:

= − ∙

= − ∙ ∙

= − ∙

=

∙

=

∙ ∙

=

∙

gdzie: v = ωr – moduł wektora prędkości

Dywergencja prędkości:

( ⃗) =

+

+

= − +

= 0

Płyn jest więc nieściśliwy, (

= 0), czyli:

−

∙ ∙

+

∙

∙

= 0

Z warunków zadania wynika, że prędkość jest funkcją tylko promienia r i istnieje tylko składowa

obwodowa v

φ

= ωr. Korzystnie jest więc przedstawić równanie ciągłości we współrzędnych

cylindrycznych, które to równanie we współrzędnych (r, φ, z) ma postać:

+

1

∙

(

)

+

1

∙

(

)

+

(

)

= 0

ponieważ:

= 0

= 0

= ∙

więc:

+

( ∙ )

= 0